谈利用模型表征空间关系的数学活动经验的教学，本文主要内容关键词为：表征论文,模型论文,数学论文,关系论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从课程目标来看，文[1]提出，在注重“基础知识”和“基本技能”的同时，要积累“基本活动经验”.文[2]指出，积累“基本数学活动经验”形成比较完整的数学认识过程，构建比较全面的数学现实，对于提高我国的数学教学质量，帮助学生获得良好的数学教育，具有重要意义.以上观点启发我们，立体几何的教学，不但要重视“基础知识”和“基本技能”的教学，还要重视积累处理空间关系的“基本活动经验”的教学.从学习心理层面看，美国现代认知心理学家西蒙（H.Simon）认为：“表征是问题解决的一个中心环节.它说明问题在头脑里是如何呈现，如何表现出来的.”[3]
因此，立体几何的教学，要重视准确地外部表征空间对象的数学活动经验的教学.本文从利用模型表征空间关系的数学活动经验教学的角度谈几点看法.
一、引导学生积累利用长方体模型外部表征空间概念的背景的数学活动经验
用长方体模型外部表征空间概念的背景是一种数学活动经验.空间的点、线、面之间的关系，立体几何的大多数概念，在长方体中均有很好的体现，利用长方体通过观察、归纳、概括形成概念是一种学习空间概念的数学活动经验.实践证明，利用长方体这一模型，可以使应用空间概念进行判断直观化，让学生获得应用空间概念的数学活动经验，降低由学习到应用的门槛，帮助学生完成从点到线、面的各种位置关系的空间想象的外部表征.
在教学中，我们首先在课前引导学生制作长方体模型，用实物模型为学生树立长方体的顶点、棱、面的表象，为形成在长方体中学习空间概念的数学活动经验奠定基础.在学生头脑中具有长方体的鲜明表象以后，我们运用观察、操作、猜想、作图、设计等方式引导学生探索长方体的结构特征，通过观察图1-1、1-2、1-3所示的长方体，感知长方体的8个顶点，12条棱，6个面之间的位置关系，提升对空间关系的认识.
在引入每一个概念时，我们均可从长方体出发，以具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间一般的点、线、面之间的位置关系，抽象出异面直线、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等概念，概括出各种位置关系，引出各种符号，引导学生按自然语言—图形语言—符号语言的程序学习空间概念的数学活动经验.
案例1 异面直线概念的教学.
首先引导学生观察长方体的点、线、面的位置关系，然后设置如下问题串：
问题1 长方体各棱之间有哪些位置关系？
通过列举分析，引导学生归纳出空间两直线有3种位置关系：平行、相交、既不平行也不相交.至此进行如下追问：
问题2 如何描述这些位置关系？
通过与长方体类比，展开在生活中找实例的数学活动，引导学生去伪存真、由表及里，揭示概念的本质.从特殊到一般，抽象出异面直线的概念，给出直线位置关系的分类，从自然语言抽象出图形语言和符号语言.在后续教学中，我们继续追问：
问题3 观察长方体中各棱之间的位置关系，思考如何确定一对异面直线a与b之间的关系？
为进一步深化对异面直线概念的理解，我们引导学生在长方体中归纳出“等角定理”，在此基础上引入异面直线所成的角的概念.继续追问：
问题4 异面直线所成的角能确定一对异面直线a与b之间的关系吗？
通过对问题4的研究，引入异面直线间的距离的概念.至此，我们揭示了：一对异面直线a与b之间的关系由异面直线所成的角和异面直线间的距离来确定.
二、引导学生积累利用长方体外部表征定理背景的数学活动经验
用长方体外部表征定理的背景是一种发现定理的数学活动经验.空间的线线平行与垂直的性质与判定、线面平行与垂直的性质与判定、面面平行与垂直的性质与判定，在长方体中也有很好的体现.因此，我们可以利用长方体模型，通过观察、归纳、类比获得有关性质定理和判定定理的背景，将立体几何定理的教学形象化，让学生在长方体中认识、发现立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系和结论以后，再给予证明，借此我们可以帮助学生建立基于长方体模型的学习定理的一套数学活动经验和一个空间观念系统.
用长方体外部表征定理的背景是一种学习定理的数学思维方式.在长方体中，引导学生经历观察—猜想—发现—证明的过程，让学生感悟和学习由合情推理到演绎推理的思维方式.同时，建立利用长方体模型表征空间关系的直觉思维方式，养成学生用长方体解决问题的思维习惯，让学生在短时间内对立体几何有一个整体的认识，提高学生直觉思维的能力.
案例2 平面与平面平行的判定定理的教学.
引导学生观察图2-1所示的长方体，获得如下发现：平面α内的直线a与b相交于点A，a//平面β，b//平面β，由此可得α//β.
继续引导学生观察图2-2所示的长方体，可以发现：虽然在平面α内的直线a与b都与平面β平行，但是α与β不平行.为什么呢？比较发现一个不同点：a与b不相交.
根据上述的探索，我们可以归纳得到：
平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
在归纳推理的基础上，我们再进行演绎推理，给出证明，引导学生学习应用合情推理探究、猜想，应用演绎推理证明的数学思维方式.
数学家克莱因说过：“一个数学主题只有在成为直觉上的显然以后，才能算研究到家了.”立体几何中的大多数定理在长方体中均可以获得直觉理解，达到“直觉上显然”的境界.
三、引导学生积累利用几何模型外部表征空间问题结构的数学活动经验
用几何模型外部表征几何问题的结构是一种数学活动经验.具体地说，就是从数学问题的条件出发，构造出与问题“同构”的几何模型，并利用它对问题进行想象表征和外部表征，实现化繁为简、化难为易的目的.
用几何模型外部表征空间问题的结构是让立体几何解题的教学情境化的重要途径之一.引导学生利用模型表征空间关系和结构，就会使原来数学形态的抽象问题呈现出一个结构鲜明的情境，使枯燥的数学问题形态变成很有价值的教育形态，更重要的是，这一数学活动情境会向学生呈现一种学习方式和解决问题的数学思维方式.
1.积累利用正方体外部表征问题结构的数学活动经验
有些问题如果就题论题则陷入困境，但用正方体模型来表征问题，问题便迎刃而解了.
案例3 在四棱锥的4个侧面中，直角三角形最多可能有（ ）.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
教学实践表明，学生面对本题，出现将问题表征出来的心理障碍，要讲清楚为什么会有4个直角三角形，总要画出图形来解释才能让学生理解，而要让学生独立的画出这样的四棱锥也不是一件容易的事，教学中，我们提出引导性的问题：你能在熟悉的正方体中找到这样的四棱锥吗？
案例4 一个二面角的两个半平面分别垂直于另外一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（ ）.
（A）相等（B）互补
（C）相等或互补（D）不定
2.积累利用长方体模型外部表征问题结构的数学活动经验
案例5 在四面体ABCD中，AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c，求此四面体外接球的直径.
注意到四面体ABCD的特征，可以将它看作是一个长方体被削去4个三棱锥得到的四面体.
设长方体的三棱长为x，y，z，则有方程组
以上过程充分展示了由四面体、长方体、外接球构成的空间位置关系（情境），这种补成长方体的做法，是常见的几何方法.这种由抽象向具象转化的数学活动经验，在学习中要注意积累.
案例6 （2008年海南与宁夏高考题）某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为____.
根据已知条件，我们可以考虑在长方体中构造满足条件的几何体，使教学过程情境化.由于长方体是同学们熟悉的几何体，长方体中线线垂直、线面垂直很多，因此在长方体中很容易找到一条线段，使它的正视图、侧视图和俯视图符合条件，使很抽象的问题得到了外部表征，思路油然而生.结合长方体的对角线在3个面的投影来理解计算.
如图4，设长方体的三棱长分别为m，n，k，由题意得：
再利用基本不等式可得a+b的最大值为4.
3.积累利用平行六面体模型外部表征问题结构的数学活动经验
已知条件让我们联想到柱体的体积公式，直觉感到三棱柱的某侧面的面积与侧棱到侧面的距离和柱体的体积有关联，联想到如下问题：
4.积累利用圆锥模型外部表征问题结构的数学活动经验
案例9 异面直线a，b，a⊥b，c与a成30°角，求c与b所成角θ的范围.
根据已知条件，与直线a垂直的直线b有无数条，与直线a成30°角的直线c也有无数条，c与b所成角θ在不断变化，如何引导学生将其变化规律合理的外部表征呢？教学中我们作了如下尝试：
从异面直线所成角的定义出发，用运动的观点，在a上任取一点P，过P作PA//c，在a上取一点O作b⊥a，让PA绕a旋转（保持所成的角为30°），让b绕O点旋转，可以构建如图8所示的圆锥：c与某母线平行，高所在直线为a，且c与a成30°角，作轴截面PAB⊥轴截面PCD，则AB//b，可得CD⊥AB，AB⊥轴截面PCD，则c与b所成角θ就是母线PA与平行于AB的直线所成的角.
当c在PA位置时，因∠OPA=30°，则∠PAO=θ=60°，此时有：
得∠PME＞∠PAO=60°，
即θ＞60°.
当C在PC位置时，CO⊥AB，由三垂线定理得c⊥b，θ=90°.
故c与b所成角θ的范围是[60°，90°].
5.积累利用球模型外部表征问题结构的数学活动经验
案例10 已知三角形ABC中，AB=9，AC=15，∠CAB=120°，平面ABC外一点P到A，B，C的距离都是14，求点P到平面ABC的距离.
已知条件PA=PB=PC使我们联想到A，B，C在以P点为球心的球面上，因此，我们联想到构建以PA=PB=PC=14为半径的球P，则三角形ABC内接于球P的一个半径为r的小圆（过A，B，C的截面的圆周），如图9所示.由余弦定理求得BC=21，再由正弦定理
=2r，得r=7
，d=
，故P到平面ABC的距离是7.
事实上，常用几何模型，还有四面体、四棱锥等，在此不一一赘述了.
综上所述，利用几何模型外部表征问题，是一种数学活动经验，是一种学习方式，也是一种思维方式，它既能优化学生的数学观念系统，提升学生的思维起点，培养学生的空间想象能力，又能让学生发现和体验到数学美，同时，利用几何模型外部表征问题，有利于数学活动经验的积累，有利于培养学生用模和建模意识和能力，有利于培养学生综合运用数学知识的能力.