从线性到非线性——科学发展的历程，本文主要内容关键词为：线性论文,历程论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号 O415.5;N93;N94 文献标识码 A
随着人类认识自然的不断深入和科学的不断发展，科学研究方法也不断完善，掌握这一进程对我们是十分必要的。过去我们已在“从简单到复杂”[1]、“从平衡到非平衡”[2]中对此进行过分析，但究其实质，复杂性和非平衡基本上都与非线性有关。非线性现象是自然界的基本现象之一，自本世纪60年代以来，非线性问题的研究成为自然科学和社会科学的前沿课题，形成了一门庞大的学科群——耗散结构理论、协同学、突变论、超循环理论、混沌学等这些以研究非线性为特征的非线性科学。它们的兴起及蓬勃发展，不仅使人类对世界的本质有了更清楚的认识，而且也极大地改变了世界的科学图景及当代科学家的思维模式。
1 线性系统及其特点
为了解非线性，首先我们对线性系统作一简单回顾。在数学上，主要通过对算子的分析来讨论线性和非线性。如果一个算子L满足：
L(u+v)=L(u)+L(v)
L(λu)=λL(u)
其中λ为常数，u，v为任意函数，则称L为线性算子，否则称为非线性算子。
在物理上，我们把由线性函数描述的系统叫线性系统，把由非线性函数描述的系统称作非线性系统。线性系统是人们研究最多、也最深入的系统，甚至可以夸张地说，过去的自然科学研究的主要是线性系统，大多数自然科学的理论都是建立在线性系统之上的。通过综合归纳，我们可将线性系统的本质特点概括为两点：
1.1 对于线性系统叠加原理可以使用
对于线性系统，由于系统内相互作用为线性相互作用，所以系统的整体性质就是各子系统孤立存在时性质的简单和，即整体等于部分之和。因此在研究线性系统时，一般采用还原论的方法，把系统分成若干子系统，只要把每一个子系统的性质研究清楚，相加就会得到整个系统的性质。从子系统到系统，只有量的积累，而没有质的飞跃。在经典物理学中，牛顿力学中存在力的叠加原理、速度叠加原理，电动力学中存在场强叠加原理、电势叠加原理、电磁波叠加原理等，即使在量子力学中也存在态叠加原理。可以说，以往的物理学讨论的基本上都是线性问题。
1.2 线性系统的演化是确定性的演化过程
对一个线性系统，确定了初始条件，就确定了系统的演化轨道，系统未来的性质完全可以根据系统现在的状态决定出来。系统的初值发生微小变化，也仅能引起系统演化的微小变化。
哲学上把牛顿力学称作确定性的科学。对于一个力学系统，在给定系统所受外力的条件下，确定了初始条件，也就确定了系统的演化轨迹，系统未来的状态就可以完全确定出来。牛顿力学统一描述了各类物体的机械运动所服从的共同的力学规律，圆满解决了当时所面临的力学问题和较好地解释了当时遇到的力学现象，而且具有一定的预见力。海王星的发现即为典型一例。
法国天文学家拉普拉斯在二百年前给牛顿决定论以生动的描述，他认为，可以“用相同的分析表达式去理解宇宙系统的过去状态和未来状态。把同一方法应用于某些其他的认识对象，它已能将观察到的现象归结为一般规律，并且预见到在给定条件下应当产生的结果。”[3]他进一步提出了一种广大无边的理解力假设：“如果有一个智慧之神，在某个给定的时刻，能够辨识出赋予大自然以生机的全部的力和组成自然之物的个别位置，如果这个智慧之神具有足够深邃的睿智而能分析所有这些数据，那么他将能把宇宙中最微小的原子和最庞大物体的运动都同样地包括在一个公式之中，对于他来说，没有什么东西将是不确定的，未来就如同过去那样是完全显著无遗的。”[3]按此观点，牛顿决定论可以概括为宇宙现在的状态是它们以前状态发展的必然结果，同时又是以后状态的形成原因，牛顿系统的过去和未来可以从其当前的状态唯一地推断出来。
量子力学似乎给牛顿决定论以巨大的冲击，但后来人们认识到，目前的量子力学仍是决定论的，因为现在的状态仍然可以唯一地确定过去和未来的状态，只不过量子力学和牛顿力学关于状态的定义不同而已。也就是说，薛定谔方程和牛顿方程同样是决定论的。至于描述量子力学状态的波函数的概率解释，决定论者是不满意的。正如爱因斯坦在给波恩的信中所说：“你相信一个掷骰子的上帝，而我则相信完美的规律和秩序。”[4]
牛顿力学的确定性规律使人们坚信事物的运动变化服从确定性规律，随机性只是个别的现象，它并不会影响系统总体的发展趋势。但是，随着人们对非线性现象的研究，特别是混沌学的创立，改变了人们对现实世界本质的认识。
2 混沌现象及其特征
非线性系统往往也是由大量子系统组成的，但是由于子系统之间的非线性相互作用，系统不再满足叠加原理，系统整体表现出来的现象也不再是个体行为的简单叠加，而是一种个体表现不出来的行为。从子系统层次到系统层次，不仅有量的积累，更主要的是发生了质的飞跃。近年来，出现了一些新名词，如孤立子、分岔、突变、混沌、分形、耗散结构、自组织、合作效应、涌现等，这些都是由于系统内存在非线性相互作用引起的非平衡现象。其中，混沌现象是最典型的非线性现象，混沌理论也被认为是与相对论和量子力学齐名的第三大理论。
混沌现象主要研究少自由度系统，它避免了由于多子系统系统不满足叠加原理、出现“涌现”等多种非线性效应带来的困难，使我们可以直接从分析简单的非线性迭代得到系统的性质。即使最简单的一维非线性迭代系统也存在着混沌现象。
1963年，美国气象学家洛伦兹在《大气科学杂志》上以“确定性的非周期流”为题发表了关于液体对流的一个简化模型的数值观察[5]。他在选择数值天气预报方程时，把一般含有几千个变量的方程简化为3维1阶自治常微分方程组，虽然这个简化模型是一个完全确定的方程组，但却在一定参数范围内给出看似混乱的输出。这是人类首次从数值上观察到一个确定性系统可以出现无规涨落。它也标志着一门新科学——混沌学的诞生。
混沌是确定性系统中出现的貌似无规则的有序运动，混沌运动的特点可以概括为：
2.1 内在随机性[6]
观察一个混沌系统可以发现，描述系统的演化方程确定，但演化行为不确定；系统短期行为确定，但长期行为不确定。系统的这种行为既不同于传统的确定现象，也不同于传统的随机现象，而是系统确定性与随机性的有机结合。通过仔细分析，人们认识到，一个动力学系统之所以呈现出混沌现象，既不是因为系统中存在着随机力或受环境中外噪声源的影响，也不是由于无穷多自由度的相互作用，更不是与量子力学的不确定性有关。产生混沌的本质原因在于确定性系统的非线性。
2.2 对初值的敏感依赖性
混沌运动的振荡解不是渐近稳定的，它的解在一定范围内表现出整体的稳定性，但是系统的非线性使进入吸引子内部的轨线不断彼此互相排斥，反复分离和折叠，使系统的局部不稳定。这种局部不稳定即是对初始条件的敏感依赖性，即使系统初始值出现小的偏差，便会引起轨道按指数分离，这就是所谓的“蝴蝶效应”[4]。系统对初值敏感性的根源仍然在于系统内的非线性相互作用，对于一维迭代系统就在于非线性迭代方程。
2.3 奇异性[7]
从整体上看，系统稳定；从局部上看，系统不稳定。其解轨道在有限范围内作无数次的分离、折叠和靠拢，形成一种称为奇怪吸引子或混沌吸引子的结构。系统吸引子内部具有无穷层次的自相似结构，其维数一般是非整数。
现在人们知道，混沌在自然界中普遍存在，可以观察到混沌现象的系统举不胜举。例如：受迫阻尼摆、湍流形成时的流体、三体问题、生态学竞争模型、受刺激的心脏、地球磁场的方向运动、化学振荡反应系统、人的脑电图、人工神经网络系统、股票价格的波动等等都存在着混沌现象。可以说，混沌无处不在，没有混沌，就没有复杂性，就没有进化和发展，大概也不会有生命乃至我们宇宙。混沌是一类具体的非线性现象，对混沌现象的研究加深了我们对非线性的认识，而我们对非线性普遍特点的分析，也将会有助于我们推动物理学的“第三次革命”。
3 系统科学与非线性
“系统学”一词最早于1965年出现在前苏联的哲学文献，从1968年起出现于前苏联的科学文献，用来表示关于系统的一般科学。目前，对系统学还没有一个统一的定义。我国科学家钱学森认为，系统学是研究系统结构与功能（包括演化、协同和控制）的一般规律的基础科学[8]。传统的近代科学有时也用到系统这个概念，比如质点、刚体、电磁场等都可以看成系统，但是这些系统往往规模较小，属性和行为比较简单，因而一般可以用传统的、比较简单的数学工具如微积分等解决。随着人类生产规模与范围的扩大，面对的系统越来越复杂，它往往是由多个层次组成，而不同层次之间或同一层次各元素之间由于存在着复杂的非线性相互作用，系统不再满足叠加原理。系统在由低层次构成高层次时，出现了低层次上所没有的性质，即出现了“涌现”现象。这样传统的还原论方法显示了其局限性，由此迫使人们提出了不同于传统方法的新途径——系统科学。系统科学重新强调了两千多年前亚里士多德的名言：“整体大于部分之和”，从而开启了进一步认识复杂世界的途径。
可以说，系统科学是研究复杂系统的科学，或者说复杂性是系统科学的义中之理。而一个系统复杂性的根源，并不在于其构成要素的多少，而在于要素之间的相互作用是线性的还是非线性的。如果是线性相互作用，不论其构成要素的数量多么庞大，其整体性质也仅是部分性质的简单叠加，其行为也是简单的。例如一个热力学系统，其包含的分子数目非常巨大，但由于分子之间的相互作用非常简单，其整体行为并不复杂，人们用统计方法很容易解决。而如果系统构成元素之间是非线性相互作用，就会使系统各元素之间相互依赖、相互制约，出现协同效应，使整个系统表现出子系统所不具备的性质。另外，非线性作用的存在也使得系统的行为更加难以预测，一个微小因素的变化都可能导致系统整体的很大的变化，出现分岔、突变、混沌等现象，系统的演化行为更复杂，呈现出类似于随机的变化行为。
非线性相互作用作为系统复杂的根源，还表现在系统形态结构的无规分布上。大自然的千姿百态，人类社会的风云变换，思维现象的扑朔迷离，这一切都是由非线性相互作用引起的。现实世界在本质上是非线性的，也正因为现实世界的非线性，因而才具有无限多样性和奇异复杂性。才迫使人们用不同于传统的科学方法认识世界，系统科学也就应运而生，所以说，非线性是系统科学存在的基础。
4 非线性系统的研究方法
物理学家过去比较习惯于用还原论方法把复杂的系统约化为简单物理模型（如质点、刚体等）的组合，通过研究这些简单物理模型的性质，进而叠加得到整个系统的性质。但这是一种线性的思维方式，它只在研究线性问题时才有效。然而自然界中有众多复杂问题是非线性的。非线性系统也往往由大量个体组成，这些现象不能通过模型的分解和简单的叠加来解释。要研究这些现象必须采用新的研究方法。
4.1 唯象分析——非线性科学的初始研究方法
由于非线性系统的复杂性，子系统之间的相互作用很难描述清楚，也就很难找出系统行为特点与系统机制之间的关系，所以，我们从分析系统的行为特点出发，根据系统整体表现出来的性质，建立唯象的系统演化模型。
这种方法的特点在于：由于系统不同的性质在同一模型中应具有联系，故我们可以根据系统的某种行为特点，建立唯象模型；然后通过求解模型，则可肯定系统应具有另外的性质，从而指导我们对系统的研究。例如根据一些系统随控制参数的变动，其演化具有滞后行为的特点，则可以认为系统演化满足尖点突变模型，进而从模型推出系统状态应具有记忆功能，即状态给定就能判断出该状态从哪儿演化而来。
这种方法可以对系统的整体演化性质进行描述，找出不同演化行为之间的联系，对系统性质作某种预测，但无法给出出现这种行为的机制或原因。由于系统的复杂性，特别是系统行为与机制之间联系的多重性，一种系统行为可能由多种机制引起，一种机制也可以引起系统的多种不同行为，所以不同的人研究同一系统可能会采用不同的唯象模型，即使同一个人研究同一系统，在不同时期针对不同目的，也可能采用不同的模型，对系统行为机制的分析也就会得到不同的结果。并且不同的模型往往难分优劣。
这种方法是在宏观层次上对系统进行研究，不涉及子系统之间及子系统与系统之间的关系。从方法论上看，耗散结构理论[9]、协同学[10]都采用了某种唯象分析方法。
4.2 随机层次分析——系统状态涨落情况的分析
对于由多个子系统组成的系统，唯象分析得到的只是系统状态的平均值，无法对系统有更进一步的了解。在我们希望对系统演化性质作深入分析，但又无法对系统内子系统与系统关系进行讨论的情况下，采用在随机层次上的分析方法是必要和可行的。
这种分析方法的特点在于：宏观分析所得系统状态平均值确定后，系统实际状态仍不确定，可以变化。由于对系统内子系统之间的相互作用以及子系统对系统宏观量的具体影响不清楚，可将系统宏观变量看成随机变量。然后在唯象分析得出的系统演化方程的基础上，加一随机扰动项，就可得到系统演化在随机层次上的方程。通过求解方程不仅可以得到系统状态的平均值，而且可以研究系统的涨落情况，对系统有更进一步的了解。
在随机层次上讨论的带有随机项的反应扩散方程为Langevin方程，同时人们也还在此层次上讨论Master方程和Fokker-Planck方程，这三类方程在数学上都有规范的解法。针对某非线性系统，人们可在不同的情况下用不同的方程来描写系统在随机层次上的演化行为。同时可以证明，这三类描述系统演化的方程，其计算结果是一致的。在对非线性系统研究过程中，这种方法取得了很多研究成果[9,10]。
这种分析方法，虽不是直接从微观分析出发，但它比同一层次上的唯象分析方法更接近实际，它已深入到了系统与子系统的关系。可以认为这是一种介于宏观、微观两个层次之间的一个中间层次，是建立微观、宏观之间联系的一个中间台阶。[11]。
4.3 从微观到宏观的分析方法
为了更深入地了解系统的性质及行为特点，寻找系统在高层次上所表现出来的“涌现”性质的原因，必须建立宏观与微观之间的关系，研究在给定微观机制下，系统演化会呈现什么样的PATTERN。这是系统科学当前研究的主要课题。当然由于系统的复杂性，特别是对社会系统、经济系统、人脑系统等这样的复杂适应系统，要完全了解系统的微观机制是很难做到的事情，要进一步分析系统微观机制对系统宏观行为的影响就更困难了。目前只能利用一些简化的模型对系统进行研究。元胞自动机、复杂适应系统理论等是这种研究方法的代表。
4.3.1 元胞自动机
元胞自动机是由大量基本单元组成的、具有简单相互作用的简单计算模型。在此模型中，空间被一定形式的网络分割为许多单元，即元胞。在每个元胞上赋予一定离散化的数值，以代表格点的状态，各格点状态随时间同步更新。归纳起来，元胞自动机具有以下特征[12]：
空间是离散的；时间是离散的；状态取值是离散的；演化的运算规则是局域的。
改变演化的运算规则，就改变了子系统的相互作用机制，这就可以研究在不同机制下系统的演化性质。从随机的初始状态出发，沃夫兰(Wolfram S)曾经在计算机上研究具有最近邻规则、状态可取0和1的一维元胞自动机的演化结果，按照它们的长期行为，把它们定性归纳为四类：
演化到全部为0或全部为1的均匀状态；
演化到不随时间变化的定态或周期态；
演化到混沌状态；
演化到更复杂的结构。
可以看到，这种简单的一维元胞自动机已能定性地说明很多类系统演化的性质。当然由于元胞自动机还仅是一种非常简化的模型，目前它主要被用来模拟一些自然现象和进行物理机制研究。如在凝聚态物理中用来模拟晶体的生长、悬浮体的聚集、缺陷的产生、自旋系统的相变；在流体力学中用来模拟流体的各种流动；在化学中用来模拟反应扩散系统中的振荡和螺旋波；在生命科学中模拟心脏的纤颤、肿瘤的生长等。
4.3.2 复杂适应系统理论
复杂适应系统理论是美国桑塔菲研究所的科学家霍兰德(Holland J)于九十年代初期提出的一种新理论。这种理论的基本思想是：组成系统的子系统是具有自身目标和行为规则的、主动的“活”的个体(Agent)，这些个体具有学习和适应能力，能够通过与环境及其它个体的相互作用改变自身的结构和行为，以适应环境的变化。这种适应行为构成了整个系统出现“涌现”性质的基本动因。
这种具有适应性的个体是对经济、社会、生态等系统中组成部分（称为单元、部件或子系统）的比较恰当的描述。定义了个体的属性就确定了子系统的性质，定义了个体的行为就确定了子系统的功能，赋予个体一定的刺激——反应规则就定义了子系统之间以及子系统与环境之间的相互作用机制，研究在给定机制下个体相互作用所表现出来的宏观性质，就可研究系统整体演化行为和“涌现”性质。也就是说，只要能够恰当地描述个体（子系统）及子系统之间的相互作用机制，就可从微观出发得到系统整体的PATTERN。
以前在研究象经济学、生物学、生态学及管理与控制等领域的系统时，往往把这些系统看作是由完全被动的、行为方式几乎不变的子系统组成，这显然背离了实际情况，是无法正确反映实际问题的根源之一。而这种具有适应性的个体的提出，强调了它的主动性，强调了它具有自己的目标、内部结构和生存动力。这种建模方法通过个体和环境的相互作用，使得个体的变化成为整个系统的变化基础，统一地加以考察，这样就把宏观和微观有机地联系起来。这种对宏观和微观关系的处理，既不象还原论观点那样把宏观现象的原因简单地归结为微观的量的积累，也不象概率论那样把统计方法当作从微观向宏观跨越的唯一途径。它是对子系统之间具有复杂非线性关系的适应系统的更贴切的描述。
这种从微观到宏观的研究方法，可以通过子系统之间的相互关系，得到系统整体的演化性质。进一步我们还需要研究如何在给定系统整体PATTERN的情况下，找出子系统之间的相互作用机制。在对一个具体系统讨论的基础上，能够发现某些共同的规律性的特点。这是对系统科学更严峻的考验。
应当指出，由于系统内非线性相互作用的复杂性，目前还很难找到一个万能的统一的研究方法。一种研究方法可能只对某一系统适用，即使对同一系统也可能需要把几种方法结合起来才能研究清楚。在研究中，我们要把数学方法与非数学方法相结合；把定性方法与定量方法相结合；把实验方法与科学抽象相结合；把传统方法与系统方法相结合；把解析计算和计算机模拟相结合等等。
5 结束语
经典科学把线性系统视为客观世界的正常状态和本质特征，认为只有线性现象才有普遍规律、一般原理和方法；非线性是系统的一种“病态”，无需研究或不存在规律无法研究。在当必须研究非线性问题时，或对非线性模型作线性处理，或借助于对线性行为的微小扰动来认识非线性效应，这反映了一种错误的世界图景。在现实世界中，非线性问题是普遍的、本质的，线性才是特殊的、非本质的；线性系统是对一部分简单非线性系统的理论近似；非线性是现实世界无限多样性、奇异性、复杂性、曲折性、多变性的真正根源。
周光召在《迈向科技大发展的新世纪》一文中指出：“非线性科学是关于体系总体本质的一门新学科，它更着重于总体、过程和演化。因此，透过这扇窗户，看到的将与牛顿、爱因斯坦创建的决定性的、简单和谐的模式不同，而是一个演化的、开放的、复杂的世界，这是一幅更接近真实的世界图景。”“非线性科学不仅在认识论上有重大的哲学意义，在求解时有重大科学意义，而且在研究生态平衡、医疗诊断、经济发展、科学决策等许多问题时，都有重要应用价值。”
收稿日期：2000-08-22