一道函数新定义试题的命制过程与感悟，本文主要内容关键词为：函数论文,试题论文,定义论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
最近，笔者参加浙江省宁波市江东区教研室举办的命题比赛时，命制了一道函数新定义试题，现将该题的命制过程与各位同行分享，以期得到大家的指正.
一、试题展示
函数y=
（α、b、k都是常数，且k≠ab）叫做“奇特函数”，当a=b=0时，“奇特函数”y=就成为y=
（k为常数，k≠0），是学生熟悉的反比例函数.
（1）若矩形的两边长分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8
，求y与x的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”.
（2）如图1，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）.点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“奇特函数”y=
的图象经过B、E两点.
①求这个“奇特函数”的解析式，并判断点D是否在这个“奇特函数”的图象上.
②判断这个“奇特函数”的图象能否经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，若能，请直接写出具体的变换过程和这个反比例函数图象的解析式；若不能，请说明理由.
③已知过线段B中点的一条直线l交这个“奇特函数”图象于P、Q两点（P在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，求点P的坐标.
二、命题过程
（一）试题产生的背景
笔者在教学中发现：一次函数y=kx+b（k≠0）、二次函数y=a
+bx+c（α≠0）的图象平移后所得到的函数解析式仍是y=kx+b（k≠0）或y=a+bx+c（α≠0）的形式，但反比例函数y=（k≠0）的图象平移后所得的函数解析式却不再是y=（k≠0）的形式了，即不再是反比例函数了.这里有没有一个新视角？于是笔者尝试编制一道以反比例函数图象平移后所得的函数为背景进行新定义的试题.
（二）命题的立意
笔者规划用新定义的形式来考查学生，用熟悉的对象激发学生探究的欲望.在知识层面上，考查学生对初中函数图象的概念及其应用，在能力层面上，让学生经历学习新知识，运用以往的学习经验，经过对新知识有价值的发现和提炼来有效解决问题，考查学生的数学素养，感受数学来源于生活实际问题，体验数形结合、转化及方程等数学思想.
（三）命题磨制过程中思考的几个问题
1.如何描述定义？
由于笔者命题的灵感来自于有些学生认为反比例函数图象平移后的图象解析式仍是一个反比例函数解析式的错误想法，所以一开始这样定义：我们知道反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心对称，如果把反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在直角坐标系内作适当的平移变换，所得的图象不再关于坐标原点成中心对称，由此可知，反比例函数图象平移后所得的图象解析式不再是反比例函数的解析式形式.我们定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某一反比例函数图象重合，则叫这个函数是y与x的“反比例平移函数”.
这样定义直截了当地纠正了错误观点，随后笔者要安排不同层次的若干个小问题，即直接应用定义求一个字母的值或判断某一个函数是否为“反比例平移函数”，求某一“反比例平移函数”的解析式，探究“反比例平移函数”图象的性质，利用所得的“反比例平移函数”图象的性质解决综合性问题.于是笔者尝试编制了以下三问：
（1）若反比例函数y=
向右平移2个单位，再向下平移1个单位所得的“反比例平移函数”上有一点A，A的坐标是（3，α），求α的值；
（2）判断y=
是否为“反比例平移函数”，并说明理由；
（3）若一个“反比例平移函数”的图象上有三点，坐标分别是
，求这个“反比例平移函数”的解析式.
解答时笔者发现有以下不足：解答第（1）问用的是函数图象平移相关的知识，与定义没什么关系；解答第（2）问用到的平移知识并不是要求所有学生掌握的内容，起点太高，不利于考查学生对新定义的正确理解与应用能力；而第（3）问中以往用待定系数法求函数解析式的经验也不能用.在已知所求函数为“反比例平移函数”的条件下，由定义只能得到它经过适当平移后为一个反比例函数的图象，一种解法是先由这三点的位置判断所求的“反比例平移函数”图象的对称中心在第一象限（也可略去这一步骤），从而设把已知三点同时向左平移a个单位，再向下平移b个单位后与双曲线y=重合，此时得到三点
在双曲线y=上，从而列出方程组
，解得a=6，b=2，k=3.最后再用平移的知识写出所求的解析式
.
鉴于以上分析，笔者模仿教材上一次函数的定义给出了这样的定义描述：函数
（k、m、n都是常数，且k≠0）叫做“奇特函数”，当m=n=0时，“奇特函数”y=
+n就成为y=（k为常数，k≠0），是学生熟悉的反比例函数.定义中看不到平移的痕迹，所以这个函数的名称就不能再用“反比例平移函数”，而改为“奇特函数”.它的不足之处在于，解析式中等号的右边为分式与整式的和的形式，不符合我们平时对代数式结果的表示习惯，而且也容易暴露它与反比例函数的关系，不利于培养学生的探究精神，所以最终使用现在试题中的定义描述形式，以期学生能用以往学习一次函数、反比例函数、二次函数的经验，运用类比思想方法学习这个新定义，入口较浅，有利于学生树立解题的信心和对以后问题的探索.
2.如何考查函数图象的相关知识
笔者经过探究发现：在平面直角坐标系中，不在同一直线上且经过任意两点的直线与两条坐标轴都相交的三点可以确定一个“奇特函数”.在第（2）①问中，要设计求一个“奇特函数”的解析式的试题，只要给出符合条件的三点即可，而要与其他类型的函数相结合，这三个点不能都直接给出.设想所要求的解析式为
，先分别取了该图象上A、B、C三点，坐标分别是
，其中点A直接给出，点B是直线BC：
与直线OB：y=
x的交点，点C利用面积方法去求，于是有了命制试题的方案1：
若一个“奇特函数”的图象与y轴交于
，且与直线交于B、C两点，与直线y=x交于B、D两点，且ΔBCD的面积是
.求这个“奇特函数”的解析式.
解答方案1试题时发现：用待定系数法求这个“奇特函数”的解析式时，会出现5个待定的常数；表示ΔBCD的面积时对C、D的位置还要进行讨论，面积的表示也很繁琐，掩盖了对函数知识的应用；另外题中出现了两条直线过于单一.所以重新编制试题时加入了抛物线，改变了与面积有关的图形位置，简化了用面积求坐标的计算过程，于是有了命制试题的方案2：
若一个“奇特函数”的图象与x轴交于
，且与抛物线y=
+mx+3及直线y=x交于第一象限内的A、B两点，抛物线y=+mx+3与y轴的交点为C，点O为直角坐标系的坐标原点，若ΔOAC的面积是
，求这个“奇特函数”的解析式.
通过让学生试做，发现计算所需时间还是太长，学生失去了做后面小题的信心，所以最后改为已知解析式中的一个常数，用两个点来求函数的解析式，使命题的着力点放在了思维量上，而不是运算量上，避免繁杂的运算干扰试题对主要目标的考查.
同时，考虑到问题中出现三类函数显得太多且内容单一，所以又改为以矩形为背景，运用相似三角形的知识求两点，这样命制出的第（2）问与第（1）问的梯度保持得也较为合适，考查了学生平面直角坐标系内点的坐标的几何意义、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式等知识.
3.如何考查学生迁移、运用新知的能力
试题第（1）问在让学生感受数学来源于生活实际的同时，考查学生是否学会了用某一名称或术语的定义去作判断的能力.
试题第（2）②问考查学生对新的数学概念的探究能力.在此对“奇特函数”图象的一般情况不作结论性的归纳，只探究第（2）①问中求得的这个特殊的“奇特函数”特点.还是期望学生用以往学习一次函数、反比例函数、二次函数的经验，通过观察函数图象，提炼函数图象的性质.试题中给出了这个“奇特函数”的图象，使学生很自然猜想这个“奇特函数”的图象是可由反比例函数图象平移得到，鼓励学生通过对直观图形的观察寻找解题的思路.所探究的“奇特函数”的图象上现在有三点（，0）、（3，1）、（9，3），在进一步解决时，不同的学生可以有不同的解决方法，如：通过对解析式的变形，类比二次函数的图象的平移知识求得结果；通过对解析式中两个变量的取值范围考虑，得出x≠6、y≠2，判断该函数图象的对称中心是（6，2），点（6，2）要移动到反比例函数图象的对称中心（0，0），需要向左平移6个单位，再向下平移2个单位，同时（，0）、（3，1）、（9，3）分别变换为
、（-3，-1）、（3，1），都落在双曲线y=
，从而求得结论；还可以设图象的对称中心为（α，b），从点（，0）分别向直线x=a和直线y=b引垂线段，与这两条直线围成的矩形面积为
，同理可得（3，1）、（9，3）对应的矩形面积为（a-3）（b-1）、（9-a）（3-b），由这三个矩形的面积相等求得a=6，b=2，得出这个“奇特函数”图象的对称中心是（6，2）而求得结论；还可以设（，0）、（3，1）、（9，3）同时向左平移a个单位，向下平移b个单位与双曲线y=重合，通过解方程组
（-b）=（3-a）（1-b）=（9-a）（3-b）=k，从而求得结论.另外命题中只要求学生直接写出结论的形式，可以让学生减少求3个未知量的书写时间，体现对思维能力的考查，还可以让部分学生尝试用描点法验证这个图象后，看图猜想结论，体现“以数助形，以形解数”的数学思想.
由此可以看出，此题可由多种方法求题，拓展了学生思维，可有效提高学生解决问题的能力.
试题第（2）③问是对第（2）②问的发现的灵活应用.由“奇特函数”的图象形状与双曲线一致，线段BE中点不妨记为M，则点M恰为这个图象的对称中心，从而B、E、P、Q为顶点组成的四边形必为平行四边形，可求得ΔBMP的面积为4，设
，分类讨论P的位置可能在点B的左侧或右侧，再列出方程，求得P的坐标为（7，5）或
.本小题综合了平行四边形的知识，还要用到分类讨论思想、方程思想，体现了试题考查学生综合分析能力的目的.
三、命题感悟
笔者认为，命题时应根据课程标准确定命题的立意，然后紧紧围绕立意去修改命题的内容与形式，这样才不会偏离命题的方向；试题设问时要注意各小题之间的层层递进和相互关联，控制好运算量与思维度之间的平衡；试题需表述清晰，符合学生的阅读习惯.命题的内容及形式尽量要体现“题在书外，根在书内”，让学生学习的重点放到基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的积累上，教师重视“过程”的教学，要拒绝偏题、怪题，让学生树立起学习的信心.