论教材的解读与重构--对“直线倾角与斜度”课程的解读_倾斜角论文

例谈对教材的解读与重构——“直线的倾斜角与斜率”一课的教材解读，本文主要内容关键词为：倾斜角论文,斜率论文,教材论文,直线论文,一课论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      章建跃博士提出“课本是一科之本，课堂教学应‘以课本为本”.的确，教材是学生从事数学学习、教师从事数学教学的基本素材.那么怎样使用教材呢？笔者认为作为教师应对教材内容进行深入解读，在领会教材编写意图，尊重教材重点、难点的基础上进行适当重组，以更好地促进学生对知识的理解及数学思维水平的提升.本文结合“直线的倾斜角与斜率”一课谈谈对本节课的理解及教学中的做法.

      一、解析教材内容地位

      “直线的倾斜角与斜率”是人教A版《数学2》（必修）第3章的章首课.课标指出本课的教学要求是“理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式”.因此，本课的主要问题是解决如何刻画直线的倾斜程度.我们知道，刻画直线倾斜程度的量并不唯一，然而众多刻画直线“方向”的方法中最自然的是借助“角”，因此教材首先提出“倾斜角”的概念，并在此基础上进一步探索其他刻画直线倾斜程度的方法——斜率，揭示斜率与倾斜角之间的关系.

      “直线的倾斜角与斜率”也是平面解析几何初步的起始课，揭开了解析几何研究的序幕.在本课的学习中，学生第一次经历用代数语言描述几何要素及其关系的过程，尝试将几何问题代数化.因此本节课承载着为学生打开“数形结合”思想大门的重要作用与价值.因此，笔者认为本节课的重点在于对刻画直线倾斜程度的代数方法的探究，并处处注重形与数的比较.

      二、领会教材编写意图

      本课的主要问题是解决如何刻画直线的倾斜程度.那么，怎样刻画直线的倾斜程度呢？

      （一）几何方法——角

      当教师利用“几何画板”演示经过一点P可作无数条直线，它们的“方向”不同的时候，因为几何图形的直观性，学生更容易联系“角”来刻画直线的倾斜程度.如何描述这个“角”？自然就有了“倾斜角”的定义.

      倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.

      规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

      倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.

      （二）代数方法——斜率

      

      回到人教版教材“直线的倾斜角与斜率”的内容，它的逻辑顺序我们就可以基本把握了，在回答“怎样刻画直线的倾斜程度”时，首先提出“倾斜角”的概念；再类比生活中坡度的概念，给出代数的一种表示方法，即利用数“tanα”刻画直线的方向，并定义斜率k=tanα；最后在此基础上用直线上两点的坐标求直线的斜率k，得到过两点的直线斜率的计算公式.在此过程中，比较了代数方法和几何方法表示斜率的异同点.笔者认为教材的编写意图是从最自然的“角”出发刻画直线的“方向”，并在此基础上进一步探索其他刻画直线倾斜程度的方法——斜率.

      三、与苏教版教材对比

      （一）教材逻辑顺序比较

      苏教版《数学2》（必修）第2章的起始课课题为“直线的斜率”，教材中首先介绍了“坡度=

”这一生活中刻画路面倾斜程度的概念，再通过类比的方法得到了过两点的直线斜率的计算公式.在通过两道例题熟悉公式之后，教材给出倾斜角的概念，揭示倾斜角与斜率的关系，理解斜率的本质.

      虽然两本教材的核心都是解决用代数的方法刻画直线“方向”的问题，但是它们的逻辑结构有很大不同.笔者认为苏教版教材的特点是弱化几何方法——角，突出代数方法——斜率，因此一开始就类比坡度给出过两点的直线斜率的计算公式，而倾斜角的提出更多地是为了揭示斜率的本质，即k=tanα.

      “元认知理论”指出教学中教师应了解学生数学学习的元认知水平，这对有效地开展数学教学、有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义.在学生的认知结构中，对于利用代数方法刻画几何对象是陌生的，因此教学中大多数学生在选择刻画直线方向的方法时，往往首先考虑几何方法——“角”，这是符合学生的认知规律的.所以笔者认为直接给出学生并不熟悉的“坡度”概念，并类比得到过两点的直线斜率的计算公式，一是有些突兀，不能帮助学生经历用代数方法刻画直线斜率的过程；二是不能说明斜率公式的数学合理性，因为生活中为什么用“

”来刻画路面的倾斜程度？这个道理正是斜率公式所蕴涵的.如果先从学生熟悉的几何方法出发，再提出思考——能用代数方法刻画直线的倾斜程度吗？笔者认为能更好地帮助学生体会代数方法的意义.

      （二）“坡度”概念处理比较

      两本教材的共同之处在于，斜率概念的引出都类比了“坡度=

”，但是过程有差异.苏教版是类比得到过两点的直线斜率的计算公式，人教版是类比得到斜率是k=tanα，再用直线上两点的坐标去表示k，即倾斜角的正切.

      笔者认为数学教学不仅仅是教给学生知识本身，还要教思考问题、解决问题的方法，要重在揭示数学知识的本质.虽然两种处理都可以，但是人教版的处理，更有利于解释代数量——“斜率”的合理性.几何方法“角”可以用来刻画直线的方向，但当我们思考代数方法时，选择角的三角函数可谓一个捷径，而在

的范围内，角α与tanα一一对应，并且tana的绝对值越大，直线倾斜程度越大，因此可以说明斜率的合理性.在此基础上，再推导过两点的直线斜率的计算公式，也比较自然.苏教版无法类比到k=tanα，其中一个原因在于倾斜角的概念在后，斜率概念在前.

      （三）教材对比后的启发

      对不同教材的解读，其目的在于领会教材编写意图，并根据学生特点进行适当的重组.这里，笔者有三点启发：

      （1）教师不急于抛出刻画直线倾斜程度的方法，而是提出本节课的核心问题——怎样刻画直线的倾斜程度？让学生去思考，去交流.在实际教学中，我们发现大多数学生首先还是从几何量“角”去解决这个问题，此时教师的工作便是进一步引导学生认识、刻画这个角，再从“倾斜角”出发，继续探寻代数上的刻画方法.如果学生首先给出过两点的斜率计算公式，那么我们可以追问——你是怎样想的，为什么

可以刻画直线的倾斜程度？推迟判断，待倾斜角定义后再回来回答这个问题.

      （2）本节课的核心是探寻刻画直线倾斜程度的代数量.对此笔者认为不必急于类比“坡度=

”来得到过两点的直线的斜率公式或斜率的定义，教师不妨给学生一些时间和空间去思考，听听他们的声音.在实际教学中，有学生提出可以用倾斜角的正弦表示倾斜程度，这样行吗？很快他们发现正弦不能区分锐角和钝角的情况.那么余弦呢？按理余弦是好的，可是倾斜角为锐角的情况下，余弦值越大，倾斜程度反而越小，这会给我们的判断带来不便.此时，倾斜角的正切也就呼之欲出了，这时候教师再可以联系到生活中的“坡度”去.

      （3）过两点的直线的斜率计算公式是本节课的重点.笔者认为不必如苏教版急于类比“坡度”概念给出，也不必如人教版急于请学生用直线上两点坐标去求倾斜角的正切.从一点和一方向确定直线、两点确定一线出发，引导学生主动去思考有哪些刻画直线倾斜程度的方法.如果有学生提出利用

，那么为什么能刻画直线的倾斜程度，这就必然会揭示“

=tanα”.如果没有学生探寻这个式子，教师再类比“坡度”或请学生用直线上两点坐标去求倾斜角的正切.

      四、重组教材设计教学

      （一）创设情境，渗透解析几何思想

      播放“天宫一号”飞行的模拟动画，再转入“几何画板”演示运行的轨迹——圆（实际是近圆），通过度量圆上动点P的坐标（x，y），发现

是定值，接着，借助“几何画板”进一步感受形与数之间的关系，提出用数量关系研究几何图形的思想.

      

      教师：本节课，我们用类似的方法来研究直线.

      设计意图：“直线的斜率”是解析几何的起始课.因此，教学并没有直接从直线切入，而是设计了一个实际情境，通过对航天器运行轨迹的探索，让学生初步感受解析几何的实质.

      （二）设计问题，经历代数方法探究

      当前我们倡导以“问题为中心引领教学”，目的是让学生在观察分析、探索交流中不断发现问题、解决问题.这不仅有利于调动学生学习的积极性，而且有利于在问题解决的过程中启发学生积极思考，培养学生的思维能力.

      问题1 过一点P可以作无数条直线，这些直线区别在哪里？

      利用“几何画板”演示经过一点P，可以作无数条直线，这些直线组成“直线束”，得到它们的“方向”不同，即倾斜程度不同.

      问题2 怎样刻画直线的倾斜程度呢？

      学生容易联系“角”来刻画直线的倾斜程度，在学生提出的基础上，教师进一步引导学生思考以下问题.

      教师：如何描述这个“角”？

      设计意图：引导学生认识到不仅应选取一个基准（x轴），而且要定一个方向.

      教师：所有直线都有倾斜角吗？

      设计意图：引导学生认识到定义中没有包括与x轴平行或重合的直线.从而规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

      教师：倾斜角的取值范围是什么？

      设计意图：进一步认识倾斜角，为后续斜率奠定基础.

      问题3 还有其他方法能刻画直线的倾斜程度吗？

      学生小组讨论.

      教师引导学生从代数角度寻找刻画直线倾斜程度的量.比如，两点确定一条直线，在直角坐标系中，能利用两点的坐标刻画直线的倾斜程度吗？此时可以根据情况，类比生活中刻画路面的倾斜程度的方法——升高量与前进量的比，寻找用数量刻画直线的倾斜程度的方法.

      可能的答案：

      （1）选择三角函数如tanα；

      

      问题4 为什么

能刻画直线的倾斜程度？

      教师：

的值与直线上点选取的位置有关吗？

      设计意图：

      （1）当直线倾斜角α是锐角时，

=tanα，此时，

的值只与倾斜角有关，与点选取的位置无关.

      

      教师：“

=tanα”总成立吗？

      设计意图：引导学生根据倾斜角α是锐角还是钝角进行分类，并利用“几何画板”验证，当α是钝角时，

=-tan（π-α）=tanα，从而提出斜率的概念.

      问题5 所有直线都有斜率吗？

      设计意图：揭示斜率表示直线倾斜程度的限制条件，斜率角是90°的直线没有斜率，倾斜角不等于90°的直线.我们常用斜率来表示它的倾斜程度.

      教师：斜率何时大于0、等于0和小于0？

      问题6 哪些方法可用来刻画直线的倾斜程度？

      教师：倾斜角α和斜率

，一个是几何量，一个是代数量，它们都可以刻画直线的倾斜程度，而这要归功于笛卡儿建立了坐标系，使我们能用代数方法研究几何特征，这就是解析几何的本质.

      新课程标准指出：“学生的数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动进行观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”在对“直线的倾斜角和斜率”一课的解读中，从“单一教材”到“多版本教材”的比较和研究中，笔者对教材有了新的、深入的认识.宋朝著名理学家朱熹说过：“观书，先须熟读，使其言皆出于吾之口；继而精思，使其意若出于吾之心；然后有所得耳.”笔者想说，在我们的日常教学中，应该对教材内容的数学本质认识清楚，才能提升课堂教学的品质.

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