变异取向：从“标准模式”到“非标准模式”--以“轴对称最大问题”为例_数学论文

变式取向：从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对称最值问题”解题教学为例，本文主要内容关键词为：轴对称论文,模式论文,为例论文,取向论文,非标准论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      查阅各地中考、期中（末）试题，不难发现：“轴对称最值问题”一直是高频考点.怎样做好这类最值问题的复习也是广大备考师生的重要工作.本文基于从“标准模式”到“非标准模式”的变式取向，谈谈与此相关的解题教学建议，与同行开展复习研讨.

      一、何谓“标准模式”与“非标准模式”

      郑毓信教授在文[1]中指出：“‘变式教学’是中国数学教学传统中十分重要的一个重要组成部分”，并对教师开展变式教学提出如下的教学建议：“在数学概念的教学中，除去所谓的‘概念变式’与‘标准形式’以外，教师还应有意识的引入相应的‘非概念变式’和‘非标准形式’’，并引用图1讲解“标准图形”和“非标准图形”.

      

      事实上，广大一线教师在课堂教学中，对图1中呈现出来的“标准图形”“、非标准图形”都能做到较好的变式教学.然而在解题教学中，有些初任教师面对经典图形、模式图形时，往往就题讲题，缺少反思与变式，入宝山而空返.比如，大家熟悉的利用轴对称的性质获得最值的问题.

      标准模式如图2所示，要在河边修一座水泵站，分别向张村和李村送水，水泵站修在河边哪个位置，可使所用的水管最短？（说明：河边用直线a表示，A表示张村，B表示李村）

      

      讲解：如图3所示.

      （1）作点A关于直线a的对称点

；

      （2）连接

B交直线a于C，点C就是所求的点.

      反思：在解答“求作直线上一点，使它到直线同侧的两个点的距离之和最短”问题时，往往将其转化为“求直线上一点，使它到直线两侧的两个点距离之和最短”的问题进行求解.进一步，就需要针对上述“标准模式”给出变式，下面提供两种“非标准模式”.

      非标准模式1如图4，某人每天先将羊群从驻地A赶到河边饮水（直线a表示河流），然后再赶到草地放牧（直线b表示草地边界），傍晚回到驻地C.请你设计出最短的放牧路线.

      

      讲解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′C，A′C交直线a于点B，则最短的放牧路线为AB→BC.

      反思：上述解法中，用点A关于直线a的对称点A′代替点A，再由A′B=AB，将折线AB→BC转化为线段A′C，从而运用“两点之间，线段最短”这一性质使问题得到解决.

      非标准模式2如下页图5所示，两条公路OA、OB相交于点O，有一个村庄P，准备在两条公路旁分别建一座小型加工厂M、N，且使PM+MN+PN最短，请在图上画出M、N两点，并写出作法.

      

      反思：显然，这个问题通过构造点P关于OA、OB的对称点，从而将三段折线段（PM、MN、PN）的和转化为线段

的长.

      笔者实践发现，注意在解题教学中开展从“标准模式”到“非标准模式”后，学生更能变通，在复杂问题中找到转化、突破的途径.下面以两道最值考题为例，具体说说从“标准模式”到“非标准模式”的教学建议.

      二、从“标准模式”到“非标准模式”的教学建议

      如上举例，由轴对称的性质带来的最值应用在几何最值问题中占有很重要的位置，尽显作图的智慧，也是一个高频考点，首先摘引与之相关的一道考题.

      例1（2013年贵州省六盘水第24题）

      （1）观察发现

      如图6，若点A、B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，作法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.

      

      如图7，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这就是所求的点P，故BP+PE的最小值为____.

      （2）实践运用

      如图8，已知⊙O的直径CD为2，

的度数为60°，点B是

的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为______.

      

      （3）拓展延伸

      如图9，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M、N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

      

      讲解：（1）根据等边三角形的性质，可得BP+PE=CP+PE=CE，而CE=AD，故本题可求.

      （2）作点B关于CD的对称点E，连接OA、OB、OE、PA、PB，可求得∠AOE=90°，则△AOE是等腰直角三角形.根据勾股定理求出AE的长度.BP+AP=EP+AP≥AE.

      （3）过点P分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，点M、N即为所求.

      

      如图10，作点B关于CD的对称点E，连接AE、OA、OB、OE、PA、PB.

      

      由

的度数为60°，且点B是

的中点，得到∠BOC=∠AOB=30°.

      由点B、E关于CD对称，得∠COE=∠BOC=30°，则∠AOE=3×30°=90°.

      由⊙O的直径CD为2，得OA=OE=1.

      

      

      （3）如下页图11，过点P分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，点M、N即为所求.

      教学建议：这道考题引导考生经历了“观察发现”、“实践运用”到“拓展延伸”，本身就是示范数学学习或探究的一种“范式”或“套路”（章建跃语）.利用这样的考题进行解题教学时，不仅让学生学会解题，更重要的是要引导学生体会这种试题的设问指向、研究套路，这也是渗透从“标准模式”到“非标准模式”的思想.值得一说的是，在图11中“PM+PN的值最小”，教学时还可以追问“使△PMN的周长最小”的作法.是不是回到图5的那种情形呢？从这个角度看，我们倡导从“标准模式”到“非标准模式”的变式取向，本质上也是要加强关联教学.

      

      例2（2010年天津市第25题）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、）y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

      （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.（温馨提示：如图12，可以作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了）

      

      （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

      讲解：第一问与图2类似，是“标准模式”.第二问可以看成是一类“非标准模式”，由于DC、EF的长不变，所以取CG=EF，作D关于x轴的对称点D′，连接D′G，交x轴于E，作CF//GE，此时DE+CF最小.

      简解：（1）限于篇幅，过程略.点E的坐标为（1，0）.

      （2）如图13，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG=2，连接D′G，与x轴交于点E，在EA上截取EF=2.

      由GC//EF，GC=EF，得四边形GEFC为平行四边形，则GE=CF.

      又DC、EF的长为定值，则此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

      

      

      教学建议：这类考题由浅及深，教学时要注意这样的特点，先唤起学生对“标准模式”的理解，然后在深刻理解的基础上思考变式问题、“非标准模式”，并学会积累变式问题或可能变式的方向.

      三、两点思考

      上面我们主要结合轴对称的性质带来的最值模式，就“标准模式”和“非标准模式”做了些个性化的阐释，以下再从解题教学这个更大的视角谈两点思考：一是要重视向学生传递“模式识别”策略；二是引导学生学会反思并积累模式.

      1.向学生传递“模式识别”策略

      罗增儒教授在《数学解题学引论》[2]中指出：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型—模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略.”上文关注的模式问题就是指向“模式识别”.解题教学中，要重视向学生传递“模式识别”策略，如引导学生发现上面例题中的模式（有资料上也称“将军饮马”模式），并保持对“非标准模式”（如图4、5、8、13）的认识.

      2.引导学生反思并积累模式

      向学生传递“模式识别”策略后，重要的是引导学生学会反思并积累模式.解题教学中，教师要善于“获取答案并继续前进”（舍费尔德语），并要求学生也要有解后反思的意识.具体来说，第一，引导学生整理“错题集”，宽泛来说，“错题本”是一种能够提高学习效率、提升学习质量、夯实学习基础、创造优秀成绩的重要手段，即“错题本”上不一定只是“错题”，它应该包括“错题”“模式题”（包括标准和非标准）等.第二，倡导“数学写作”也是不错的方式.如马岷兴提出“数学作文”的五点价值：“数学作文”反映出学生的数学观和数学教学观，“数学作文”能促进学生的创新能力，“数学作文”开辟了一条了解学生的新渠道，“数学作文”彰显学生的个性，“数学作文”提升学生的元认知能力[3].此外，近年来，江苏刘东升老师开展的“数学反思小文章”[4]的研究，“实际上就是把学习的过程完整化，加强学生对自己学习过程的自我监控和调节，使学生对知识的理解得到升华，获得更好的数学认知结构，同时在数学思想方法、解题策略等方面也得到系统化，效果肯定会好的.”[5]（章建跃语）笔者将错题集和数学反思写作结合在一起，刚刚在所教班级推行，并且重视让学生梳理、积累“标准模式”与“非标准模式”，已取得了不错的效果.

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