由两道高考试题的研究引发的教学思考，本文主要内容关键词为：两道论文,高考试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年江苏高考数学卷最后两题（以下简称试题（19）、试题（20））立意新、方法活，很好地体现了数学的思想方法，积极地体现了课改精神，对数学教学也起到了较好的引领作用.
对阅卷中的情况进行调研，发现考生对试题（19）的思考仅停留在问题的表象，对问题的研究缺乏方向感，答题卷上留下方法繁多，计算混乱的“局面”.考生对试题（20）的研究更是缺乏信心，绝大部分考生（包括平时优秀的一些学生）抓不住问题的本质，熟悉的递推数列在新的“环境”下变得陌生，许多考生不知所措，思维感到一片空白.同样，与高三数学教师交流发现，大家普遍感到试题（19）、（20）有新意，有难度，不易上手！
近几年数学教育取得了很多成绩，但我们更要看到存在的问题与不足.“优秀学生的数学能力、数学素质还不令人满意，思维的灵活性到哪里去了？”高密度的“例题”与高密度的“测试”符合理想的数学教学吗？社会发展，人类进步所呼唤的数学教学究竟是什么？等等这些问题我们必须从灵魂深处来研究数学教学的本质.
一、试题的研究
（1）求椭圆的方程；
参考答案：略.
优秀试题的“迷人的风光”应体现在对高层次理性思维的考查上，应给优秀考生留下深刻的印象.下面是对试题第（2）问的研究与认识：
注 Ⅰ.联想对称，将问题转化为椭圆的过焦点的弦问题，其运算目标为由韦达定理将参数
化归为单一参数k的计算问题，思路合理，方向明确.有趣的是，转化后出现的新问题情景在高二、高三学习时也遇到过.
Ⅱ.学生感到运算的复杂与艰难，根源在于“解题方向”模糊.
Ⅲ.沿此思路，还可求出满足条件的P点轨迹方程为
.
2.试题（20）第2问的研究
注 上面的研究还告诉我们：得到关于
的方程
时，易知方程根最多2个.此时，方程思想和集合的语言为我们展开了联想的翅膀.正如布特勒所说：“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到无边无际的空间”.数学是一种心灵的语言，忽视对数学概念内涵与外延的准确解读和有机运用，学生就不可能掌握这“心灵的语言”，就必然缺乏思维的穿透力.另外，高密度的例题教学仅仅是一种机械的思维训练，并不能增强问题研究的能力.杂乱的思维训练反而会影响学习兴趣，并增强了学生对数学思考的“恐惧感”.
二、关于数学教学的思考
1.新授课要紧扣课本，复习课要回归课本
（1）新授课的教学要紧扣课本
紧扣课本就是要求教学要特别重视基本概念和课本上的基本问题的研究.对数学的每一个概念，不仅要讲清它的意义，并且要理解课本上相应的例题、习题和复习题的学习价值.通过这些问题的教与学的活动，有机地让学生进一步理解新的概念，以及新概念与其他相近的数学概念的联系，让学生深刻认识每一个概念存在的价值，以及基于课本的对概念的发展而精心设计一个单元、一个章节的课堂教学，这是一种教学智慧.这是我们数学教学要追求的一种思想，一种艺术.比如，试题（19）中求A
的斜率问题，所用到的知识方法均在课本上.如课本（选修1-1）第51页上的复习题（第18、第21），若在新课教学中能加以很好的研究，并进行必要的联系与发展，而不是“一批了之”（简要批改、讲评），那么，学生不仅能加深对椭圆的基本概念的理解，同时也深刻地掌握了弦长AB的计算方法，并由此探索有关“弦长”的相关问题的研究方法.学生在考场上对试题（19）的研究就不会“无从下手”，就不会“无计可施”.重视课本上问题所体现的数学方法和数学思维的研究，才能更好地发挥教材的功能，才能更好地引导学生科学学习，才能引导学生在平凡的问题中发现更深刻更一般的数学内涵.反之，远离课本，忽视基础的能力培养是脆弱的.发展知识，发展能力，就必须紧扣课本.
（2）高三复习教学必须回归课本
离开“基础”的教学设计，离开“基础”的教学活动，思维能力的培养必然是脆弱的.比如刚才提到的“弦问题”，教学中功利性地关注问题的“解决”，没能将问题的研究回归到课本.回归课本，就是回忆、唤醒以前学习的重点概念及基本问题，由此才能发现问题的本质，才能找到问题的源头（根），帮助学生展开有质量的联想.回归课本，就是要促进学生对数学概念的理解和发展.因为由概念引出的对产生新方法起到起始作用的联想，对发展学生的能力非常有效.否则，一连串的问题的教学，必定影响学生对数学本质深刻认识.缺乏对数学本质认识的教学难以提高学生的认识能力和创新能力，留下的是乏味的重复训练的机械式思维，这样的教学是一种无根的教学.“萍水相逢尽是他乡之客”就是最好的形容.比如试题（20）第2问的研究，高三不等式复习教学中若注重回归课本，对必修5P94第14题等问题作简要的回顾和必要联系与发展，
2.解题教学要还思维空间给学生
“问题是数学的心脏”，解题教学是数学教学的核心内容.培养学生的思维能力是解题教学的灵魂.解题教学要还思维空间给学生，首先要重视教学目标的确定.由此进行的教学设计还必须研究要选哪几个例题（例题的量和例题的质的研究）？为什么要选这几个例题？学生会有什么反应？而学生的“反应”其落脚点在于学生的思维能力是否得到有效发展（主动发展）.近两个月调研了十多所高中学校，发现“72”小时现象：教师认真教学，学生学会了某问题的解题过程.三天之内，学生认识该问题的思路，但三天之后（72小时）学生在练习该问题（或类似问题）时，又处于茫然状态，解题思路混乱.
解题教学还思维空间给学生，要增强问题研究的方向和方法的讨论.比如，试题（19）第2问的研究中是如何想到转化为“弦问题”的？方法的合理性在哪里？（努力克服方法的盲目性）.还思维空间给学生，就是要增强问题研究的方法选择的讨论？比如命题组提供的方法合理性在哪里？解题方向的确定和解题方法的确认是需要时间的.让学生训练解题方向的确定是需要设计的，这是教学智慧的高度体现.让学生训练解题方法的确认过程，也是需要预设的，同样这也是教师智慧的高度体现.这样的教育学生会一辈子受益.
还思维空间给学生，其教学价值取向还包括心理品质的培养.还思维空间给学生，才能更有效地培养学生“明智的克制和理智的诚实”心理品质，才能更有效地培养学生在逆境中冷静地分析问题的心理品质，才能更有效地培养学生把握全局，抓主要矛盾的主要方面，善于绕过障碍的心理品质.缺乏思维空间的问题研究，必然导致学生思维水平降低，依赖、“模仿”型学生增加，优秀学生的创新能力受到抑制.考卷上留下的“杂乱的过程”也就不足为怪了.教育应该是一种慢艺术，缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气、缺乏水分的植物，哪会有郁郁葱葱的景色？我们必须从灵魂深处来研究数学教学的本质.
3.“数学思想”不能停留在教学的表层上
近二十多年来，在徐利治先生等一些数学家的倡导下，中学数学教学越来越重视数学思想方法的渗透.《数学通报》等刊物也作了广泛的宣传，数学课程标准也起到了很好的引领作用.但调研中发现，数学思想方法的渗透仍停留在教学的表层上，其原因也是多方面的.
（1）数学思想方法的渗透，必须克服“贴标签”的现象
“取得最佳教育效果的方法就是掩盖教育意图”.所谓“贴标签”现象是指教师有“渗透数学思想方法”的观念，但缺乏深层次的理解，在教学中对“数学思想方法”只是“空洞的说教”或“形式化的一提了之”，其教学行为不是教师发自内心深处的教学理解.克服“贴标签”现象，教师必须深入学习和研究“课标”和“教材”，深入领会数学思想方法的内涵和意义，研究更贴近学生的更具有数学素质教育的教学方法.即数学思想方法的渗透能否拨动学生心灵深处的那一根弦？能否引领学生触类旁通？能否引领学生积极创造？
克服“贴标签”现象，必须重视“解题方向和方法”的反思.“直觉思维当然很重要，但是在数学活动中，更重要、更高级的是反省思维”（斯普根，著名数学教育家），注重反思的教学能使学生真正抓住数学思维的内在本质，从而提升学生对数学思想方法的理解，并内化到数学学习中.数学思想方法的渗透必须强化对数学本质的研究，强化对数学本质的研究（包含对数学概念、问题的本质研究），有益于增进教师对数学思想方法的深入理解，由此影响教师的教学行为.比如，对集合概念本质的研究，会使我们深刻理解“集合是一种语言”的思想.上面提到的试题（20）第2问的研究，正是由于我们运用集合的这一思想，才增强了对方程
的认识，即增强了对
的认识从而引发新的联想，即“等比数列的图象”的联想，使问题“峰回路转”.
克服“贴标签”现象，必须重视试题本质的研究.比如2010年江苏高考压轴题研究，笔者将试题本质的研究，与数学思想方法的运用相结合，使研究过程从“由浅入深”到“深入浅出”，给出的解题思路不仅能与学生共鸣，而且能引领学生将数学思想方法贯穿于问题的整个研究过程，提升了学生研究问题、解决问题的能力.
（2）数学思想方法的渗透必须重视数学美的研究
试题（19）、（20）的研究中充分体现了化难为易、追求简单的思维方法.“简单就是美”，陈省身先生说过，数学的本质在于化繁为简，理性思维也是体现化繁为简的一个主要方面.由此呈现的理性思维必然深刻、自然地体现了数学的思想方法，同时也必定受到了数学美的启示.试题的研究中，我们受到了“对称美”、“图象的抽象美”等数学美的启示和引领，产生了丰富的联想，使思维既有逻辑性，又有跳跃性，从而帮助我们发现了将问题化难为易、化繁为简的方法.因此，教学中数学美的研究首先是你和学生交流的方法是否符合简单化原则.其次，在数学教学中，数学美的研究要关注如何使数学思想方法的渗透更为自然，这是数学教学研究要加以重视的课题.因为方法的自然，才能让学生真正感受到美的数学，并内化为对数学美积极追求的自觉行为.道法自然，这是数学教学永远要追求的准则.
从情感、直觉，尤其是审美的角度来认识数学美，对激发学生的学习热情和学习质量具有独特的意义.数学美对人的影响是广泛的.科学家狄拉克1956年在访问莫斯科大学时题词：“物理学定律必须具有数学美”.1974年狄拉克在哈佛大学演讲上又说：“学物理的人用不着对物理方程的意义操心，只要关心物理方程的美就够了”.数学美对人的影响是深远的.数学美的领悟，会引领学生正确运用数学思想方法，同样，数学思想方法的运用更为深刻、更加自然时，数学美总会伴随在学生的左右，并最充分地发展学生的想象力.试题（19）、（20）的研究又一次告诉我们：简单是真的标志，美是真理的光辉.