“形”山有路“数”为径——试谈以数辅形在平面图形教学中的应用，本文主要内容关键词为：图形论文,平面论文,教学中论文,山有路论文,数辅形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科。人们常把代数称为“数”，把几何称为“形”，“数”与“形”表面看相互独立，其实它们的关系十分密切，在一定条件下可以相互转化，即数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。数形结合是指将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使抽象思维与形象思维完美地统一起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化。同时，数形转化往往可以提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体。华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”
数形结合作为一种数学思想方法，主要包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的。如教学《有余数的除法》一课时，有经验的教师往往借助实物来直观地加以解释，让学生借助“形”来理解抽象算式中每个数与运算符号的意义，建立“形”与有余数除法算式之间的联系。二是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即把数作为手段，形作为目的。本文撷取两位教师进行平面图形教学的两例试着说明和分析“以数辅形”的妙用。
一、以数辅形，引领学生探究变形方法
案例一：《三角形的面积》
师（出示下图）：认识吗？会求它们的面积吗？
：长方形的面积是8×4=32（平方厘米）。
：平行四边形的面积是6×4=24（平方厘米）。
（教师根据学生回答板书）
师：会求阴影部分的面积吗？
：8×4÷2=16（平方厘米）。
：6×4÷2=12（平方厘米）。
师：为什么只要在原来图形的基础上“除以2”就可以了？
：因为阴影部分图形的面积是原来图形面积的一半。
师（出示右图）：如果只给出一个三角形，你能求出它的面积吗？自己试一试，要求和同学交流一下你的想法。并想办法解释给同学听。
（学生交流，找出了求三角形面积的方法）
师（出示3个不同类型的三角形）：求出它们的面积。
：第一个图形的面积是13×12÷2=156÷2=78（平方米）。
：第二个图形的面积是8×5÷2=40÷2=20（平方分米）。
：第三个图形的面积是6×4÷2=12（平方厘米）。
师：刚才我们用同样的方法求出了三类三角形的面积，明白了每一步算式的含义，其实，13×12÷2也可以这样算：13×(12÷2)=13×6=78。根据这样的方法，你能变化一下6×4÷2吗？
：6×4÷2=6÷2×4=3×4。
：6×4÷2=6×(4÷2)=6×2。
师：非常好！你能找到3×4、6×2这样的图形吗？在方格纸上画一画。
学生在方格纸上画图，教师巡视，然后展示2个学生的作品——
师：同学们真能干！很多时候可以由一个图形想到另一个图形，有时也可以从一个算式想到一个新的图形。（课件演示利用原有图形，通过多种变形求出新图形的面积）
平面图形面积公式的推导，往往是利用化归思想把有待解决的问题转化为已解决的问题——先把需要计算面积的平面图形等积变换为面积公式已知的平面图形，再根据已有的面积公式推导出所需要的面积公式。因此，在上例中，教师先出示了两个学过的图形（长方形和平行四边形），让学生进行计算，为后续学习作好铺垫。图形是推理和计算的直观模型，数学活动里有关图形的知识可以通过数和计算帮助理解。教师深谙此理，让学生通过计算顺理成章地找出了三角形的面积计算公式，这就由计算（数）转向了几何推理（形），为其一。同时，教师通过让学生表达不同算式的含义，以达到深刻理解公式的目的。“6×4÷2”“6÷2×4”“6×(4÷2)”这些不同的算式体现了学生不同的图形转化思路，学生是从不同角度、不同方面看待同一个问题。教师大胆地让学生根据式子分别想办法找到不同的图形，由算式探究新的变形方法，增进了学生的理解，培养了学生的发散思维能力，为其二。这真是一个全新的视角，可谓充分发挥了数形结合的思想。
由此可见，数形结合，能变“山重水复疑无路”为“柳暗花明又一村”；数形结合，能有效防止“生搬硬套”或“一棵树上吊死”，能很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题。在本课例中，利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对于不同方法既知其然又知其所以然。事实上，这也是形象思维与抽象思维协同应用的过程，其教学效果显而易见。学生的思维变清晰了，思路也变开阔了，学会了在图形中从不同的角度思考问题，分析问题。在实际教学中，一些图形的性质往往可以赋予数量意义，可以寻找出解决问题的数量关系式，即可使几何问题代数化。以数辅形，用代数的方法使问题得到解决，这对提高学生分析问题和解决问题的能力、培养学生的发散思维能力都有极大的帮助。
二、以数辅形，帮助学生达成“推导”目标
案例二：《梯形的面积》
师：老师选择了同学们找出的四种方案，展示在大屏幕上（出示下图）。想一想，转化后的图形面积与原来的梯形面积有什么关系？
：①号图形的面积是梯形的2倍，②、③、④号图形的面积与梯形相等。
师：如果给你一些数据，你能算出转化后的这些图形的面积吗？
生：能。
师：好。老师给你提供梯形的有关数据，请你计算转化后四个图形的面积。（在梯形图中显示：上底8厘米、下底22厘米、高10厘米、左腰13.5厘米、右腰11厘米，学生分头计算，最后逐个汇报）
：①号图形面积是(8+22)×10=300（平方厘米）。
：②号图形面积是22×10÷2+8×10÷2=150（平方厘米）。
：③号图形面积是(8+22)×10÷2=150（平方厘米）。
：④号图形面积是(8+22)×(10÷2)=150（平方厘米）。
师：根据这四个图形的面积，你能求出原来梯形的面积吗？
生（齐）：150平方厘米。
（结合说理，教师在①号算式上添上“÷2”）
师：观察这些算式，我们在计算面积时用到了梯形的哪些信息？
：上底、下底、高。
师（出示右图）：好。请同学们试着算一算这个梯形的面积。
：(5+8)×4÷2=26（平方厘米）。
师：大家猜一猜，这位同学是将梯形转化成什么图形来算的？
：按第一种方案，转化成“平行四边形”来算的。
：也可能是按第③种方案，转化成“大三角形”来算的。
师：可不可能是按第④种方案，转化成“平行四边形”来算的？
：如果按第④种，4÷2应添上小括号。
：不过，4÷2添不添小括号，得数是一样的。
师：那有没有可能是第②种呢？
：不可能。
师：如果按第②种方案转化，算式应该是怎样的？
：8×4÷2+5×4÷2=26平方厘米。
（接着，教师着重引导“8×4÷2+5×4÷2”是可以转变为“(8+5)×4÷2”的）
师：看来，这四种方法是统一的。现在，你觉得梯形的面积计算公式应该是怎样的？
生（齐）：（上底+下底）×高÷2。
以数辅形，能有效防止学生进行“机械学习”，促进学生对数学知识的意义建构。在学生学习三角形、梯形等图形的面积计算时，一般的教学过程是学生经历面积公式的推导之后，让学生运用面积公式解决图形面积问题。此时解题的成功是否表明学生已经很好地理解了公式的含义？是否有某些学生的解题活动完全建立在对公式的机械记忆和例题的简单模仿之上？事实证明，这种机械模仿的情况是存在的。而如何使学生在经历面积公式的推导之后，不是机械套用公式解决问题，而是进一步地理解面积公式意义呢？我想，本课例的诠释给了一个很好的回答。教师引领学生深入寻找新旧图形之间的内在关联，设置了一个任务驱动，让学生选择梯形的相关信息，来计算转化以后四个图形的面积，再让学生切身感受到计算梯形面积时只需用到“上底、下底、高”的数据信息。这样，学生借助两次“计算活动”提炼得到了梯形的面积计算公式，实现了“数”与“形”的无缝对接。变“隔靴搔痒”为“入木三分”。
数形结合的思想，不仅有助于数学各个领域的融会贯通，而且有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻、灵活。因此，教师要在整个小学阶段，将数形结合思想方法贯彻始终。正如拉格朗日所说的那样：“当‘数’与‘形’分道扬镳的时候，数学的进展就缓慢，应用也有限。但是，一旦它们联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜活力，从而大踏步地走向各自的完美。”在本文中，“以数辅形”也可以理解为以“形”变“数”。虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确地把图形数字化，而且要留心观察图形的特点，发掘图形中的隐含条件，充分利用图形的性质，把“形”转化成“数”的形式，进行分析计算。对某些几何图形问题，可通过计算或数量分析的方法，准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的解决。这样一来，学生就会理解各个条件在图形中的重要几何意义，能用已学过的知识正确地将图形用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，得出相应的公式或定理等。
总之，数形结合的思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，能否有意识地运用数形结合思想方法解答数学问题，是衡量学生数学素养和数学能力的重要指标。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法，为学生数学素养的整体提升而努力。