变式理论与认知发展，本文主要内容关键词为：认知论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“变式理论”[1]是中国数学教学传统的一项重要内容，对此我们不仅应当很好地继承，而且也应从各个方面作出必要的发展，包括清楚地指明这一理论与其他相关理论的区别与联系以及相互之间的互补关系。在前一文章[2]中笔者已通过变式理论本身的分析指明了进一步发展的必然性，以下则将围绕这一理论在数学教学中的应用对此作出进一步的论述。
一、变式理论与数学教学：案例一
正如文[2]中所已指出的，这可以看成“变式理论”的核心所在：我们应当善于“通过变化以突出其中的不变因素”，从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质，包括学会数学地解决问题。
以下就是以变式理论、特别是所谓的“概念式变式”指导实际教学工作的一个实例，尽管相关的任课教师在当时可能并没有清楚地意识到这样一点。
例1 “认识分数”。具体地说，作为分数的引入，这位教师专门设计了“分蛋糕”这样一个情境，并通过简单讨论（事实上，有很多学生在正式学习分数前已经通过各种渠道对分数的概念有了一定了解）引出了如下结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”。
从变式理论的角度去分析，我们就可以上述结论作为直接的出发点，并通过一系列的变化以帮助学生更好地掌握分数这一概念的本质。
第一，就分数的引入而言，相关的分割对象显然未必一定要是蛋糕，也可以是纸片或别的什么东西；另外，对于所分割对象的外形我们也无需作任何限制：它们既可以是圆形，也可以是方形或任何其他形状。显然，通过这些变化我们就可帮助学生初步理解其中的关键因素：这里所涉及的分割必须是“平均的”。
应当指出，上述的认识发展事实上也就是一个“数学化”的过程，后者即是指，数学并非对于真实事物或现象的直接研究，而是包含了一定的抽象，也即是以抽象的“数学模式”的建构作为必要的前提。
第二，相对于上述的“数学化”而言，以下的变化可以说更为集中地体现了变式理论的精髓：在此我们可以首先对分割的方法作出一定的变化，如就长方形纸片的分割而言，我们既可以横着折，也可以竖着折，还可斜着折……；另外，除去所说的“正例”以外，我们显然又应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等——这样，通过两者的对照，我们就可帮助学生更好地理解这样一点：这里的关键并不在于“如何分”，而是“平均分”，后者正是分数概念的本质所在。
第三，作为进一步的抽象，我们显然又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……从而，如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，我们就应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出适当变化，即如变化成“将……平均分成五份，其中的三份是它的3/5。”
第四，进一步拓宽思路，我们又可将分配的对象由“1个蛋糕”变化为“2个蛋糕”“3个蛋糕”等等。应当指明，所说的变化事实上也就意味着着眼点的重要变化：我们已经由“（平均）分配”这一实际活动转移到了部分与整体的关系，而这当然意味着对于分数本质更为深入的认识。
综上可见，我们在此即是依次对“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述中的各个成分进行了变化，这事实上也就是思维不断深化的过程。进而，尽管我们在此所直接涉及的是“认识分数”这样一个具体内容，但这显然也可推广到其他数学概念的教学。
二、变式理论与数学教学：案例二
上面的实例清楚地表明了变式理论对于实际教学工作的指导意义；作为问题的另一方面，我们又应防止对于这一理论的简单化理解，乃至仅仅为了“装点门面”而去求助于变式理论。例如，正是从后一角度去分析，以下或许就可被看成这方面的一个反例。
例2 一道几何证明题的求解。在此学生所面对的是这样一个问题：△ABC和△AED都是等边三角形（图1(1)），且CD=BF，求证：(1)△ADC≌△CFB；(2)四边形CDEF是平行四边形。
在教学中教师首先指明了这样一点：如果直接求解第(2)题是十分困难的，但如果将这一问题与第(1)题联系起来进行思考就会方便得多。
图1
其次，为了清楚地指明CD=BF这一已知条件的重要性，任课教师又专门设计了这样一些教学环节：
师：CD=BF，这有什么作用？
学生并没有直接的反应。
师：这表明D和F是两个动点，对吗？
在几次重复了这一观点以后，教师又作了如下的进一步提示：
师：好，CD=BF。这表明D和F是两个动点。D既可以在这里，也可以在那里，对吗？（教师同时用圆规在黑板上已画好的图形上进行了操作，即首先变动D的位置，再用圆规在AB边上截取与CD等长的BF，如图1(2)。）
教师接着说：“D和F是动点，运动时并应保持CD=BF，从而，如果D向左边移动，F就必须向上移动，……两个点以同样的速度向着不同方向移动，对吗？！这样它们所通过的路程才能相等，对吗？（教师在图1(2)上标上了箭头。）
师：如果你能这样去思考问题，可能就会理解CD=BF究竟有什么作用。这也就是说，我们可以用不同的方式去对同一问题作出描述。
然后，通过提示现在的问题与先前学生已解决过的问题的联系，教师又提出了如下的问题，这事实上也就清楚地表明了这一教学设计与“变式理论”的联系：
师：在D和F的移动过程中，你们有没有发现什么是保持不变的？
然而，由以下的对话可以看出，学生这时仍然不知所措：
师：在这一图形中，你们能否发现什么是保持不变的？部分学生：DC=BF。
师：这是已知条件。还有什么保持不变吗？
部分学生：AF=BD。
从而，教师最终就不得不直接作出了这样的提示，即是要求学生注意AD与CF的位置关系：显然，AD和CF并不平行，它们是相交的，对吗？它们的交角是多少？你们可以用量角器去量一下你们所画出的图形，特别是在移动的前后。
这时终于有部分学生得出了教师所希望的结果：“这个角保持不变，是60°。”
显然，在作出了这一发现以后，原来的问题就不难解决了。
但是，在此值得思考的是这样一个问题：变式理论的上述应用究竟是把问题变简单了、还是变复杂了？因为，只需就图1(2)稍作分析我们就可发现要证明△ADC与△CFB的全等（即问题(1)）是很容易的，而由这一结论我们又可立即推出“∠DOC等于60°”，不需做任何的变化或移动。
更为一般的说，这事实上也就应当被看成以任何一种理论指导实际教学工作所必须遵循的一条原则：应当有利于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”，而不应“无事生非”、故弄玄虚。
三、变式理论与认知研究
以下是另一个教学实例，我们将由此引出关于变式理论的进一步思考。
例3 一元一次方程的求解。从变式理论的角度去分析，在学生较为顺利地解决了如下的方程以后：7x+17=48（可称为“原题”），再要求学生去求解以下两个方程显然是十分合适的：
62=5x+27（可称为“变式一”）；5x+24=3x或5x+24=3x+12（可称为“变式二”）。
因为，这两者都与“原题”十分相似，都可以按照同样的步骤（移项、合并同类项、去系数等）获得彻底的解决。这样，通过所说的变化就可以帮助学生较好地掌握一元一次方程的求解方法。
然而，任何稍有教学经验的老师都知道，就学生的实际学习过程而言，却又经常会出现这样的情况，即某些学生在求解“原题”时并没有感到任何困难，但在求解“变式一”与“变式二”（或其他同一类型的问题）时，却又表现出了很大的难度。
我们应当如何认识上述现象？特别是，这是否可以被看成从一个角度表明了变式理论的应用也有其一定的局限性？
应当提及，上述的实例事实上是由国际著名数学教育家斯法德(A。Sfard)（她也是国际数学教育委员会2007年弗赖登特尔奖的获得者）在一篇论文[3]中所给出的，而这又正是其通过相关研究，特别是与学生的直接交流所得出的一个主要结论：尽管上述的三个方程在形式上十分相似，或者说，从逻辑的角度看只存在微小的差别，即是将未知数由方程的左边移到了右边，或是由“未知数只是出现在方程的左边”变化成了“同时出现在方程的两边”，但从认知的角度看却又包含了重要的思维发展。
具体地说，即使相关的学生仍然停留于算术的水平，其在求解“原题”时也不会出现太大的困难，因为，尽管后者是借助于符号进行表达的，但其求解的思路却是与学生在算术中求解如下问题时所遵循的思路完全相同的：“一个数乘上7，再加上17，所得到的数是48，问这个数是多少？”与此相对照，以下则应被看成学生能否顺利求解“变式一”与“变式二”（或同类问题）的一个必要前提，即其是否已经超越算术的水平而真正把握住了代数的本质，也即由纯粹的操作性观念过渡到了所谓的关于“过程—对象”的双相性（对偶性）观念。
例如，由学生关于“＝”的认识我们就可清楚地看出其是否已经真正超出了所说的操作性观念，这也就是指，对于等号我们不应再像算术那样理解成关于运算的一个指令，也即如何具体地去实施等号左边所规定的各项运算，并将所得出的最终结果写在等号右边（从而，“＝”在此所表示的就是一种单向、不对称的关系）；与此相对照，就方程的理解而言，则显然依赖于对于等号的这样一种新的认识：它所表示的已不是一个动态的计算过程，而是一种静态的等量关系，特别是，无论“＝”两边的表述式是如何的复杂，我们都必须将它理解成一个整体（对象），也即相关运算的结果，尽管我们在此并没有具体地去实施所说的运算；另外，也只有从等量关系这一角度去分析，我们才能真正理解各个具体的解题步骤的合理性，如移项、系数化为1（两边同乘或除以某一个数）等。
当然，在最终求得了方程的解以后，我们又可将其代入原来的方程并通过具体实施相关的计算以检验结果的正确性——从而，这时我们又已由前述的对象性观念重新回到了操作性（过程性）观念。也正因为此，斯法德指出，这就是代数思维的核心所在，即是应当采取“过程—对象”(process-product)这样一种双相性（对偶性，duality）的观念，并能根据情境与需要在这两者间作出适当的转换。
就我们目前的论题而言，这事实上也就十分清楚地表明了这样一点：由于变式理论主要集中于相应的教学方法，从而就必须辅以相关的认知研究，也即只有通过学生思维发展过程的深入分析，我们才能切实保证相关方法的恰当性，因为，如果所说的变式与学生的思维发展水平相脱离的话，相应的教学工作显然就不可能获得成功。
四、变式理论与“变易理论”
就变式理论的现代研究而言，这也是人们经常提及的一个观点，即是认为这一理论与瑞典著名教育家马飞龙(F.Marton)所提出的“变易理论”[5][6]是十分一致的。然而，笔者以为，我们在此也不应采取过分简单的观点，而应深入地去比较两者的共同点与不同点，因为，这种比较对于我们更好地去把握各个理论的特征性质，包括清楚地认识其优点与局限性都是十分有益的。（由以下的介绍可以看出，这事实上也正是马飞龙的“变易理论”的一个基本立场。）
具体地说，正如文[5]中所已提及的，这即是马飞龙（原译为马登）在先前所提出的“现象图式学”(phenomenology)这一理论中最为核心的两个概念：鉴别（区分，discernment）与差异（变异，variation），因为，他关于学习活动的如下基本见解就是围绕这样两个概念展开的：
(1)学习就是鉴别。例如，这就正如马飞龙所指出的：“以某种方式学习认识事物或现象就是从对象中区分出一些主要的特征并将注意力同时聚焦于这些特征”。
(2)有比较（差异）才能鉴别。这也就如马飞龙所指出的：“鉴别意味并仅仅意味着主体依据自己先前的关于多多少少有所差异的对象的认知而从物质的、文化的或感觉的世界中辨认出、察觉到了某个特征。”这也就是说，“鉴别依赖于对差异的认识”。
由此可见，尽管变式理论似乎更为强调主动的变化，也即如何能够“通过变化以突出其中的不变因素”，但对于“不变因素”的认识显然也依赖于比较，而所谓的“主动的变化”事实上则就是为了提供更多的比较对象——也正在这样的意义上，变式理论就是与“变易理论”十分一致的，或者说，前者即可被看成后者的一个特殊情况。
进而，也正是从这一角度去分析，我们就可清楚地看出在变式理论与“变易理论”之间所存在的一个重要区别：与前者相比，后者应当说采取了更为广泛的视角，也即并不局限于由同一“渊源”经由变化而生成的各种对象的比较，而是更加强调各种不同事物与现象的比较，乃至采取多种不同的分析视角。
例如，笔者以为，就只有从后一角度去分析，我们才能很好理解马飞龙何以会同时提出了如下的四种关于“变与不变的范式”，即对比、类合、分离和融合。这也就如文[6]中所指出的：“对比指的是一个事物、概念或现象在某个维度上不同值或特征的变化。……分离指的是学习者将注意集中于事物、概念或现象的某个变易维度上。……关注保持不变的方面叫做类合，这是教学中最经常使用的变与不变的范式。……融合指的是让学生注意事物、概念或现象同时变化的几个方面，它反映了几个变化的方面之间的关系。”
进而，这也是“变易理论”又一重要特征，即是同时强调了“类合”（这也就是通常所说的“归类”）与“对比”（这大致相当于通常所说的“分类”）这样两种活动。这也就如文[6]中所指出的，这是识别的基本方式之一：“某个事物的属性（如甜味）被识别出来，同时变易的维度（如味道）也被识别出来”。同样地，我们也应清楚地看到在“分离”与“融合”这两者之间所存在的相互渗透的关系：“某个事物（作为整体）从一个情境中被识别出来，同时这个事物的部分也从其他部分和整体中被识别出来。”这也就是指，事物的认识不仅关系到了局部与整体、而且也直接涉及对象与情境之间的辩证关系。
容易想到，“变易理论”与变式理论相比之所以能够采取更为广泛的视角与辩证的观点，主要地也就是立足于实际认识活动、特别是学生学习活动的深入考察的一个直接结果。从而，这事实上也就从又一角度更为清楚地表明了这样一点：无论就变式理论本身的发展或是其对于实际教学活动的指导作用而言，我们都应保持头脑的开放性，并应高度重视对于学生在学习过程中真实的思维活动、包括思维发展过程的深入考察。