逆用S[，n]公式 妙证不等式，本文主要内容关键词为：不等式论文,公式论文,逆用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对于有些数列不等式问题，如果从正面去直接探求，常常感到繁难，甚至一筹莫展，但是，若改变一下思维角度，挖掘其隐含的某些公式特征，借以逆用，使问题转化，常可得到简捷、巧妙的解法，让人有耳目一新的感觉.下面以数列的前n项和S[，n]的逆用加以说明：
一、a[，1]+a[，2]+…a[，n]=S[，n]的逆用
例1 求证：1+（1/2[2]）+（1/3[2]）+…+（1/n[2]）＜2-（1/n），（n≥2，n∈N）
分析 设想右端式“2-（1/n）”是数列｛a[，n]｝的前n项和S[，n]，
则n≥2时，
a[，n]=S[，n]-S[，n-1]=（2-（1/n））（2-（1/n-1））=（1/n（n-1））.
这样，问题转化为证明不等式（1/n[2]）＜（1/n（n-1））（n≥2），
此不等式易证.
二、等差、等比数列的前n项和S[，n]的逆用
例2 求证：对于任意自然数n（n≥3），总有不等式2[（n（n-1）/2）]＞n！成立.
例3 若n∈N，且n≥3，求证：2[n]＞2n+1.
分析 即证2[n]-1＞2n，而2[n]-1=（2[n]-1/2-1）是以1为首项，2为公比的等比数列的前n项和.
所以原不等式得证
三、无穷递缩等比数列各项和（a[，1]/1-q）的逆用
例5 （第19届莫斯科数学竞赛题）设任意实数x，y满足｜x｜＜1，｜y｜＜1，求证：
（1/1-x[2]）+（1/1-y[2]）≥（2/1-xy）.
分析 ∵｜x｜＜1，｜y｜＜1，
∴0＜x[2]＜1，0＜y[2]＜1，｜xy｜＜1.
（1/1-x[2]），（1/1-y[2]），（2/1-xy）分别可看作是三个无穷递缩等比数列的各项和.
即（1/1-x[2]）+（1/1-y[2]）=（1+x[2]+x[4]+…）+（1+y[2]+y[4]+…）
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