——以《指纹图谱的分类与识别》为例
任 栋 西安交通大学附属中学 710054
摘 要：为增强学生应用数学的意识，切实培养学生解决实际问题的能力，本文分析了高中数学建模的必要性，并以参加国际中学生数学建模挑战赛的训练题目为例，对高中学生数学建模能力进行了分析，针对问题提出了关于高中进行数学建模教学的几点建议。
关键词：数学建模 数学应用意识 数学建模教学
一、数学建模的意义
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强高中数学建模教学培养学生的创新能力是非常重要的。
二、高中开展数学建模概况综述
目前国际数学界普遍赞同通过开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革。著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学，把数学建模活动从大学生向中学生转移是近年国际数学教育发展的一种趋势。“我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其它学科的联系未能给予充分的重视，因此，高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。”我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要切实培养学生解决实际问题的能力，要求增强应用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题。这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。因此，我们的数学教学不仅要使学生知道许多重要的数学概念、方法和结论，而且要提高学生的思维能力，培养学生自觉地运用数学知识去处理和解决日常生活中所遇到的问题，从而形成良好的思维品质。而数学建模通过“从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际”这一过程，促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识，从而拓宽了学生的知识面和能力。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一，是改善学生学习方式的突破口。因此，有计划地开展数学建模活动，将有效地培养学生的能力，提高学生的综合素质。
数学建模可以提高学生的学习兴趣，培养学生不怕吃苦、敢于战胜困难的坚强意志，培养自律、团结的优秀品质，培养正确的数学观。数学建模能培养学生应用数学进行分析、推理、证明和计算的能力，用数学语言表达实际问题及用普通人能理解的语言表达数学结果的能力，应用计算机及相应数学软件的能力，独立查找文献、自学的能力，组织、协调、管理的能力，创造力、想象力、联想力和洞察力。由此，在高中数学教学中渗透数学建模知识是很有必要的。
三、以《指纹图谱的分类与识别》为例，展示学生的非凡潜力
以下是一道我校2010年参加国际数学建模挑战赛前的训练题目——《指纹图谱的分类与识别》，学生通过建立一种指纹图谱的分类模型，从定性和定量两个方面着手，采用分析同一类指纹图谱的散点图、拟合图、导函数图、两两导函数的差函数的方差值的“四重指纹图谱识别”方案，对指纹图谱实现了成功分类。并将整个解决问题的过程分为四重：第一重，看散点，同一类指纹图谱散点分布图相似； 第二重，观画像，同一类指纹图谱散点拟合图形相像；第三重，判重合，同一类指纹图谱拟合函数导函数图应重合；第四重，验方差，同一类指纹图谱拟合函数的导函数两两作差所得函数的方差应很小。依据“四重指纹图谱识别”方案，得出结论：
sample1-sample14分类：
A类：1、2、3、11。
B类: 4、5、6、12、13。
C类：7、8、9、10、14。
test1-test14分类：
D类：１、3、11。
E类：2、6、9、12、13。
F类：5、8、10。
G类：7、14。
H类：4。
在解决问题的过程中，学生首先提出基本假设：一是样本中所有数据均真实、有效；二是样本数据能准确标识事物的特征；三是部分样本中极少数数据与其它数据相差较大，认为这是测量误差造成的。并进行了符号说明：
f（x）……指纹图谱拟合函数。
fc1(i,j)……指test（i）与test（j）的导函数作差后求得的方差值。
fc2(i,j)……指对数据归一化后，test（i）与test（j）的导函数作差后求得的方差值。
第二个步骤是对问题进行分析：
1.关于指纹图谱。指纹图谱是根据事物的指纹特征绘制出的能够标识研究对象特性与所属类别的一系列特征谱线。在许多科学研究领域，鉴于研究对象的复杂性，要把对其的识别与分类建立在研究清楚每一个具体细微结构的基础上很不现实。这就要求，在尚不清楚研究对象全体细微结构的情况下，实现对物质成分与特征的整体把握。而现在色谱、光谱、波谱、质谱等一起分析所得的物质群指纹图谱展现了这种试验条件相同操作方法下所得的指纹图谱谱向通性，即可反映这些物质群的同属性。虽然对图谱中每个特定分并不了解，也即对物质群的特征并不完全知晓，但这并不影响对物质群已执行的判断，不仅可以定性鉴别，还可以定量分析。指纹图谱在中成药质量控制、作物种质资源保护及其遗传多样性研究等诸多方面有着极其广泛的应用。
2.对问题的分析。指纹特征是可以用来唯一标识事物的特征，因此同一类事物的指纹图谱具有相同的特征。分别分析已知A类中1-3、B类中4-6和C类中7-9三类图谱，发现：1-3图形形似，4-6图形相似，7-9图形相似。由此可充分说明同一类指纹图谱形状相似。
因此，指纹图谱分类的关键问题是找出具有相似图谱的指纹，把它们归为一类即可。首先，描出指纹图谱的散点图，可粗略观察它们的分布特征。其次，利用高斯拟合得出它们的拟合函数，并画出拟合函数图像，按推测，同一类指纹图谱拟合图像形状应该相似。再次，如果在坐标轴中自变量取值范围相同，两个函数的变化趋势相同，其导函数图应基本吻合。所以观测两个图谱拟合函数的导函数图形是否吻合可更精确的描述这两个图谱的相似程度，从而可判断是否属于一类图谱。最后，为了弥补定性观测图形的不精确性，引入求两个导函数作差所得差函数的方差来衡量导函数图形的近似程度。方差越小，近似程度越高，原拟合函数就越相似，从而指纹图谱的散点图就越相像，进而可判为一类指纹；反之判断为不同类。
以上指纹图谱分类可归结为“看散点，观画像，判重合，验方差”的“四重指纹图谱识别”方案。
接下来学生建立模型并求解。两个问题的建模与求解均采用以下三个步骤完成：
（1）数据拟合。利用高斯拟合的方法，拟合出中标号的指纹图谱的函数，并绘出它们的图，求得sample1-9拟合函数：
为了更好地表示每一类指纹图谱的特征，我们将每一类拟合函数中的3个导函数求均值并绘成图，再将A、B、C三类导函数均值图放在同一坐标系下，如图4，从图中可以明显地看出A、B、C三类图谱的导函数均值图曲线差异极大。
（3）求方差。将每一类图谱中的三个拟合函数的导函数两两作差，再求方差，如表1-3。
表1. A类三个样本两两导函数的差函数的方差
从表中可以看出：将每一类图谱中的三个拟合函数导函数两两作差求方差所得的数值很小，这充分说明了我们采取求方差的方法是合理的，也是可行的。
将标号为10-14的指纹图谱拟合函数导函数分别与A、B、C的均值导函数作差后求方差，并根据数据进行初步分类，如表4。
表4. sample10-14导函数与A、B、C三类均值导函数作差的方差
但是由于sample13自变量的范围即定义域为从5.00到80.00,间隔为0.02的一系列离散点，而C类的sample1、sample2、sample3、sample11定义域为从5.00到50.00、间隔为0.02的一系列离散点，根据指纹特征的概念，它是个特征量，而sample13导函数与B类平均导函数差的方差2.8245，说明它们的变化趋势也比较接近，故结合散点图、拟合图、导函数图综合分析，决定把sample13分到B类。
（4）依据散点图、拟合图、导函数图再分类，得到图谱分类结果：A类：11；B类：12、13 ；C类：10、14。
最后，学生对所建立的模型进行了评价和推广。
四、数学建模教学中的建议
通过对这道题目的训练，我们了解到数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。不同于传统的教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作，通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分折和解决问题的全过程，提高他们分折问题和解决问题的能力，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力。数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好的问题，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动探索解决之法。教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果。因此，对于数学建模的教学提出以下几点建议：
1.在教学中传授学生初步的数学建模知识。中学数学建模的目的是培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。
2.在教学中培养学生的数学应用意识，增强数学建模意识。首先，学生的应用意识体现在以下两个方面：一是面对实际问题，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，学习者在学习的过程中能够认识到数学是有用的。二是认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：生活中处处有数学，数学就在我们身边。其次，关于如何培养学生的应用意识：在数学教学和对学生数学学习的指导中，介绍知识的来龙去脉时多与实际生活相联系。
3.在教学中注意联系相关学科加以运用。在数学建模教学中应该重视选用数学与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题和大量与日常生活相联系（如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面）的数学问题，从其它学科中选择应用题，通过构建模型，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力。
最后，为了培养学生的建模意识，作为教师应该首先提高自身的建模意识。中学数学教师除了需要了解数学学科的发展和动态之外，还要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。作为中学教师，只有通过对数学建模的系统学习和研究，才能准确地把握数学建模问题的深度和难度，更好地推动数学建模教学的发展。
参考文献
[1]刘来福 曾文艺《问题解决的数学模型方法》[M].北京师范大学出版社，1999，8。
[2]王兵团《数学建模基础》[M].清华大学出版社，2004，6。
[3]黄忠裕《初等数学建模》[M].四川大学出版社，2004，12。
论文作者:任 栋
论文发表刊物:《教育学》2015年8月总第82期供稿
论文发表时间:2015-6-19
标签：数学论文; 图谱论文; 建模论文; 函数论文; 指纹论文; 方差论文; 培养学生论文; 《教育学》2015年8月总第82期供稿论文;