高中函数概念引入的课例分析，本文主要内容关键词为：函数论文,概念论文,高中论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近两年，笔者有幸两次听过有关高中函数引入（第一课时）的研究课，引发几点思考，与各位同仁分享.
一、课例概述
简单概述一下教师A（课例1）和教师B（课例2）的研究课.
课例1师生活动
1.引入（2分钟）
师：初中学过哪些函数？
生1：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数.
师：初中所学函数的定义是什么？
学生回答，教师补充并大屏幕展示：在一个变化过程中的两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
2.建构（26分钟）
教师出示三个实例（1）炮弹的射高与时间的变化关系（解析式）；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系（图象）；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系（表格）.先让学生根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系，再引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系，最后用集合与对应的语言抽象概括出函数定义及定义域和值域概念：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈ A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛ f（x）｜x∈A｝叫做函数的值域.
3.剖析（8分钟）
（1）下列函数的对应关系是什么？
表示同一个函数吗？为什么？
（4）值域与集合B的关系是什么？当定义域A和对应法则f确定后，函数的值域能确定吗？
（5）y=f（x）一定就是函数的解析式吗？
4.巩固（8分钟）
（1）判断下列对应是否为函数
③坐电梯时，电梯距离地面的高度h与时间t之间的关系图：
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数？说明理由.
4.小结（1分钟）
课例2师生活动
1.引入（13分钟）
师：我们生活的世界充满着变化，我们每时每刻都在感受.你能举出几个具体的函数例子吗？
生1：销量随时间的变化而变化.
师：能具体些吗？
生2：匀速运动y=ax.
师：你这里的y、a和x分别代表什么？
生2：路程y，a速度，x是时间.
教师补充了某天气温—时间变化图和成绩—学号表，让学生思考交流：它们是否是函数，并提示学生用初中学过的函数定义判断.
附：成绩—学号表
2.建构（21分钟）
教师引导学生先后将成绩—学号表和气温—时间变化图用集合语言刻画其关系，然后给出函数集合对应定义及定义域和值域概念.
3.剖析（3分钟）
按照成绩—学号表格，下列情形是数集A到数集B的函数吗？
①A=｛1，2，3，4，5，6｝，B=｛80，82，85｝
②A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛80，82，85，90｝
③A=｛80，82，85｝，B=｛1，2，3，4，5｝
4.巩固（15分钟）
（1）判断下列对应是否为数集A到数集B的，函数
①A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛2，4，6，8｝，f（x）=2x
②A=R，B=｛m|m≥0｝，f（x）=|x|.
③A=｛x|x≥0｝，B=R，F：x→y，y是x的平方根；
④A=｛1，2，3｝，B=｛7，8，9｝，f（1）=f（2）=7，f（3）=8.
（2）已知A=B=｛1，2｝，请写出集合A到集合B的函数.
二、评析建议
（一）复习引入为哪般
两位教师都注意到初中和高中的衔接，复习了初中函数概念.教师A让学生简单回忆了初中学过的具体函数和函数定义，虽然必要但并没有引起学生的共鸣.教师B让学生举几个具体的函数例子，由于时间紧，当学生举出路程y随时间x变化的解析式时，教师就补充了用图象（气温—时间）和表格（成绩—学号）表示的对应关系，让学生思考交流它们是否是函数.教师B在此环节花费了13分钟左右，是否值得？回答这个问题，需要分析一下学生对函数已有的认识.
先回放一下从课例2观察到的一些现象.
教师B在补充了用图象和表格表示的对应关系后，让学生判断是否是函数.其中一部分学生认为不是函数，理由是：图象（气温—时间）不能用解析式表示；成绩与学号没有必然的关系（言下之意是没有规律）.特别值得指出的是，正是教师B让认为不是函数的学生陈述理由，才使得我们了解学生的真实想法.
从课例2的片断，不难发现部分学生认为函数是有规律的，这个规律是能用解析式表示的，图象和表格只是补充而已.
其实学生从8年级就开始正式接触函数.通览义务教育课程标准实验教科书人教版、北师大版、华师大版和北京版8年级教材，都是通过若干个含有两个变量间的单值对应的实际问题，引出了变量、常量概念，继而引出函数概念的.关于函数定义，这些教材的共同之处是：一个变化过程；两个变量x与y；x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应.随着学习的深入，内容的增多，考试的要求，函数知识衰减对学生而言是必然的，他们能够记住的就是具体的函数：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数.这些函数都有解析式，y依x变（x是自变量，y是因变量），可以画出图象，几乎处处是连续的.因此学生认为只有图象而找不到解析式，离散的两个变量的对应表格不是函数，不足为怪.
高中函数概念公认的抽象难于理解.如果引入的实例是否是函数还存有疑义，那么在这个基础上探讨高中函数概念岂不是难上加难？另外，如果这些问题用初中函数的变量定义可以判断，那么有什么必要改进函数定义？换言之，还有什么必要学习集合对应的函数定义？
（二）怎样引入更有效
学生在初中已学了函数概念，高中为什么还要学函数概念，就此问题笔者曾问过几位刚上完函数概念课的高中学生.
生1：我也不知道为什么，但初中和高中函数概念不一样，老师让学一定有道理！
生2：没想过为什么.是不是可以加深对函数的理解？
生3：温故知新吧，为后面的函数学习打下基础.
通过学生的回答，感觉到学生学习的被动.
翻阅人教社的全日制普通高级中学教科书（必修）高中数学第一册（上）的第二章函数，一开始先回顾了初中函数概念，然后提出两个问题.问题1：y=1（x∈R）是函数吗？问题2：y=x与y=
是同一个函数吗？[1]
显然，上述两个问题用初中函数定义很难说清楚.这不仅引发了学生的认知冲突，激发其求知欲，而且为下一步用集合对应语言刻画函数打下了伏笔.
授之以鱼，不如授之以渔.这个道理老师们都清楚.但是如果学生对吃鱼、做鱼、钓鱼、捕鱼没有兴趣，那他（她）有兴趣学习做鱼的厨艺、钓鱼的技术、捕鱼的方法吗？所以激发学生学习的内在动机非常重要，特别是对高中生.由初中函数“变量说”概念到高中函数集合对应的概念，了解这种改变的历史、意义和必要性，可以激发学生的学习动机，这也是引入高中函数概念的有效途径.
（三）如何建构概念
了解了初中函数概念的局限性后，改进函数定义，建构集合对应的函数概念就该是本节课的重点了.
建构函数概念，首先需要选择适宜的数学原型；其次要利用数学原型归纳概括概念.
教师A选用普通高中课程标准数学实验教材人教A版提供的三个实例.三个例子典型、广泛，如果学生有兴趣，对是否是函数不产生歧义，选择其为数学原型是合适的.建议就是表格表示的恩格尔系数与时间的变化关系可以选近几年的，另外实例还可以选取更吸引学生的.
教师B选用成绩—学号表格作为一个数学原型，虽然贴近学生，但对是否是函数，学生易产生歧义，这样喧宾夺主将建构函数概念的重点分散了.如果在建立了集合对应的函数概念之后，作为概念的巩固再来探讨相同问题，效果也许不错.
高中函数概念建立的数学原型应该是有利于学生将自己关于函数的前概念过渡到高中函数的集合对应的概念.所以，数学原型对学生而言简单是第一位的，其次才是典型、广泛、学生有兴趣.
普通高中课程标准数学实验教材人教A版对提供的3个函数原型处理的方式不一样，前两个用集合与对应的语言直接解读对应关系，第三个让学生类比叙述其对应关系.然后，提出思考问题：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点.[2]在此基础上，陈述了高中函数概念.
教材设计的这一建构路径，提供了很好的思路.教师应该根据学生情况，采用不同的策略.比如，对于学优生可以不给示范，或给出1个例子示范，让他们尝试用集合语言去刻画原型的对应关系；对于学中生可以给出1或2个例子示范，其余由他们完成；而对学差生可以给出2个例子示范，其余以填空的方式由他们完成.当然老师要在其间给出恰到好处的指点.
（四）如何剖析概念
概念建立后，教学惯例是对概念的剖析.因为高中的函数定义，特别是抽象符号“f：A→B，y=f（x），x∈A”，大多数学生是无法由原型的抽象，然后归纳概括出高中函数的形式化定义.所以高中函数概念的剖析非常重要.
教师A和教师B在剖析概念时，将需要关注的问题和关键点融入若干问题中，请学生思考.比如教师B将成绩—学号表格的问题进行了变式，不仅充分利用同一背景问题，提高了效率，而且将“任意”、“｛f（x）｜x∈A｝是B的子集”、“唯一”这些函数概念的关键信息得以强化.
这样的设计比直接告知概念的注意事项，学生的认知参与度提高了，自然学习效果佳.但是如果这些问题能够经常尝试让学生自己提出，他们不是只学“答”了，还学“问”了，那么学生学习的能力将得到提高.
（五）如何巩固概念
新授后的练习，一般围绕某一具体内容（重点、难点、关键点），进行的单项简单练习.这种练习可及时纠正学生的错误认识，同时让正确理解及时留下深刻的印象，达到强化、巩固、加深理解的作用.
教师A和教师B将巩固概念的练习，分成两部分.一部分用于概念剖析中，这组练习对于学生完整正确地理解概念起到了一定的作用.另一部分用于突出重点上.
关于巩固概念的练习，提出三点建议：
（1）函数的类型丰富一些，如课例1可增加表格对应的形式，而课例2可增加图形表示对应的形式.
（2）可考虑题目形式多样一些.
（3）可根据学生程度，设计有梯度的练习.
核心概念之一的函数概念贯穿整个中学数学，代数中的数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的.高中函数第一节课，要承前启后，不仅让学生经历建构集合对应的函数定义，正确理解函数概念，而且要形成学生乐学的态度，能学得自信.