摘要：函数单调性是学生在高中阶段的函数学习中最早接触的一个问题，在高考数学的题目中关于函数单调性类的问题也是非常常见，为更好攻克单调性类题目的解题难关，提升高中生的数学解题效率，本文中我将以二阶导在函数中的应用为例，以两个例题讲解利用二阶导求函数单调性的具体方法及训练策略。
关键词：二阶导数；函数问题；高中数学
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-041-01
引言：函数f(x)的一阶导函数f’(x)在x的导数即原函数的二阶导数，在数学中，我们将其表示为f’’(x)。在高中数学中的函数单调性类问题考察中，有很多题目我们可以通过一次求导的方式进行解决，但是也有很多题目在我们一次求导完成后并不能直接判断原函数的单调性质，这时我们就必须对原函数进行二阶求导，因而二阶导数方法在数学题目解决中具有着一定的探究意义，那么在实际解题中我们应该如何利用二阶导函数求证函数的单调性呢？
一、第一道例题——根据单调性求大小
函数的单调性问题是学生函数学习的基础，其在学生今后的函数学习方面具有着重要的价值，但是很多学生并没有掌握科学的求解方法，尤其是对于那些需要进行二阶求导的问题，总有学生错了又错[1]。为提升学生在单调性类问题上的解题效率，本部分中我将借助题目分析的方法帮助学生梳理利用二阶导求函数单调性的方法。
例题：已知函数f(x)=sinx/x，且0＜x1＜x2＜1，假如a=sinx1/x1，b=sinx2/x2，求a、b之间的大小关系。
解析：在看到这一题目时我们应该想到要想解决问题，我们就必须先通过分析函数在x∈（0,1）上的单调性，然后再结合题目思考a、b之间的大小关系，其中在分析单调性方面，我们就需要用到二阶求导。在此题中，已知函数为f(x)=sinx/x，根据这一函数我们可以得到f’(x)=xcosx－sinx/x2，继而根据二阶求导的思想我们又能得到g(x)=xcosx－sinx，g’(x)=﹣xsinx＋cosx－cosx=﹣xsinx。因为题目中已知条件告诉我们0＜x1＜x2＜1，所以g’(x)＜0，也就是说函数g(x)在（0,1）上是单调递减的。又因为g(x)＜g(0)=0，所以f’(x)＜0，所以函数f(x)在（0,1）上为单调递减函数。于是我们就能得到f(x1)＞f(x2)，所以a＞b。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
二、第二道例题——根据单调性求值
在函数单调性类问题的实际解题中，总有一些题目我们无法直接通过一阶导数证明[2]，在面对这些题目时，很多学生就常常会觉得无计可施，究其原因就是他们对二阶导数方法的不熟悉，因而，在进行日常解题训练时，我们就应该合理的利用二阶导的方法训练学生求取函数单调性的能力。
例题：已知函数f(x)=[1＋㏑（x＋1）]/x，假如当x＞0时，f(x)＞k/（x＋1）恒成立，且k为正整数，求k的最大值。
解析：在这道题目中，我们也需要研究函数的单调性，且题中仅通过一次求导的方法并不能直接求出函数的单调区间，因而在解答这一问题时，我们就应该对函数进行二次求导。在此题中，已知当x＞0时，f(x)＞k/（x＋1）恒成立，根据此我们就可以得到：当x＞0时，h(x)=(x＋1)[1＋㏑（x＋1）]/x＞k恒成立，即h(x)（x＞0）的最小值大于k。又根据二次求导部分的内容，结合题目中的相关条件，我们可以得知：h’(x)=[x－1－㏑（x＋1）]/x2，记为φ(x)=x－1－㏑（x＋1），其中x＞0。继而我们就可以得到φ’(x)=1/(x＋1)＞0，即φ(x)在（0，﹢∞）上单调递增。又因为φ(2)=1－㏑3＜0，φ(3)=2－2㏑2＞0，所以φ(2)φ(3)＜0，继而就可以得到φ(x)=0存在唯一根x=m，其中m∈（2，3），即φ(m)=m－1－㏑（m＋1）=0，根据这一函数的单调性我们得到h(x)min=h(m)=(m＋1)[1＋㏑（m＋1）]/m=m＋1，所以k＜m＋1，又因为前部分中的内容我们可以求得m＋1∈（3，4），因而k的最大值应该是3。
三、二阶导以外的发散训练
在实际教学中，每个学生都应该掌握利用二阶导求函数单调性的策略，为了巩固学生对这一方法的认识，我们除了要对学生进行例题讲解以外，还应该注重学生的日常训练。
如在教学中，我们就可以通过错题本的方法，让学生将自己日常练习中遇到的此类题目进行总结，并归纳分析其最佳解题方法，当然，在数学题目中我们可用的方法也远不止一种，因而在对学生关于“利用二阶导求函数单调性”问题的训练中，我们还应该注意引导学生根据题目进行发散思考，并主动寻找题目的其他解决方案，如在本文中的第二道例题中，我们也可以先取x=1，并通过计算得到k＞2（1＋㏑2）＜4，由此猜想k的最大值应该是3，以此让学生的数学学习更加科学，同时，在这种方法中，我们还应该注意引导学生将发散方法与原方法（利用二阶导的方法）进行对比，并思考这两种方法的不同优势，继而让学生切实明确在什么时候利用二阶导求函数的单调性最好，进而提升学生对这一解题方法的使用能力。
四、总结
总之，在高中数学函数类问题的求解中，如果导函数的单调性不易直接确定，我们就应该考虑利用对原函数进行二阶求导的方法使问题简单化。
参考文献
[1]张梓萱.二阶导数在高中数学解题中的应用浅析[J].学周刊,2018(6): 49-50.
[2]王耀民.例谈二阶导数在高中数学中的应用[J].新校园旬刊,2018(7): 154-155.
论文作者:黄艺超
论文发表刊物:《教学与研究》2019年12期
论文发表时间:2019/11/21
标签：函数论文; 调性论文; 求导论文; 题目论文; 方法论文; 导数论文; 学生论文; 《教学与研究》2019年12期论文;