2005年高考广东数学试题和答卷的分析，本文主要内容关键词为：答卷论文,广东论文,数学试题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
05年数学高考，是广东省独立命题的第二年。从命题的内容和答卷的状况，有不少值得分析和总结的东西。本文就05年广东省高考数学科评卷的情况，谈谈我们的看法。
一、题型和特点
05年广东高考数学科试题（以下简称05广东题），总结了上一年独立命题中的经验和不足，在大纲框架中作调整，在稳定结构中求改革。其特点可以归结为：紧扣考纲，调整结构，贴近教材，保持传统，鼓励创意，重视衔接。
1.紧扣考纲
05广东题严格按照考纲和课本的精神命题。在内容分布上，以函数（29分，占19%）、立体几何（24分，占16%）、解析几何（包括向量）（34分，占23%）为主。除了注意反映课程标准的新增内容，如向量、概率统计、导数等内容外（参考公式中仅给出概率公式），还改正了去年的不足，把在高中数学课程标准中某些内容的减少，在试题中得到体现。例如三角恒等变换与三角方程，圆锥曲线的综合计算等内容都在试题中有不同程度的弱化。
2.调整结构
整份试题在大结构中保持稳定的题型，但在降低难度方面作了一些努力，主要表现在：①选择题从12小题减少为10小题，填空题4小题从16分增加至20分；②选择题、填空题及解答题的第(15)题，以基本知识为主，较少技巧性的要求（共82分，约占55%）；③试题的排序设计更趋合理，基本遵循由易到难的顺序。解答题（(16)～(20)）均分步设问，既为学生架设通向最后解决问题的桥梁，也便于未能完整解答问题的考生得到中间的分数。
3.贴近教材
高考的命题必须以教材为本，鼓励学生立足教材，学好学透基本知识。05广东题中有不少以课本的例题、习题的题型加以改造而成的问题。如(15)题（编者注：题目见前文，下同）：
分析 本题主要考查三角函数的周期和值域，三角函数的诱导公式及和（差）角公式等基础知识，以及把特殊形式化为一般形式的化归和转化的数学思想方法，考查思维能力和运算能力。
这是高中教材中通常出现的题型。在人教版（2002年审定）高中第一册（下）第四章小结与复习中
类型的例题。本题仅仅是把三角函数几个公式和性质综合考查而已。
又如(14)题：
分析 这仅是人教版高中第三册（选修Ⅱ）第二章2.1节例
的一个修改版，只不过把初始值f(3)=3改为f(3)=2而已。
另外，(17)题的形式，也不会令考生感到陌生，因为它就是从人教版高中第二册（上）第八章小结与复习中一个参考例题
演化而来的。
4.保持传统
近年来，我们积极学习新课标，领会新内容，但不要忘记，传统数学基础知识和基本方法仍是中学数学中的主力军。05广东题也体现了这一倾向。试看(16)题：
分析 本题主要考查解三角形、空间中线面关系、二面角及其平面角等基础知识，以及数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力和运算能力。
我们给出一个与标准答案不同的又有明确逻辑关系的方法。
解 （Ⅰ）证明：由已知易算得
。
附图
分析 本题的解决依赖三角形边、角之间关系及立体几何的基本知识（甚至可以说并不依赖三垂线定理）等传统知识，比起建立坐标系用空间向量的方法来解决便捷得多。
5.鼓励创意
高考是选拔性的考试，应该鼓励有创意的思想，发现有创意的人才，在考题中构建一个让学生综合运用知识、施展创新的平台。05年的试题中，也体现了这一特点。例如题(10)：
附图
至于题(19)，更是可以发挥学生创意的一道题。
分析 本题主要考查函数的奇偶性、方程的根、解不等式等基础知识，以及函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，考查思维能力、运算能力。学生采取的着眼点及方法不同，则收到截然不同的效果。
（Ⅰ）注意到[0,7]之间仅有f(1)=f(3)=0，一个十分便捷的方法是考察f(-1)（或f(-3)）。因f(-1=f(2-3)=f(2+3)=f(5)≠0=±f(1)，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数。
在（Ⅱ）中利用图像启发，知道直线x=2，x=7是函数图像的对称轴，函数的周期是10，且[0,10]中只有两个根
中也无零点）。于是不难求得[-2005,2005]中有且仅有802个根
6.重视衔接
高考是为高等学校选拔人材，因此重视与高等数学的衔接，是命题时必须考虑的一个因素。05广东题较为重视高等数学所需要的基本知识及数学观念。例如函数的奇偶性、周期性出现在两个解答题中，函数的极值问题出现在三个解答题中。至于高等数学极为普遍的分段函数、符号运算、分类整合等，在考题中也占有较大的比例（约20%）。而概率统计也从去年的9分上升到今年的27分。
二、考生答卷情况统计
根据全省约88%考卷约36万份的答卷情况，得到下列统计数据（准确的数据应按2005年“高考年报”）。
第二部分非选择题成绩概况题号
11～14
15
16
17
18
19
20
总计满分
20
12
14
14
12
14
14
100平均分 11.90
6.75 4.64 3.24 3.42 0.59 0.19 30.73难度
0.595
0.563 0.33 0.23 0.285 0.042 0.014 0.3073
与04年平均成绩比较
04年
05年选择题
35.48
36.77满分
60
50非选择题
25.60
30.73满分
90
100全卷
61.08
67.5满分
150分
三、考生答卷情况分析
(11)题，部分考生不注意边界点的取舍，把答案误写为x≤0，或[-∞,0]。
(12)题，这是较容易的一题，无任何变化，部分考生还是出现－4，或±4之类错误。
附图
(15)题，考生对三角函数的周期及值域掌握较好。但化简过程中也常因为公式记忆不牢出现弄反符号或漏掉π的错误。
(16)题，这道立几题比04年的(18)题难度大（平均分也偏低），考生对勾股定理掌握较好，而考生的典型错误在于证明直线垂直(CF⊥PB)中。逻辑关系模糊，对二面角的概念不清晰，而建立直角坐标系，用向量方法解题的考生更出现较多的计算和判断错误。
(17)题，本题主要考查抛物线方程、三角形重心和面积、两直线垂直的性质等知识。但似乎涉及解析几何的知识不多。考生若能意识到用参数方程表示轨迹解法会更趋简化。考生的错误大多出现在代数的变换中，例如把
写成
。对于ΔAOB面积不少考生误判为不存在最小值。
(18)题，本题考查相互独立事件的概率，随机变量的分布列，数学期望和数列求和等基础知识。考生虽然懂得分布列的概率，也会用错位相减法计算级数前n项和（课本有类似例题），但不少考生将ξ=0误认为ξ=1，或求错ξ取值n的概率。在计算中不能做出最终和正确的结果。这与考生不熟悉用字母表达运算有关。
(19)题，本题考查函数的奇偶性、方程的根、解不等式等基础知识。但由于题型较新颖（本题由1984年美国高中数学竞赛(16)题改造而成），且在卷的末尾，大多数考生对本题无从入手，得分率较低。学生读题审题能力不强，仅在非奇非偶性、周期性上有所收获，但论证不完整。
(20)题，主要考查函数的导数、函数的单调性和极值、直线方程等基础知识，但由于题目中的（Ⅱ）要分三种情况讨论，大部分考生未涉及此题，是近年来得分率最低的一道考题。能够尝试的考生，对（Ⅰ）中的直线方程大多没有考虑k=0的情形。而求折痕最大值时，不知道折痕EF的位置与k的关系。
四、从答卷看中学数学教学的得和失
从今年高考数学答卷中，看到我省中学数学教学有较大的进步，这表现在：
1.对基本知识如函数定义域、平面向量、二项式定理及数学归纳法等内容掌握较好，表现在填空题的得分率比04年有较大幅度的提高（0.45到0.60），给分分布曲线以17分为最高峰，说明除第4题第2问外，其他填空答对的比较多。
2.三角函数知识，特别是周期和值域掌握得较好，因此第(15)题得分率较高，特别是满分率占最大比例。这是各解答题中得分率最高的一题。
3.对立体几何、解析几何、函数这三大考点的基础知识，学生有足够的训练。尽管个别题较难，但空白的情况比过去减少（除最后一题外）。
4.对一些新课标的新增内容，学生已初步掌握，体现在考试中对向量、概率、导数等基本概念和方法已能较好地运用。
5.数学尖子的训练较为突出，即使历年来较难的(20)题，也有部分得满分（14分）或13分的学生。而题型新颖的(19)题，得满分的考生也不是极少。
另一方面，从05广东题的答卷情况，我们来看中学数学教学仍存在的不足。
1.缺乏冷静应试的心理素质
所有的考生已作了较充足的准备。然而在试卷中仍暴露了考生心理不稳定，表现在选择题，填空题出现了不应有的符号或判断错误（如(14)题f(4)纯粹实验可得出的答案，也出现错误），解答题出现审题错误（如(15)题，以为仅是求f(x)的值域和最小正周期，不知道第一个问是“化简”），对(18)的研读也出现不少错误的理解。
2.缺乏对基本概念、基本公式的记忆和理解
05广东题的参考公式仅给出概率的两个公式，而没有三角函数和若干几何公式。就在主考三角函数的(15)题，不少考生出现了因公式记忆错漏而引起的错误。(16)题，许多考生对一些基本概念如二面角的平面角、向量的垂直判定、共线向量等理解不深。
3.缺乏对符号（字母）表达、推理、运算的能力
05年的考卷的解答题部分含符号（字母）的运算推理较多。如(15)题，出现了一个k，就使不少考生停步不前。而(18)题，如果不是用较轴象的s:t，而是用具体的数字比（如3∶4）作为已知条件，考生对这类随机变量问题是可以解出的。
4.缺乏解决动态问题的能力
(17)(19)(20)题都属于含有动态因素的问题。要求学生掌握运动变化的规律，从而解决问题。从答卷来看，虽然一些考生已具备足够的知识，但缺乏探索规律的能力，于是对一些非常规性的问题竟无从下手。
五、对今后中学数学教学的几点建议
1.高考作为选拔性考试必须要“分出高低”，特别是作为客观性较强的数学科，试题必须具有一定的区分度。不能过于千篇一律，也不会毫无变化，因此要让学生有足够的思想准备，充满信心，沉着应对，培养良好的心理素质，踏踏实实学好数学。绝不能把高考的准备放在押题，更不能偏信个别“权威”的预言。
2.对于基础知识的训练要立足于对定义概念的了解。必要的公式还应立足于记忆和灵活运用。虽然新课程增加了新内容，但是传统的基础知识和传统的方法仍是高考的主体。05广东题(16)题，不少考生参照去年立体几何的“经验”，建立坐标用向量方法去做，殊不知，用传统方法更为简单。（用法向量也许会简单些，但严格来说仍要讨论。事实上，这一方法不是教材叙述的内容）。从05广东题中紧扣教材的特点，启发我们要先读懂读通教材，才辅之以参考书，而不要本末倒置。
3.中学数学进入了一个用字母表示数的学习平台，而面向大学更需要字母、符号推理的能力和素养。因此要对字母表达式的教学、训练给予足够的重视。考题(18)的答卷情况就暴露出考生这方面的弱点。因为高考的目的就是进入到高等学校学习。因此，作为“买方市场”的要求，考察学生更为接近高等数学的知识、观念、能力是无可厚非的。由此，在数学教学中，我们要足够重视如函数、周期、最值、分段函数、字母讨论等内容的教学。
4.成功的数学教学不仅能使学生熟练地做出见过的题型，而且应该单一反三，对未见过的题型或稍加改造的题型都能够用学过的知识解出来，至少能够找出问题的关键或切入的要点。因此，加强这方面的训练乃是中学数学教学值得探索的课题。这不仅对于应试，甚至对于创新意识的培养也是有重要意义的。
六、对高考命题的建议
1.05广东题在严格按照考纲的前提下，在降低难度上做出了主观努力，方向是正确的。也收到了一定效果。然而，我认为，这方面步子仍然可以迈得更大。例如，选择题表面上是少了两题，但学生却失去了10分。除了填空题增加了4分外，其余的6分却要在解答题中“赚”回来。这倒不如从选择题中“捞”来得容易。而且在最后面的问答题的难度来得比去年更“狠”。此外，为了减低难度，有些题如(12)题，也拟得太平凡了。因此，希望今后的命题在降低难度方面，步子迈得更大些，也更巧妙些。有人说，05广东题中的解答题，每一道题都设计得不错，但合起来整体就值得商榷。几年来，数学高考平均分一直居低不上，这不利于引导学生增强学习数学的信心。希望高考的命题，在有利于选拔人才的同时，也能提高学生学习数学的兴趣和自信心。
2.吸取了04年考卷的正反经验，05广东题的计算量是减少了，但却增加了过多的符号计算。概率统计本来是新内容。今年是第一次以解答题形式出现，但却以字母表示，再加上并不一般的级数求和，使考生本来已掌握的随机变量知识变得困难起来。此外，某些知识点集中过多。6道解答题中，有3道题就涉及到最值问题。
3.(20)题难度过大，又要分三种情况讨论，出现了绝大部分考生空白考卷，其得分率是历年最低。希望不是试卷前面部分降低难度所付出的代价。
4.试题叙述的文字应多加斟酌，使用学生易于接受的语言，立足于让学生看懂（当然不能降低科学性）。例如(18)题的文字叙述就有值得完善之处。
5.数学的应用是数学教学的大趋势。05广东题缺少应用题。让我们寄望于我省的未来高考数学题，含有一道既科学又来自生活的、设计巧妙的应用问题。