把握规律保持恒张力--对“坐标系统与参数方程”新课程八年高考试题的分析_参数方程论文

把握规律，以不变应万变——“坐标系与参数方程”新课程全国卷八年高考试题分析，本文主要内容关键词为：坐标系论文,以不变应万变论文,考试题论文,新课程论文,方程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      坐标系与参数方程专题是从极坐标与参数方程角度来研究直线与圆锥曲线的相关性质.这部分内容在高考题中，以中档题定位，容易入手，但由于题目形式变化多样，如果学生不会灵活变通，想拿到高分还是有一定难度的.

      一、八年试题的特点

      1.以考查不同形式的方程之间的互化为主

      对坐标系与参数方程的考查，近八年中有七年考查了不同形式的方程之间的互化，大部分是单向转化，而且是向直角坐标方程进行转化，但2013年新课程全国Ⅰ卷第23题第（1）小题是由参数方程转化为极坐标方程，2014年新课程全国Ⅱ卷第23题第（1）小题是把极坐标方程化为参数方程，且需要经过两次转化.这有时仅仅是为了考查互化这个知识点.例如，2009年试题中的第（2）小题就没有用到第（1）小题互化后的结果；但其余年份的考题中，第（1）小题的互化是为第（2）小题的应用做准备的，所以互化是坐标系与参数方程考查的重点知识.

      2.数形结合的思想方法被重点考查

      解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科，所以数与形紧密相连.在以前的解析几何考题中，解析几何一直以运算著称，新课标则注重考查学生的能力和思维量，而几何知识正好与其吻合.例如，2014年新课程全国Ⅱ卷第23题的第（2）小题，如果借助图形，则容易求得tant=

，也就可以求得点D的坐标，但如果单纯用代数方法，则需要设直线方程，代入圆方程进行运算，比较麻烦.其余各年试题也都体现了数形结合的思想方法.

      3.通过考查与研究曲线的几何性质，突出坐标系与方程的思想

      

      4.通过考查轨迹问题，突出参数的桥梁作用

      在解析几何中，参数法是求曲线方程的四大方法之一.2010年的相关高考题是先给定一个动点与一个定点，再由中点公式把所求动点坐标用参数建立了联系，得到参数方程.2011年则用向量关系把所求动点与已知动点建立关系，从而建立所求的参数方程.

      2013年新课程全国Ⅱ卷是先给定两个含有参数的动点，再由中点公式得到所求动点的参数方程.它们的本质都是把动点坐标通过参数建立关系，得到参数方程，消参后化为一般方程.

      5.通过对最值问题的考查，体现参数方程的优点

      2009年、2012年和2014年新课程全国Ⅰ卷都是运用椭圆的参数方程求最值问题，其中2009年是直接求点到直线距离的最大值，属于基本题型.2012年是求椭圆上点到4个定点的距离，从而转化为余弦函数的值域问题，看上去题目很复杂，但只要抓住本质，大胆运算，其实是很简单的.2014年把求最值问题隐含在一个直角三角形中，需要学生自己去发现和转化，之后就会变为点到直线距离的最值问题.它们的共同特点是通过椭圆参数方程，把问题转化为三角函数的最值来处理.

      6.以变换的观点求曲线方程

      利用坐标伸缩变换求曲线方程，实际上是求曲线方程的一种方法，叫做代入法，只有2008年试题中考查了这部分内容.

      二、复习备考中的几点注意

      根据以上分析不难发现，对坐标系与参数方程的考查主要集中在三个方面，即直线与圆的位置关系；与圆和椭圆有关的最值问题；借助参数求曲线方程.尽管如此，但试题却是灵活多变的，以直线与圆为例，在几年的考查中，几乎没有两年是考查同一个问题的，尽管它们的本质都是考查直线与圆的位置关系.

      1.渗透坐标系思想，优化解题过程

      关于坐标系与参数方程的试题，大部分试题是考查直线与圆的位置关系、交点和弦长等几何量.在不同的坐标系下，解题的思路与过程都存在着区别，大多数学生在解决此类问题时，总是习惯先将其转化成直角坐标方程，在研究其位置关系与几何量后，再返回到极坐标系中，这样做费时费力，且有时会带来烦琐的计算.所以我们在教学中应该让学生在不同的坐标系下，解决同一个问题，让学生自己体会选择坐标系的重要性，进而引导他们合理选择坐标系，对直线与圆的几何关系进行研究，渗透坐标系思想，优化解题过程.尽量引导学生在极坐标系中，应用相关知识直接解决问题.

      例1 在直角坐标系xOy中，⊙C的参数方程为

以点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

      （1）求⊙C的极坐标方程；

      

      所以⊙C的极坐标方程为ρ=2cosθ.

      

      所以线段PQ的长为2.

      如果将此题转化到直角坐标系中去解，不但烦琐且运算量大.

      2.训练学生的互化能力，提高考试成绩

      在不同的坐标系或不同的方程之间相互转化，是研究坐标系与参数方程的基础.这在新课程全国卷试题中，往往出现在第（1）小题中，虽然难度比较低，但分值并不小，而且为研究第（2）小题做了铺垫，所以在教学中，要进行针对性的训练，要求学生熟练掌握，确保万无一失.

      3.正确理解参数及参数方程，优化解题过程

      ●正确运用圆与椭圆的参数方程特点，求最值问题.

      减少参数、设而不求与数形结合是研究解析几何问题的三大技巧，参数方程正是体现了减少参数这一特点，特别是在圆和椭圆的参数方程中含有正弦和余弦时，可把与圆和椭圆有关的最值和定值问题转化为三角函数问题，进而利用正弦和余弦的有界性使问题获得较好的解决，这种方法比用常规参数求最值要简单.

      

      （1）以直角坐标系的坐标原点O为极点，极轴与x轴正半轴重合，把曲线C的方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；

      （2）设点P为曲线C上一动点，矩形PQRS以PR为其对角线，且矩形的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时点P的坐标.

      解：（1）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，

      所以曲线C的直角坐标方程为

，点R的直角坐标为R（2，2）.

      （2）设P（

cosθ，sinθ），

      则｜PQ｜=2-

cosθ，｜QR｜=2-sinθ.

      所以｜PQ｜+｜QR｜=4-2sin（θ+60°），

      即当θ=30°时，｜PQ｜+｜QR｜的最小值为2.

      所以矩形周长的最小值为4，此时点P的坐标为

      ●合理选择参数，求曲线方程.

      我们已经学习了用直接法和待定系数法求曲线的方程，但有些问题要直接找到x与y之间的关系，可能很困难，需要第三方，即参数的介入，这种求曲线方程的方法就是参数法.近八年高考中有三年用到了此种方法解决曲线方程问题，其既体现了参数的特点，又可作为直角坐标系缺憾的一种补充，应该引起教师和学生的重视.

      例3 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同.点P（2cosα，2sinα+2），α∈[0，2），点Q（2，0）.

      （1）求点P与点Q连线中点M的轨迹方程；

      （2）求过点P轨迹与点M轨迹公共点的直线的极坐标方程.

      解：（1）因为

且α∈[0，2），Q（2，0），所以点P的轨迹方程为

①

      

      ●准确应用直线参数方程中t的几何意义，研究直线与圆锥曲线的几何性质.

      

      例4 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为

（t为参数，α为直线l的倾斜角）.⊙C的极坐标方程为

      （1）若直线l与⊙C相切，求α的值；

      

      

      将直线l的参数方程与⊙C的一般方程联立，可以得到

      

      如果用一般方程来解此题，运算量大，下手也不容易，这充分体现了直线参数方程的优点和应用价值.

      4.关注数形结合的思想方法，体现新课标的思想

      数形结合既符合解析几何的特点，又与新课标高考要求相一致，所以在教学相关内容时，要注意对数形结合思想方法的渗透.借助图形便于直观思维，有些题应用平面几何知识，可降低运算量，使解题更快捷.

      尽管试题是千变万化的，但其中蕴藏着一定的规律，其基石是基础知识，所以在坐标系与参数方程的教学中，只要认真落实基础知识，就能以不变应万变，使学生立于不败之地.

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