我国八年级学生数学推理论证能力的调查研究_数学论文

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      一、问题提出

      推理作为不可或缺的思想方法，渗透在数学的产生与发展过程中，其中既包含用于猜想发现的合情推理，又包含用于严格证明的论证推理.数学家莫里斯·克莱因指出，数学最显著的特征是其运用的推理方法，并强调在公理的基础上运用演绎保障数学的有效性.[1]另一位数学家波利亚则十分强调合情推理在数学中的作用.他指出，论证推理可以用来肯定数学知识，而合情推理则可用来为猜想提供依据，并倡导在数学教学中必须有猜想的地位，因为数学的学习过程应该反映数学的发明过程.[2]

      我国的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）明确指出，“推理的发展应贯穿于整个数学学习过程中”，并在课程总目标中提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能……在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”[3].类似地，《普通高中数学课程标准（实验）》中也指出，人们在学习数学和运用数学解决问题时会不断经历合情推理和论证推理的思维过程，并在课程目标中将推理论证作为基本能力之一明确提出.[4]同样地，世界各国在21世纪初颁布的课程标准中，都将发展推理能力列为学生能力培养的一个重要方面.[5]

      但是，如何对能力进行评价是课程改革面临的一个重要课题，也是一个挑战.新课程的实施对我国学生的数学推理论证能力影响如何尚无定论.本研究基于教育部人文社会科学重点研究基地项目“义务教育阶段数学学科核心能力模型与测评框架研究”（课题批准号：11JJD880027），构建了适用于我国中小学数学课程的推理论证能力评价指标体系，并在全国范围内对八年级学生进行测试，试图在一定程度上揭示我国义务教育阶段学生数学推理论证能力的培养现状.具体研究问题如下：1.我国八年级学生合情推理能力处于何种水平？是否存在性别差异？2.我国八年级学生论证推理能力处于何种水平？是否存在性别差异？

      二、数学推理论证能力的内涵界定

      《课标（2011年版）》分别从合情推理与演绎推理两方面阐述了推理能力的内涵，指出：“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.”[3]

      《美国州共同核心数学标准》阐释的八项数学实践标准中既提出了对推理能力的要求，又提出了对论证能力的要求.该标准指出，数学推理的前提是将现实情境抽象化、数量化，而推理论证的过程既要使用定义、性质等已有结论，又要符合逻辑，要求学生不但能够论证自己的观点，而且能对他人的推理进行评判，如举出反例等.[6]国际学生评估项目（PISA）在解释数学推理能力时提到了一般化、解释并证明数学结论以及对数学论证进行反思.[7]

      总体而言，数学推理的对象是表示数量关系和空间形式的数学符号；数学推理的依据主要来自问题所在的数学系统；数学推理是环环相扣连贯进行的符合逻辑的过程.论证与推理密切相关.论证旨在由已知判断确认未知判断的真假，其过程必然包含对推理形式的运用，而推理一方面是论证的工具，另一方面又是获得猜想的途径.

      基于上述分析，本课题组从内容、过程、结果三方面将“数学推理论证能力”的具体内涵阐述如下：

      通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑性思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而作出推论，再进一步寻求证据、给出证明或举出反例说明所给出推论的合理性的综合能力.[8][9]

      三、研究方法

      （一）被试的选取

      本研究团队采用分层整群抽样的方法在全国八年级学生中选取被试样本：首先，按照不同地理位置、不同经济发展水平选取8个城市；然后，按照综合水平差异在该城市中选取不同层次的3所以上学校；最后，在每个样本学校中，选取一个整班学生参加数学推理论证能力测试，参加测试的八年级学生正在学习或者已经学习过平面几何中有关推理论证的内容（见表1）.这种取样方式较好地保障了样本的代表性.

      

      （二）测评框架与测试题的形成

      本研究依托“义务教育阶段数学学科核心能力模型与测评框架研究”课题的整体设计，从三个维度出发构建了数学推理论证能力测评框架[9].其中一个维度考虑数学推理的类型，包含合情推理与论证推理两个大类，根据需要还可将合情推理细分为观察与实验、直觉与联想、归纳与类比等，论证推理也可进而划分为三段论推理、关系推理、数学归纳法等.另一个维度考虑数学的内容分支，就义务教育阶段而言，包含数与代数、图形与几何、统计与概率等.最后一个维度将数学推理能力由低到高划分为再现、联系、反思三个水平，具体描述见表2.

      基于上述框架，为了便于对大规模测试结果进行统计分析，本研究采用多题量测试卷及框架导向的测试题来衡量学生的数学推理论证水平.

      

      在测试题的水平划分方面，为了提高其内容效度，首先通过专家认证的方式，从主观上给出测试题的预设水平，然后经过两次预测试，在试题的设计、试题的数量以及排列顺序等方面进行修正，最终形成的测试卷中包含三种不同水平的试题各两题，每题都含有合情推理与论证推理两部分要求，整份试卷信度达到α=0.68，具体内容分布见表3.

      

      （三）测试结果的编码与分析

      测试题的数据编码采用多重计分制，用一个三位数来对应每个学生在每一题中的表现.其中首位数字表示该题“合情推理”部分回答正确与否（正确计1，错误计0）；中间数字表示该题“论证推理”部分回答正确与否（正确计1，错误计0）；末尾数字是一个诊断性编码，用于区分不同的解题策略、错误类型等.

      对于0—1型计分，本研究利用项目反应理论模型，使用BILOGMG3.0软件，采用双参数Logistic模型，分别计算各题的难度系数、区分度系数，以及被试的能力估计值，进而分析被试的能力分布情况，并利用独立参数t检验分析性别差异.

      对于反映被试作答类型的诊断性编码，则主要做定性分析.

      四、研究结果

      （一）被试的合情推理能力高于论证推理能力

      数据分析结果显示，被试学生在数学合情推理方面的平均水平高于论证推理，前者处于水平二，而后者处于水平一.

      图1呈现了两类推理能力的分布情况，横轴中的0代表平均水平.值得关注的是，虽然被试在合情推理方面整体水平较高，但是仍有部分学生的能力远低于平均水平（能力估计值低于-2）；同时，部分学生的论证推理能力发展较快（能力估计值达到+2）.

      另一个有趣的现象是，两种能力类型的分布图中都有一个“低谷”（合情推理处于0.5～1；论证推理处于-0.5～0），这是否预示着推理能力的发展会经历一个飞跃期，仍有待进一步研究.

      （二）不存在显著的性别差异

      通过对不同性别的学生进行比较，本研究并未发现男女生在数学推理论证能力方面存在显著差异.

      由于样本中的31份性别数据缺失，所以，表4和表5给出了对574名女生和612名男生（共1186人）进行数学推理论证能力差异比较的结果.分析表明，在合情推理方面女生的表现略微优于男生；相反地，在论证推理能力上，男生则优于女生，但是这两方面的差异并不显著（P＞0.05）.

      （三）被试数学推理论证能力的具体表现

      1.合情推理能力的具体表现

      从整体上看，多数被试学生具备了一定的合情推理能力，特别是具备了从特殊到一般的归纳思想，但是多数学生在复杂问题情境中进行归纳时仍旧缺乏理性思考，在对结论的反思和检验方面能力较弱，这也与他们论证推理能力不足密切相关.少数学生合情推理能力较弱.

      

      

      

      例如，前三道测试题均可由特殊情况联想到一般结论.题1要求学生观察图2所示的一串白黑相间排列的珠子，并按此规律推断第36颗珠子的颜色.题2要求学生判断两个连续自然数的积是奇数还是偶数.题3则要求学生观察三个特殊等式：

进而得出一般结论.

      

      对于题1和题2，能够通过归纳获得正确结论的学生均超过了全体被试的85%.为了说明题2结论的获得过程，学生能够列举1×2=2，2×3=6，3×4=12，呈现出了从特殊到一般的思考过程.但是对于题3的回答却是五花八门：获得正确结论的学生不足30%；有27%的学生忽略了数的表达与字母表达之间的差异，给出了与正确答案

.较为接近的回答

，这是代数问题一般化过程中常常会碰到的困难；特别值得一提的是，近三分之一的学生给出了形如

的等式，这部分学生在结论获得的过程中虽然也运用了从特殊到一般的方法，但是未能通过进一步举例验证的方式对这一错误的猜想进行修正.在之后的测试题中，学生的合情推理能力表现与此类似.需要指出的是，调查显示，仍有少数学生的合情推理能力处于较低水平，他们对题1的解答依据来源于“白珠子较多”或者“36能被6整除，就看第6颗珠子的颜色”.

      由上述分析可以看出，被试学生的合情推理意识已经形成，但是合情推理能力仍有待提升，特别是对猜想所得结论进行反思和检验的能力，是与学生论证推理能力的发展密不可分的.少数合情推理能力较弱的学生需要受到特别关注.

      2.论证推理能力的具体表现

      从整体上看，多数学生的论证推理能力处于较低水平，在理清命题的条件和结论、正确使用定理、恰当选择证明途径等方面均存在困难.部分学生误以为不完全归纳也是证明的一种手段.但是也存在部分学生论证推理能力发展较快，在思考问题的过程中表现出较强的逻辑性和严谨性的情况.

      例如，题4要求学生写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并判断该命题的真假（写出论证过程）.该题试图测量学生在图形与几何领域的推理论证能力.数据分析的结果发现，超过二分之一的学生无法正确写出逆命题，其中有些学生将逆命题写成“直角三角形斜边一半的线是斜边上的中线”，可见未能理清命题的条件和结论，在论证推理能力方面仍存在缺陷.另有约15%的学生虽然能够正确写出逆命题，但是无法给出完整正确的证明过程，说明在选用恰当的方法进行论证方面仍存在困难.另一方面，有超过四分之一的学生给出了该问题的完整解答，部分学生在解题过程中对文字语言、符号语言、图形语言之间的相互转化运用纯熟，论述过程清晰严谨，此外，学生的正确解答中呈现出了三种不同的证明方式，除多数学生利用三角形内角和定理进行证明之外，还有少数学生利用添加辅助线的方法使命题得证.由此可见，虽然被试学生的论证推理能力整体水平不高，但是仍存在部分学生显现出较强的论证推理能力.

      又如，题2测试了学生在数与代数领域的论证推理能力.对于“两个连续自然数的积是偶数”这个命题，超过二分之一的学生无法给出证明，其中部分学生在对命题进行论证时仅罗列了若干特殊情形，将不完全归纳视为一种证明.与此相反，在答题正确的学生（占全体被试的45%）中，近一半采用了分类讨论的方法，还有五分之一左右的学生将文字语言转化为符号语言进行表述，呈现出较强的论证推理能力.

      综上，学生在数与代数、图形与几何方面的论证推理能力均有待提高.值得注意的是，学生的论证推理能力在八年级出现分化，部分学生的论证推理能力呈现出较高水平.

      五、讨论与建议

      （一）关注高层次合情推理能力的培养

      本研究发现，我国八年级学生的数学合情推理能力整体上处于中等水平，但是在合情推理的过程中仍缺乏反思和检验的能力.这一方面说明我国义务教育阶段的数学教育基本上能够帮助学生达成课程标准所设定的合情推理能力目标，另一方面也促使我们不断思考怎样培养学生的高层次合情推理能力.

      课程改革以来，无论是教材编写者还是一线教师，都越来越多地意识到合情推理能力的重要性，并且努力创设各类情境，使学生在学习过程中能够经历观察、实验、归纳、类比等合情推理活动.但是，高层次的数学合情推理活动应该包含更多的理性思考，也就是不仅限于动手操作、用心观察、寻找联系与规律，还应该包含获得猜想、检验猜想、加强或推翻猜想，乃至证明猜想的全过程.学生需要通过这样的过程来体会合情推理在数学发现中的作用，并且意识到合情推理得到的结论有真有假，合情推理并不等同于证明.数学的发展依靠的并不仅仅是确凿的定理条数的增加，还在思辨与批评、证明与反驳中对最初猜想的持续不断的改进.[10]《美国州共同核心数学标准》与PISA都在数学推理能力的要求中强调了反思能力.[6][7]高层次的数学推理活动离不开提出证明或构造反例，合情推理离不开论证推理，学生需要在充分推理的过程中体会数学发现的乐趣，进而综合地提高数学推理论证能力.

      （二）关注数学论证推理能力的分化现象

      我国的数学家和数学教育工作者历来重视证明的教学，但是本研究发现，我国八年级学生论证推理能力整体上仍处于初级水平，部分学生无法正确区分命题的条件和结论，在证明过程中错误地使用定理，或者将合情推理等同于证明.与此相对的另一部分学生则在数学论证推理方面表现出很强的能力，能够清晰严谨、步步有据地完成证明.

      按照我国课程标准的要求，从第三学段（7—9年级）开始发展学生的演绎推理能力[3]，八年级的学习内容涉及几何证明，正是数学证明学习的起步阶段.从研究结果看，学生的论证推理能力发展并不是整齐划一的，这与其他研究所得结论一致，即：同一年级内部学生的推理能力处于不同水平[11].这样的现象对数学教育工作者提出了更高的因材施教的要求.如何安排论证推理的教学才能够最大限度地使不同的学生得以发展？需要进一步的实证研究.此外，论证推理能力较强的学生是否真正理解数学证明的价值，也是值得研究的问题.

      本研究呈现了八年级学生数学推理论证能力的概貌.如果想全面了解不同年龄段学生数学推理论证能力的发展情况，并兼顾对统计与概率、类比推理等内容的考察，仍需在原有能力测评框架的基础上编制相应的测试题，进而探究学生数学推理论证能力发展的全貌，以期为中小学数学课程设置与教学实施提供更多有益的参考.

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