金融数学介绍，本文主要内容关键词为：数学论文,金融论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
金融理论的中心问题是研究在不确定的环境下如何对资源进行分配和利用。时间和不确定性是影响金融行为的主要因素，它们相互作用与影响，其复杂性需要一定的数学分析工具来研究。因此，金融数学(Mathematics of Finance,Financial Mathematics)应运而生。在西方，尽管金融数学模型出现的较早，但很长时间没有得到有效的应用。但在最近几年，它得到迅速的发展，而且这一趋势仍在继续，1996年意大利暑期学校“金融数学”讲习班吸引了来自16个国家的众多经济学家、数学家以及金融业从业人员[1]，就是例证之一。许多金融学家已经看出，数学语言和工具对于进一步发展金融理论是十分有效的。同时，许多数学家发现，金融数学为应用他们的数学技巧提供了一个重要而有价值的领域，并且看到金融数学已导致如金融工程[2]这样一些重要而新颖的问题的产生。
一、金融数学的概念界定
金融数学起源于金融问题的研究。随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧密相连，而且现代金融学的发展也推动了数学的某些分支的分支，同时数学理论和方法为金融学的发展提供了有力的工具。简单地说，金融数学是指运用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科，在国际上称为数理金融学(Mathematical Finance)。金融数学从一些金融或经济假设出发，用抽象的数学方法，建立金融机理的数学模型。金融数学的范围包括数学概念和方法（或其它自然科学方法）在金融学、特别是在金融理论中的各种应用，应用的目的是用数学语言来表达、推理和论证金融学原理。
金融数学是金融学的一个分支，因此金融数学首先以金融理论为背景和基础，这倒并不意味着从事金融数学一定要受过金融方面的正规的学术性训练（这确实大有益处）。尽管金融学由于具有自己充足的特征而从经济学中独立出来，但它毕竟是作为经济学的应用分支学科发展起来的，因此金融数学也以经济理论和技术为基础和背景。由于金融学还同会计学、财务学、税务理论等有密切的联系，金融数学还需要以会计原理、财务技术、税收理论等方面的知识为基础。金融数学的理论基础当然还包括现代数学理论和统计学理论，其首要环节是数学或统计建模，也就是从复杂的金融环境中筛选出关键因素以分辨出相关因素与无关因素，然后从一系列的假设条件出发，推导出各种关系，最后到达结论并作出对结论的解释。这种建模活动不仅非常有用而且极为重要，因为在金融中，假设中一个小小的失误、一个错误的推导、一个有错误的结论、或者一个对结论的错误解释甚至都会导致一次金融的灾难。
综上可见，金融数学是金融学继定性描述阶段以后的一个更高层次的数量化的分析性学科。
二、金融数学的发展简史
金融数学的最早出现可追溯到1896年由艾文·费雪(Irving Fisher)最先确认并作出解释的基本估值关系，这种估值关系是金融理论的核心之一，它说明一项资产的价值等于其产生的未来现金流的现值之和。在之后的几年里，由于证券市场得到了较大的发展，投资者们开始寻找对风险证券进行定价和预测未来价格的方法。这样，在本世纪一开始法国数学家路易斯·巴舍利耶(Louis Bachelier)便提出了著名的“投机理论”[3]，这一理论为后来金融数学的发展，特别是现代期权定价理论的建立奠定了基础。1934年本杰明·格雷厄姆(Benjamin Graham)和戴维·多德(David Dodd)出版了一本关于证券估值的著作[4]，它已成为证券行业的圣经。1938年弗莱德里克·麦考莱(Frederick Macaulay)建立了对债券交易市场上的发行者和投机者非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等[5]，他的关于久期(duration)和利率免疫(immunization)的工作导出了几乎被目前所有从事资产／债务管理的人都普遍采用的工具。
1952年，哈里·马柯维兹(Harry Markowitz)在《金融杂志》上发表了一篇题为“投资组合选择”的论文[6]，阐述了如何利用投资组合，创造更多的可供选择的投资品种，从而在一定风险水平下取得最大可能的预期收益率。该文引发了大量的对现代证券组合的分析工作，开始了现代金融数学的先河，在理论界被称为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命。不过，在当时的条件下，该模型的计算技术很复杂，尤其是在给定的时间条件下，难度就更大了。1963年，马柯维兹的学生威廉·夏普(William Sharpe)提出了简化形式的计算方法[7]，即现在所称的单指数模型，使投资组合理论特别是在大量的证券经营上更实用了。到了70年代，该模型所需的计算可以借助计算机完成，这就使证券组合理论更广泛地应用于实践。现在，单指数模型已经被广泛地运用于投资组合中的单个普通股票之间的投资分配了，而最初的更一般的马柯维兹模型则是被广泛地运用于不同类型证券之间的投资分配，诸如债券、股票、风险资本和不动产等。此外我们应提到，60年代早期，利兰德·约翰逊(Leland Johnson)[8]和杰罗姆·斯特因(Jerome Stein)[9]采用债券组合的方法，把证券组合理论扩展到套期保值；70年代末期，路易斯·埃德林顿(Louis Ederington)把约翰逊和斯特因的工作发展到金融期货对金融价格风险进行套期保值[10]，这些工作形成了现代套期保值理论。
1964年、1965年和1966年，威廉·夏普[11]、约翰·林特纳(John Lintner)[12]、简·莫辛(Jan Mossin)[13]三人分别独立地提出了著名的资本资产定价模型，它是第一个在不确定的条件下探讨资本资产定价理论的数学模型，它为金融市场收益结构的分析提供了理论依据。该模型在金融领域盛行了十五年之久，成为西方金融学教科书的基本内容，并在测定投资组合业绩、资本预算等方面得到了广泛的运用，因而也成为现代证券分析的一个主要支柱。由于标准的资本资产定价模型有一系列理想的假设条件，为实际应用带来了许多困难，因此人们围绕资本资产定价模型的前提条件展开了大量研究。例如，1970年，文[14]放宽了资本资产定价模型的无税收假设，把税率对证券风险报酬的影响考虑了进去；1971年和1972年，文[15]和[16]均研究了不存在无风险资产借贷时的资本资产定价模型；1972年，文[17]考虑了市场不完备情况下的资本资产定价模型；1973年，罗伯特·默顿(Robert Merton)[18]推导连续时间交易情况下，资产收益率是对数正态分布的资本资产定价模型，开始了时际(intertemporal)资本资产定价模型的研究；1974年，文[19]在国际资产定价模型下研究了通货膨胀因素对资本价格的影响；进入80年代，资本资产定价模型进一步从单周期模型扩展到多周期模型，逐步形成了时际资本资产定价模型理论。[20、21]尽管如此，1977年理查德·罗尔(RRoll)[22]对资本资产定价模型提出了质疑，他认为该模型永远不可能得到实证检验，这一争论至今仍是一个热门话题。
与此同时，司蒂芬·罗斯(Stephen Ross)突破性地发展了资本资产定价模型，于1976年提出套利定价理论[23]。该理论并不需要像资本资产定价模型那样严格的假设条件，而模型形式与多指数模型相同。罗尔和罗斯在1984年都认为，该模型至少在原则上是可以检验的[24]。
1973年，费希尔·布莱克(Fischer Black)和迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes)为解决给期权定价这一长期捆扰金融界的难题，在《政治经济学杂志》上发表了“期权和公司债务的定价”[25]，提出了第一个完整的数学模型，即布莱克—斯科尔斯期权定价模型，被理论界和实业界广泛接受和使用，成为发生在金融领域的又一次革命。此后还发展了许多可供选择的期权定价模型[26]，如考克斯(Cox)的二项式期权定价模型。此外，罗伯特·默顿(Robert Merton)给出了重要的布莱克—斯科尔斯期权定价模型的变形，他在1973年就给出了以连续支付红利的股票为标的物的期权定价公式，并把布莱克—斯科尔斯期权定价理论推广到无风险利率和标的物价格的变异度可以不为常数的重要情况，从而完善了期权定价理论[27]。这些模型几乎从发表时刻起就一直被用来确定卖出和买入的公平价格，有的已被修改到实用于80年代末期出现的利率期权和汇率期权。
三、金融与数学的关系
一代数学大师戴维·希尔伯特(David Hilbert)曾说过：“凡遵从科学思维者，当其准备发展成为一门理论时，即进入公理化研究的范围，就能够进行数学的处理和讨论。”现在绝大多数金融学家是赞赏数学的作用的。
但是，用数学方法处理某些社会科学问题时，经常遇到许多困难，所要研究的事物是错综复杂的，需要考虑的因素甚多，对其自身的认识往往很不充分，用社会科学所表达的规律还可能含糊其词。因此，在使用数学工具时，就不能像处理自然科学那样得心应手。在用数学解决金融问题时，总是要排除一些次要因素，把问题限制在某个范围内加以研究和论证。与数学进入其它学科（如医学和生物学）的初期相仿，常常会招致人们的怀疑和贬低。尽管如此，坚冰毕竟打开，数学在金融领域大有用武之地。实践也证明了这一点。实际上，自1969年设立诺贝尔(Nobel)经济学奖以来，已有多人因在金融理论中有效地运用数学而获得成功。托宾(Tobin)[28]因创立投资决策的数学模型而获1981年度诺贝尔经济学奖，马柯维兹、夏普和米乐(Miller)三人因创立投资组合理论和资本资产定价模型而获1990年度诺贝尔经济学奖，默顿和斯科尔斯因创立期权定价理论而获1997年度诺贝尔经济学奖（布莱克要不是英年早逝的话，一定可以分享这一殊荣）。可见，数学给金融学带来了巨大的活力。实践将继续证明，数学在金融理论中会发挥越来越大的作用。
在我们对数学的作用作出乐观的估计的同时，必须清醒地意识到数学所处的地位，企图把所有金融问题都纳入金融数学的范畴的想法是不现实的，也是荒唐的。数学总是其它学科的合作伙伴，它着眼于“能做什么”和“怎样做的更好”，这大概正是它在一些边缘学科中获得成功所遵循的路线。这条路线已经并将继续在金融经济领域里得到贯彻，数学家与金融学家的通力合作是发展金融数学的必由之路。
四、金融数学中的数学理论与方法
金融数学作为一门边缘学科，它的最显著特征就是有效地运用数学方法发现和论证金融经济运行的一些规律。金融数学都用到那些数学工具呢？简单地回答：“不择手段”。具体来讲，主要包括随机分析、随机控制、数学规划、微分对策、非线性分析、数理统计方法及其它现代数学方法。最近有人用半鞅来刻画价格的变化。也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性分析工具，例如分形几何、混沌学、小波理论、模式识别等。在证券选择和股票种类和预测中有人应用神经网络方法、人工智能方法，在期货市场创新的仿真研究中有人运用模拟退火方法和遗传算法等。
五、金融数学的理论框架
金融数学的本质是应用数学工具来表达金融规律，并进行演绎和推理，以建立金融理论体系。金融数学处在进一步发展和完善当中，到目前为止，金融数学的理论框架是：现代证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、套期保值理论、期权定价理论。
现代证券组合理论(MPT-Modern Portfolio Theory)：马柯维兹提出的证券组合理论是研究怎样在几种未来结果不确定的竞争性选择（如股票和债券）中分配资源的。该理论认为，投资者的投资愿望主要是追求高的预期收益，但他们一般希望避免风险。因此，对一个证券组合的管理，不仅应重视预期，而且应考虑风险，即应以减少投资风险提高证券收益为目标来确定证券的最优组合。换句话说，最优组合在已知风险的条件下应达到最大的预期收益，或者在已知预期收益的条件下应使风险达到最小。在这一思路下，该理论设计了一个二次规划模型来进行最优证券组合的选择。
资本资产定价模型(CAPT-Capital Asset Pricing Model)：该模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何确定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系，实质上是对单个资产或资产组合进行均衡定价。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值。一种证券的相对市场价值等于这种证券的市场价值除以所有证券总的市场价值。该理论指出：资产（或资产组合）风险的准确指标是β值，即资产（组合）收益波动对市场组合收益波动的敏感性；当资本市场处于均衡时，风险资产预期收益是其β值（系统性风险）的线性函数。
套利定价理论(APT-Arbitrage Pricing Theory)：套利定价理论可以看成是资本资产定价模型的扩展，它把宏观经济运行中其它因素（如工业产值指数、通货膨胀率等）对证券收益的影响包含了进去，为收益的描述提供了更好的拟合。该理论认为，预期与收益的关系是：没有一个投资者能够通过无风险套利创造无限的财富。其原理基于一个价格准则：完全相同的两件物品不能以不同的价格出售，否则就会出现套利的机会。
套期保值理论(Hedging Theory)：套期保值是构筑一项头寸，来临时性地替代未来的另一项资产（或负债）的头寸，或用来抵消因持有一个现货资产（或负债）头寸直至该头寸变现而带来的风险。最常用的套期保值工具有期货合同、远期和约、期权和互惠掉换，这些金融工具被通称为衍生证券。套期保值的主要论题有三个：套期保值的规模，套期保值是否有效，套期保值的成本。套期保值的规模是相对于被保值的现货头寸来定义的，这个相对值被称为套头比。套期保值是否有效是用套期保值减少企业面临的价格风险的程度来度量的。套期保值的成本就是指它减少企业的预期利润的程度。套期保值是否有效和套期保值的成本结合起来决定了套期保值的效率，有效率的套期保值相对于每一单位成本能减少最大量的风险。从一系列可用的有效率的套期保值方法中选择效用（此处效用的含义有经济学中的相同）最大的一个，就是所谓的最佳套期保值方法。
期权定价理论(OPT-Option Pricing Theory)：该理论运用数量方法发现了可交易金融资产（如股票）的市场价格波动规律，并根据这一规律确定该资产的衍生证券（如股票期权）的当前价值，即给期权定价。该理论的基石是著名的布莱克—斯科尔斯期权定价模型。该模型蕴涵着一个极为深刻的思想，即期权的风险实际上在标的物的价格及其运动规律中就得到反映，而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。因此，要研究期权定价必须首先刻画标的物的运动规律，而且也是所有后续的期权定价理论的出发点。在对标的物的特性和期权及标的物的交易规则的一系列假设条件下以及关于作为标的物的股票价格运动规律的一个基本假定下，该模型用期权、标的物股票和一种无风险证券构筑一个无套利的组合头寸，用一组随机微分方程刻画动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。按照期权到期日的情况，可以定出这个微分方程的初始条件，再倒向解出这个微分方程的初始值的表达式，就得出期权定价的公式。
在以上几个基本理论中，期权定价理论成为现代金融数学的核心内容。正如瑞典皇家科学院在1997年度诺贝尔经济学奖的嘉奖辞中所说：“期权定价理论和公式可以说是最近25年以来经济学领域中最为重大的突破和最卓越的贡献。它不仅为金融衍生市场近10年的迅猛发展奠定了可靠的理论基础，而且它在经济生活多个领域中的广泛应用将为金融业的未来发展带来一场革命性的变化。”
六、金融数学的问题和展望
近年来，国际金融界发生的一系列重大事件：墨西哥金融危机、美国橙县金融衍生产品失败导致的破产、英国巴林银行的倒闭、法国里昂信贷银行巨额亏损、日本东京三菱银行的合并、东南亚金融危机，使人们对于金融变革中的问题产生了极大的警觉，对于金融数学的研究和应用产生了极大的关注。
除了对前述几个基本理论框架的继续发展和完善外，金融数学的研究课题还有很多，例如下面几个专题：公司融资、不完全市场和不完全信息情况下的一般均衡理论、金融机构的深化改革与经济发展的关系、国际市场中的利率和汇率等。
金融变革也给金融数学提出了一系列实际的迫切研究课题：
第一，金融衍生产品、金融系统机制等模型的建立。新的金融衍生产品层出不穷，这类金融衍生产品模型欲跟上变革的要求，需要不断开发研究。目前，需要研究较高层次的金融运行机制模型、金融资源配置模型等。
第二，金融数学的系统特性的研究。风险性、保值性、震荡性、稳定性等一系列金融系统的特征，反映金融系统的功能、运行、作用。目前尚未从系统角度深入研究这些结构性特征。
第三，金融灾害预测和风险控制。近年来国际金融界发生的一系列灾害性事件，对于金融预测和风险控制提出了挑战。传统方法，如一般预测方法和K线图，在金融灾害面前束手无策。目前尽管在金融预测中尝试采用人工智能、人工神经网络方法，但探索新方法仍刻不容缓。至于金融风险的控制研究，至今近于空白。
第四，金融衍生产品的复杂系统算法。金融数学需要实际求解，数学规划方法、控制理论方法等已大量使用。近年来，模式识辨、模拟退火、遗传算法等在金融数学中已处理了常规方法难以解决的问题。但仍需进一步研究和开发复杂算法。
第五，利率结构与国债发行，通货膨胀、利率与资产持有之间的关系，国内和境外外汇储备的管理、投资组合，国际资本市场，金融市场对外开放的策略等。
由于历史和体制的原因，我国的金融市场起步较晚，金融工具少，金融数学模型少、其在金融系统中的应用更少，金融学科的建设也十分落后。因此，全面开始适合我国国情的金融数学理论的研究，大规模地培养金融数学的师资和科技队伍，并造就一批真正掌握现代金融知识和技术的人才，使我国的金融学真正从描述性阶段发展到分析性阶段再发展到产品化和工程化的更高阶段，这些重大任务已经历史性地落在我们的肩上。
可喜的是，北京大学等科研院所已经成立了金融数学系或金融数学研究中心等类似机构。国家自然科学基金委员会管理科学学部和数学学部联合设立了“九五”重大项目“金融数学、金融工程和金融管理”。我们相信，金融数学在我国必将会得到更加广泛的重视和应用。
标签：数学论文; 金融数学论文; 金融论文; 资本资产定价模型论文; 期权定价模型论文; 期权定价论文; 金融工程学论文; 期货期权论文; 金融期权论文; 风险资产论文; 风险模型论文; 套期保值论文; 金融工具论文; 证券论文; 资产定价论文; 风险管理论文;