摘 要：结合教学实践，以人教A版教材《普通高中课程标准试验教科书·必修3》第二章第2节“用样本的数字特征估计总体的数字特征”一课为蓝本，探讨如何培养数据分析核心素养的问题。
关键词：数学核心素养 数据分析 整理数据 提取信息 获得结论
一、教学设计意图
1.教材分析。本节课将进一步挖掘样本，利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而做出更好的决策。提高学生整理数据、提取信息、获得结论的数据分析能力，为下节课学习标准差做好铺垫。
2.学情分析。学生对统计思想的认识还停留在表层，对用频率分布直方图估计总体的数字特征从感性认识上升到理性认识会有一定的理解困难，应用数字特征作出合理决策还有较高的能力要求。
3.教学任务设置。（1）能够借助频率分布直方图从“形”的角度估计总体的数字特征，获得和解释结论，体会数形结合的数学思想。（2）通过自主探索与合作交流，经历数字特征的生成过程。会用样本的数字特征估计总体的数字特征，体会用样本估计总体的思想。（3）能通过对数据的收集、整理、分析为合理的决策提供依据，认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值。
二、教学过程设计
1.情境引入，提出问题。（出示缺水图片）：如何将节约用水落到实处呢？生1：政府可以设定一个家庭每月用水量的标准，用价格作杠杆，达到节约用水的目的。师：这位同学的想法不错，那我们现在就来谈一谈阶梯水价。
提出问题：国家要求2016年底前城市要全面实行居民阶梯水价制度。为了不影响大部分居民的日常生活，标准定为多少比较合理呢？设计意图：数学源于生活，又服务于生活。将发生在学生身边的实际问题引入课堂，能唤起学生的好奇心、亲切感，更有利于激活学生基于数据表达现实问题的意识。
2.分析问题，明确思路。生2：应该先找到这个城市居民月均用水量这个总体的数字特征，再来制定标准a。生3：直接去找总体的数字特征不现实，因为总体的容量太大，每个居民的月均用水量难以一一获得，就算是能够获得，计算量也是非常庞大的。师：如何对总体的情况进行估计呢？生4：用样本的数字特征估计总体的数字特征，再以此制定标准a。师：芜湖市水务公司通过抽样，获得了100位居民在2016年的前三个季度月均用水量（单位：t）如下：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8
3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 3.9
3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3
3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0
2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3
2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4
2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4
2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
图1
问题1：能否从直方图（图1）中直接提取样本的数字特征估计总体的数字特征。学生活动：分四组，分别探究从频率分布直方图提取出样本的“三数”，再采用展示与交流的方式展开教学。设计意图：明确用样本的数字特征估计总体数字特征的必要性和可行性，进一步体会从样本到总体的统计思想，提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力。
3.分组探究，合作交流。探究1：如何在频率分布直方图中估计众数？师生互动1：生5：小组根据最高小矩形底边的中点估计众数是2.25t。师：为什么众数出现在最高的小矩形中？生5：因为众数是出现频率最高的数，而在频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示相应小组的频率，所以众数一定出现在最高的小矩形中。师：为什么取最高小矩形底边的中点作为众数的估计值？生5:2～2.5这段上的其他值也有可能成为众数，但2.25这个中间值更具有代表性。就在大多数学生频频点头时，生6站了起来。生6：我认为众数不一定落在2～2.5这段上。设想如果集中在2～2.5这段上的数据很分散，比如2.01,2.02,2.03，……，且没有相同数，在1.5～2这段中却始终是1.9，众数有可能就是1.9。师：你分析下，这种情况是怎么造成的？生6：主要原因是频率分布直方图丢失了原来的真实数据，求出的只是众数的估计值。师：由频率分布直方图求出的众数只是一个估计值，可能会有偏差。将众数看作是直方图中面积最大矩形的“中心”，它是一组数据的最大集中点。此时它告诉我们，芜湖市城区月均用水量2.25t的居民数比月均用水量为其它值的居民多，但它并没有告诉我们多多少。所以，我们有必要通过频率分布直方图考察其他数字特征。
探究2：如何在频率分布直方图中估计中位数？师生互动2：生7：中位数两边的数据个数应该一样多，反映在频率分布直方图中，两边的面积相等，均为0.5。生8：为什么是0.5？生7：小矩形的面积之和为1，一半就是0.5。师：请你展示一下小组计算结果。生7：如图2，设中位数为xt，先确定x 范围大概在2～3之间，然后根据各组频率列出方程：0.08×0.5+0.16×0.5+0.3×0.5+0.44×0.5+（x－2）×0.5=0.5。求出中位数大约是2.02t。师：大家能否找出样本中的中位数数值是多少？生9：样本中的中位数数值是2.0t，与2.02t不一样，这是怎么回事？生7：样本频率分布直方图丢失了原有的样本数据，得到的是样本中位数的估计值。师：在图2 中，虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，平分整个频率分布直方图的面积。故可将中位数看作整个频率分布直方图的“中心”。通过频率分布直方图得到的结果为估计值，但是只要在一定的精度范围内，这种不一致在统计中也是正常现象。为了更好地估计总体，我们还有必要通过频率分布直方图研究样本的平均数。
图2
探究3：如何在频率分布直方图中估计平均数？师生互动3：生10：一组数据x1，x2，……，xn平均数的计算公式是x= ，但在频率分布直方图中，我们无法计算x1+x2+……+xn。师：如何计算样本数据：1，3，3，3，3，5，5，5，6，6的平均数？生10：将这10个数据加起来，再除以10。师：我们可以将公式改写如下：
=1× +3× +5× +6× =4。这里的 ， ， ， 有什么含义？生10：指的是1，3，5，6在样本中出现的频率。师：很好。同学们能否通过类比解决刚才的问题呢？生10：我们就以每一组的中间值代表这一组所对应的数，乘以相应矩形的面积，也就是频率，再相加，就得到了平均数。师：不妨设每个小矩形底边中点横坐标分别为x1，x2，……，x9，对应面积分别为s1，s2，……，s9，那么平均数如何计算呢？生10：x=s1x1+s2x2+……s9x9。师：我们可以通过这个公式计算平均数，请大家计算一下。生11：平均数大约是2.015t。师：所求平均数是一个估计值。我们可将平均数看作频率分布直方图的“重心”。我们知道平均数可以用x=s1x1+s2x2+……snxn来估计。此时，我们已经由频率分布直方图估计出了样本的数字特征。由此可估计芜湖市城区居民月均用水量这个总体的数字特征分别为众数：2.25t，中位数：2.02t，平均数：2.015t。
设计意图：数字特征可从原始数据提取，也可通过频率分布直方图获得，对比两种方法，使学生明白从直方图中估计的数字特征虽存在误差，但直观、可避免繁琐的计算和阅读数据过程，体会统计思想，培养学生数据分析素养。
4.开放选择，决策评价。问题2：若以这三个估计值为依据，让你帮政府做出决策，标准a应定为多少？生12：我觉得以众数2.25t作为标准a比较好。生13：不妥，众数只反映了部分信息，无法客观反映总体特征。师：那以谁为标准合适呢？生13：以中位数2.02t作为标准。处于一组数据的中间，更具代表性。生14：这样也不好，虽然中位数一般不受极端值的影响，但也只反映了总体的部分信息。以平均数为标准较好，与每个数据有关，能更好地反映总体信息。师：平均数没有缺点吗？生14：也有，平均数与每个数据有关，受极端值的影响较大，若样本质量不高，用样本的平均数估计总体特征的可靠性降低，决策可能是错误的。师：看来，三个数字特征各有优缺，哪个更合适？生15：根据数字特征的优缺点，在抽取的样本合理的前提下，以平均数为标准a相对要好一些，定为2.015t。生：选平均数作为标准。师：确实，选平均数作为标准更合适。它更能反映总体的特征。
问题3：根据“三数”给供水公司提供城区居民月均用水标准各有利弊，那么统计意义给出的标准与实际定出的标准是否有差异？生16：实际用水标准要考虑地域差异、生活习惯等。设计意图：通过合理选择和决策评价，不仅让学生弄清了根据统计数据如何合理决策，更重要的是让学生明确数据分析在大数据时代的重要性，能够理解数据蕴含着信息，并用概率或统计的语言予以表达。
三、教学反思
1.充分运用教材典型案例，培养学生的数据分析意识。《标准》中高中必修课程主题四为“概率与统计”。统计的教学活动应通过典型案例进行。本课教学设计的“情境引入”环节，在同一问题背景下，使用与教材不同的数据，引导学生绘制这100位居民月均用水量的频率分布表、频率分布直方图。学生良好的学习体验使得数据分析意识得以孕育。
2.尽量创造合作探究机会，训练学生的数据分析能力。《标准》中在“实施建议”中提到，教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理。
本课的教学过程，让学生在自主探索、合作交流中经历收集数据、整理数据，训练学生对大数据分析的能力。
3.合理引导问题延伸方向，培育学生的数据分析素养。《标准》在“学科核心素养”中指出，通过高中数学课程的学习，增强学生基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质。学生质疑发问的环节，意在让学生体会样本数字特征的随机性以及与总体数字特征的关联。学生学会了如何解释数据蕴含的结论，提升了大数据思维。
教师要发挥课程创造力，通过创设合适的学习任务、学习情境、学习活动等，培育学生基于数据思考问题的习惯，提升基于数据表述现实问题的能力。在学生掌握知识技能的同时，促成数据分析核心素养的提升。完成《标准》中提出的学业质量的要求，落实立德树人根本任务。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京，人民教育出版社，2017。
[2]阳志长 充分运用教材资源，致力培养数据分析核心素养[J].中国数学教育，2017，（3），19-22。
论文作者:黄太强
论文发表刊物:《中小学教育》2019年第340期
论文发表时间:2018/11/22
标签：直方图论文; 数据论文; 特征论文; 样本论文; 平均数论文; 数字论文; 频率论文; 《中小学教育》2019年第340期论文;