数学高考北京卷对教学的启示，本文主要内容关键词为：北京论文,启示论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着2010年高考的结束，关于北京数学卷比去年难的热议不绝于耳。所谓“难”，人们的理由主要集中在(7)、(8)、(14)、(15)、(17)、(19)、(20)等几个题目上。面对“难”的态度，人们往往习惯于仅从知识点覆盖、题型训练不到位等方面查找自己的问题，这样做的后果很可能造成新一轮大规模的题型演练，使学生深陷题海难以自拔。而很少有人从“难”字的背后，在课堂教学方面查找更深层的原因。
在课改环境中，研究高考对课堂教学的导向，事关课程改革健康、深入的发展，自然更有意义。面对大家针对今年北京卷一片“难”的呼声，笔者不由得继拙文[1]、[2]后，又一次刍议高考导向，以期引发广大同行更深入的讨论。
1 如何认识北京卷的“难”
在传统意义下，难题往往以“技巧新颖、思维别致、运算繁复”为主要特征。如果用这个标准来衡量北京试题，几乎没有难题。那么，为什么大家还感到难呢？可能有下面两方面原因。
1.1 规避题型，考生因陌生而“难”
几年来，北京的高考命题在规避题型、遏制“题海战术”方面可谓煞费苦心。如2007年，首先破除了三角题作为解答题之首的惯例，而把长期以来经常放置压轴地位的数列题降低难度后作为解答题的第一题（理15）。解析几何一反涉及直线与圆锥曲线关系一道大题的惯例，出了两道较为简单的题，其中一题以直线型题干（理17）为基础，另一道（理19）题，则是利用导数求半个椭圆的内接等腰梯形面积最大值的题目，而对大家关注的利用导数研究函数图像与性质的题目予以回避。再如2010年，对大家熟悉的算法框图题不考，数列题几乎无影无踪，三角题避开全市一模、二模的范例，考查了一道三角函数与二次函数综合求最值的题目。
（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。
在解析几何考题中，北京市各区模拟题几乎都是在借助“根系关系”研究直线与圆锥曲线位置，而高考另辟蹊径，就考了一道利用“根系关系”解决问题不是很方便的题目。
例2 （2010年理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于
。
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M、N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
1.2 深化对概念的考查，考生因定型的技能无用武之地而“难”
北京卷在试题的命制方面，着意在“淡化技巧、深化概念、突出数学思想方法的考查”上形成自己的风格。
例3 （2008年北京卷理12）如图，函数f(x)的图像是折线ABC，其中A，B，C坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))=________，
=________。
此题毫无技巧可言，考查学生对函数图像的观察和导数的定义的理解，应该说是一道容易题却难住了一大批考生，究其原因，主要是很多学生熟练于利用函数解析式求函数值的“程序化操作”，不会利用图像获取函数对应值；只会背求导公式盲目运算，不理解导数的定义与几何意义，更不理解直线是其割线与切线重合的特例，一次函数在各点处的导数即为直线斜率。于是，出现不知f(f(0))=f(4)=2和
的结果，就不足为奇了。
2010年的北京考题，也同样不乏容易不落俗套、简单不失深刻的经典之作。
A.(1，3]B.[2，3]
C.(1，2]D.[3，+∞）
多年来，对线性规划问题的考查，已形成较为固定的模式，即由二元一次不等式组给出可行域，该可行域一般是封闭的多边形，求形如u=ax+by的取值范围、最值，或求具有明显几何意义的量，如斜率、距离等。
而此题一改常态，不等式组所确定的可行域是一个开放的区域，讨论的是指数函数与该区域何时有公共点，这实际上触及了新课程人教A版教材必修1第3章函数模型的性质：在各种初等函数模型中，底数a大于1的指数函数增长速度最快，且a越大增长越快。
要满足题设，a不能太大，否则指数函数的图象会因增长太快，在y轴和所给区域之间“穿过去”。考虑到边界点是(2，9)，即在x=2，应满足
，于是，根据平面区域的开放性，即得正确选项(A)。
A.与x，y，z都有关
B.与x有关，与y，z无关
C.与y有关，与x，z无关
D.与z有关，与x，y无关
本题与北京卷08年理8（在正方体中，过对角线上动点作对角面的垂线…）、09年理8（A点问题）类比，不难发现它们都秉持在运动变化中考查学生理解层次的风格。只要我们结合图形分析，不论E、F、Q如何运动，总有EF长不变，点Q到EF的距离不变，于是△EFP的面积永远不变，而当P点变化时，它到面EFQ的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。于是，正确的选项为(D)。
例6 （2010年理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为______；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为______。
新课标将三角函数作为描述客观世界中具有周而复始运动变化的数学模型，这就自然提出了一个问题，是否仅三角函数具有周期性？怎样从本质上考查考生对周期概念的真正理解？命题专家通过本题给出很好的诠释。
根据题设，我们可以在头脑中“做数学”：在正方形PABC沿x轴滚动过程中，我们不难发现，周期与面积都是这个运动变化过程中的不变量，与正方形的初始位置无关。所以，不妨设正方形的顶点P与坐标系的原点重合（如上图），当它滚动起来点P再一次落在x轴上时，点P的坐标是4，即得函数y=f(x)的周期为4；而在这个滚动中，点P先作了四分之一的半径为1的圆周运动，再做四分之一的半径为
的圆周运动，最后又作了四分之一的半径为1的圆周运动，所以两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为π+1。
如果考生试图求出函数解析式后，再求周期和面积，那就大绕弯了。
2 如此高考对教学的启示
恢复高考30多年来，社会给一线教师太多的压力，为了提升考试成绩，大多数教师可谓千方百计、竭尽全力，在“考试”与“应试”“魔高一尺，道高一丈”的演进中，形成了许多有益经验。与此同时，对基础教育影响至深的“题海战术”与“题型教学”也是这种“应试文化”的产物。
2.1 如何认识“题海战术”与“题型教学”的应试作用
就数学教学而言，“题海战术”着眼于“面”的覆盖，试图穷尽“题型”，以便凭借“面积大”来提升覆盖“考题”的几率，希望学生能因更多的“熟面孔”而提高考试成绩；“题型教学”着眼于“点”的落实，强调固化不同题型的解题规则，强调学生机械的记忆与模仿。两者虽然各有侧重，但都把教学重心落在解题上，所以，也有一定的考试效果。
但从长远来看，教学教育若固守于此，不论对教师的“教”，还是对学生的“学”，都将会产生严重的负面影响。首先，“题型”的条分缕析，汇集成“题海”泛滥，势必加剧课堂教学越来越关注惰性知识的积累，越来越纠缠于细枝末节，无谓地加大学生负担，使学生难以学到“精当”的数学。其次，“题型教学”强调类型识别，固化解题规则，淡化解题策略的成因分析，这势必造成学生思维活动的“短路”，虽挣扎于“题海”，却不能摆脱“猪八戒吃人参果”的悲哀，由此导致学生能力难有实质的提高，对熟悉的题型可产生本能的反应，对不熟悉的题型很难做到具体问题具体分析，最终把鲜活的、富于挑战性的数学解题智能沦落以牢固记忆、熟练模仿为主要特征的解题技能。
如此的“教”与“学”，严重背离了我国课程改革的初衷，数学高考作为课程改革的一部分，理应发挥“素质教育”的强力导向，使数学教学早日摆脱“题海战术”与“题型教学”的羁绊。近年来，北京数学卷的“规避题型”，使过分依赖题型记忆、复制模仿解数学题的同学少得分或不得分，如2010北京卷理(15)、(19)两题的难度系数仅0.67与0.30就足以佐证这一点；北京数学卷的“深化概念考查、不追求对已形成套路的人为技巧的熟练运用”，使考生从“题海战术”与“题型教学”化出的“特技”，在解理(7)、(8)、(14)之类的题目时，几乎派不上用场；对于理科压轴(20)题来说，依靠“题海战术”与“题型教学”更是“望洋兴叹”；再加上北京卷110分左右的基础题，无需“题海战术”，无需“题型归类”，只要课本基本概念清楚，中等学生得100分应该是比较轻松的事。凡此种种，无不使我们认识到，“题海战术”与“题型教学”的应试作用在大大降低，只有运用素质教育的手段，才能大幅提升应试水平。
2.2 如何上好复习课
在如此高考导向下，每一位数学教师理应重新审视课堂教学的着力点。但是，教学的惯性是巨大的，在课堂教学中，特别是在高三复习课中，“高起点、大容量、快推进”的教学方式还在一定程度上存在着，以“记忆、模仿”为主要特征，而忽视理解的“解题教学”方式仍是应试备考工作中的主流方法，教学工作大多陷入“刻苦加刻苦、效率低下”的误区。
客观形势需要我们对数学教育的发展方向作出深刻的反思，即使再“功利”一些，至少也应该对如何提升高三复习的效率作出深刻的反思，限于篇幅，笔者只针对性对概念复习与解题教学提几点建议。
2.2.1 如何进行概念的复习
一个人在学习数学的过程中，基本概念是基本技能的生成之本，数学思想方法的形成，更离不开对数学概念的深入理解。要通过复习课，提升学生对概念的理解层次，建议遵循如下原则：
(1)“问题驱动”原则
教学中，“先罗列概念，再对应性的例题选讲”型的复习课并不鲜见。这种“油水分离”的课，一般不会有好效果，因为“罗列”对优等生来说，不新奇，无刺激，他们不会积极参与；对后进生来说，光凭“罗列”会不了，记不住，所以也不会有兴趣。好的方法是重点概念采取“问题驱动”，在解决问题中获取概念。如复习“直线与平面平行的性质”，可由以下问题驱动：
若直线l与已知平面平行，你如何确定一条过已知平面上一点的直线，使它与直线l平行？（搭平面，得交线，线线平行）
从中可推出什么性质？请你符号语言表述这一性质定理。
根据这一性质，说明平面内有多少条直线与已知直线平行？
这样做的好处是，不仅使学生洞悉“线面平行则线线平行”的来龙去脉、产生过程，还能熟练掌握知识的运用（推动过程完成线线平行的判定），全面提升理解层次，优化了学习过程。
(2)结构化、逻辑化原则
零散的知识不易理解，不易记忆，运用难以自如。所以，概念的复习还就遵循“结构化、逻辑化”原则。
这样的学习，优化了知识结构，克服了“见木不见林”的弊端，沟通了知识之间的联系，强化知识体系的功能。
2.2.2 如何实施解题教学
解题教学，有的教师热衷解法罗列，在学生思维参与度很低的情况下，法1、法2…，乐此不疲，殊不知过分依赖复制模仿，题型覆盖，试题一变，难以奏效，效率低下。从心理学角度看，解题技能是在解题策略的调控支配下实施的，而解题策略是解题者心理活动的产物，所以，解题教学与其说是教“解”法，不如说是教“想”法。帮学生提升策略水平，才是解题教学的根本之道。
北京卷的风格决定了“难题不是难在技巧上，而是难在策略上”，而在教学中，如何提升学生的策略水平？这是一个很难一句话回答的问题，我们可以试探性的作如下讨论：
(1)学生的解题策略水平，离不开数学思想方法的支撑，离不开对数学概念的深入理解；
(2)脱离学生的认知基础，一味强调“核心技能”的复制与模仿，难以提升策略水平；
(3)在学生的认知基础上进行“技能训练”，而不进行“技能成因”的合理性、必要性探究，也难以提升学生的策略水平；
(4)学生策略水平的高低与学生包括阅读理解在内的综合能力有关；与学生数学学习的经验水平有关；与学生面对陌生情境，能否进行信息加工，通过现象看本质的心理素质有关；与学生在长期的解题训练中，能否不断反思“技能成因”的合理性、必要性，进而内化为策略原则，即“元认知”水平有关。
基于这样的认识，我们要提升解题数学的效率，就必须做到如下几点：
①准确把握学生的思维习惯、认知基础，并以此作为解题策略生成的起点；
②教学中善于引导学生把他们已有的生活经验适时迁移到解题策略的制定上来；
③对于超出学生思维习惯、认知基础的解题策略，教师可以启发式讲授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和谐、水到渠成。
在此题的审读、理解、解答过程中，离不开这样的心路历程：
上述分析过程以学生的认知基础为起点，虽然处处有创新，但处处自然、和谐，处处反映出“策略”对解题步骤的调控支配作用。这足以说明，我们的解题教学应该着力改善解数学题过分依赖题型记忆、复制模仿的状况，应该着意提升学生在新颖的习题情境前，能根据已有的数学经验，挖掘隐含信息，并以研究者的心态分析、解决问题的能力，使数学的解题过程成为思维品质不断优化的过程。
3 结束语
几年来，高考数学北京卷虽然降低了绝对难度，但通过规避题型、深化对概念的考查，使一份比其他兄弟省市相对容易的试卷却保持了较好的区分度。并逐渐形成了淡化技巧，突出思想方法考查的命题风格；不断向教学一线宣示着“题型教学可以休矣”（文[2]）的教育理念；甚至已担负起“促进课程改革，展示首都特色”（文[1]）的社会责任。这强劲的高考的导向，对于促使广大教师用素质教育的方法，去提升考生的应试水平，对于课程改革的健康、深入发展，都具有深远的意义。