解析以动态为背景的定值问题，本文主要内容关键词为：背景论文,定值论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中考数学中时常出现一类以动态问题为背景探求定值的问题，随着图形的运动，需要探求的几个对象的位置和大小都发生了变化，但它们的某些关系却不变。此类问题探索性强，涉及的知识面广，解题方法灵活，因此，对学生的要求比较高，往往让部分学生束手无策。事实上，解决这类问题的基本思想是“动中取静”，即在复杂的运动变化中寻找不变的因素。
一、以退为进，由特殊到一般
解决这类问题的方法之一是以退为进，先退至特殊情形找出定值，再就一般情况给出证明。
例1 （2009年伊春）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB=8，DE=3，P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H。试求PG+PH的值，并说明理由。
解 (1)△AED≌△CEB'。
证明 因为四边形ABCD为矩形，
所以B'C=BC=AD，∠B'=∠B=∠D=90°，
又因为∠B'EC=∠DEA，所以△AED≌△CEB'。
(2)由已知得：∠EAC=∠CAB且∠CAB=∠ECA
所以∠EAC=∠ECA，因为AE=EC=8-3=5。
在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB。所以PG=PM。
所以PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。
例2 （2009年山东省济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点。现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图3）。
(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
(2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；(3)设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。
解析 (1)因为点第一次落在直线y=x上时停止旋转，所以OA旋转了45°。
所以OA在旋转过程中所扫过的面积为
。
(2)因为MN∥AC，所以∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°。
所以∠BMN=∠BNM。所以BM=BN。
又因为BA=BC，所以AM=CN。
又因为OA=OC，∠OAM=∠OCN，
所以△OAM≌△OCN。
所以旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°。
(3)p值无变化。
证明 延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°=°AOM=45°-∠AOM，
所以∠AOE=∠CON。
又因为OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN。
所以△OAE≌△OCN，所以OE=ON,AE=CN。
又因为∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
所以△OME≌△OMN。
所以MN=ME=AM+AE。
所以MN=AM+CN，
所以p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4。
所以在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化。
二、动中有静，以静制动
解决这类问题的方法之二是动中有静，以静制动，将动点的坐标表示出来，根据横坐标、纵坐标的几何意义，把定值的式子的变量都表示出来，再整理即可。
例3 （2009年湖南省株洲市）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3,m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D。
(1)求点A的坐标（用m表示）；
(2)求抛物线的解析式；
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值。
解析 (1)由B(3,m)可知OC=3，BC=m，又△ABC为等腰直角三角形，
所以AC=BC=m，OA=m-3，所以点A的坐标是(3-m,0)。
(2)因为∠ODA=∠OAD=45°，所以OD=OA=m-3，则点D的坐标是(0,m-3)。
又抛物线顶点为P(1,0)，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：
即FC(AC+EC)为定值8。
评注 本题是二次函数的综合题，第(3)题是一个典型的定值问题，考查学生的综合应用能力。
例4 （2009年衡阳市）如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D。
(1)当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
(2)当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
(3)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a(0＜a＜4)，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S。试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象。
综上所述，动态问题为背景探求定值的问题，蕴含着“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的关系，在一定条件下是可以相互转化的。要求我们用转化的数学思想，通过常量去探究变量，来培养我们解决问题的能力。
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