活动课例《简单的线性规划问题》的教学尝试设计说明，本文主要内容关键词为：线性规划论文,简单论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
九年义务教育初中数学教学大纲明确指出初中数学的教学目的：使学生学好当代社会中每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需的代数、几何的基础知识与基本技能，进一步培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念，并能够运用所学知识解决简单的实际问题。培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点。
我国著名数学家华罗庚，就曾把数学理论研究和生产实践紧密结合，并应用于国民经济建设领域，取得了显著的经济效益。数学的应用，正如他的精辟阐释“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁无处不用数学”。荷兰数学家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）也曾指出“数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实”。
随着素质教育的不断深入，我们作为一线的数学教育工作者应该积极重视数学的应用教学，这是时代的需要，是社会发展的需要，也是人们生存与现代化建设的需要。当然也符合新课程标准的要求：“关注学生已有的生活经验和知识背景，关注学生的实践活动和直接经验，关注学生的自主探索和合作交流，关注学生的数学情感和情绪体验，使学生投入到丰富多彩、充满活力的数学学习过程中去，使数学学习具有价值，富有意义。有利于学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得数学学习的自信心和兴趣，理想数学的基本思想和方法，体会数学的探索过程，体会数学与自然、社会和人类生活的联系，获得情感、能力、知识的全面发展。”
因此，教师必须对学生加强数学能够广泛应用的教育，使他们受到把实际问题转化成数学问题的训练，从而培养他们会用所学的数学知识去分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识，来充实目前数学教育的内涵，出色完成教学任务。
在数学活动课程教学中，我设计了活动课例《简单的线性规划问题》，下面试对此作如下说明，以供探讨。
1 设立课题，编制问题，确立目的
教师要认真研究现行的人教社编写的九年义务教育三年制初级中学代数、几何课程的有关内容，把纯数学的理论知识融于日常生活或生产实践中遇到的一些实际问题。这就要我们关注生活，留心周围的新生事物，编拟切合教学内容的问题。诸如生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、自动扶梯运行、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题，都可以巧妙地与相应的数学知识结合得到有意义的实际应用问题。
笔者通过设立各类应用数学课题的教学，使学生领悟到数学与日常生活、相关学科以及周围的现实有着广泛的联系。激发他们学数学的兴趣，体会学数学的意义，增强用数学的热情。
附文为进行拓宽展开式补充教学的活动课例，它借助人教社编写的九年义务教育三年制初级中学的《代数》第三册《§13.5一次函数的图象和性质》的内容，把其中纯数学的理论知识应用于指导我们解决日常生活或生产实践中遇到的一些实际问题。
2 设计程序，选择方法，把握典型
教师通过引用生动的、与教学内容吻合的事例，把新鲜的事物、新颖的问题展现在我们的学生面前，自然地导入新课，学生在故事中认识到数学应用的意义。进而，教师提出问题激发他们学数学的兴趣；增强他们用数学的意识；吸引他们积极思考；充分发挥他们的主观能动性。整个教学过程教者还应注意利用最典型的问题按梯度由浅入深，分散难点，前后铺垫，互相启发，做到有利于学生的全面接受。
近年来中考和竞赛的试题中不断出现与一次函数相关的实际问题，在这里，附文精选了四个简单的线性规划问题，分析了这些问题与数学知识的联系，建立了数学模式——一次函数模型，归纳总结出不同问题的不同解决方法。最后利用精心选编与课题有关的习题，供学生最后练习巩固。
3 观察事物，寻找问题，探索解法
教师引导学生主动地去观察周围世界的事物，分析现实世界中的事物与数学的联系，找到其中具有实际意义的问题，并能将这些实际问题转化成便于处理的数学问题，即建立数学模型，学会寻找或创造解决问题的数学方法。这些实际问题往往条件不充分或解答不唯一，通过这样的实践可以加强学生用数学的意识和能力，培养学生研究讨论条件和结论的能力，培养学生发散性思维、开放性思维、创造性思维，有助于学生形成肯于钻研、善于思考、勤于动手和仔细认真的良好学风。
4 总结经验，交流思想，提高素质
教师要求学生在学习本节课（包括课内课外）从模仿到创新的基础上，领会数学建模的思想方法，总结在被动和主动学习、探索研究简单的线性规划问题的过程中所得到的解决方法，让学生自己写出在学习和实践中研究的心得体会，教师批阅后，可以将有创见的心得在全班交流学习，从而提高全体同学的整体数学素质。
综上所述，《简单的线性规划问题》的活动课教学设计，着意培养学生的数学建模能力以及探索研究的创新意识，使学生形成良好的数学意识和数学思维。
附：数学活动课课例《简单的线性规划问题》
简单的线性规划问题
近年来，各级各类数学竞赛中频频出现线性规划问题。所谓线性规划，是指求线性函数在线性（不等式或等式）约束下达最（小或大）值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域，本文通过以下例题介绍常用的解题思路和方法。
1 运用数量关系解题
例1 某家电生产企业根据市场调查分析， 决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台。已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称
空调器
彩电
冰箱工
时
1/2
1/3
1/4值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？
（1997年第十二届江苏省初中数学竞赛）
解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台， 每周产值为f元，则
f＝4x＋3y＋2z。
其中x、y、z满足
得30≤x≤120。
故f＝3（x＋y＋z）＋x－z＝1080－x。
当x＝30时，f[,max]＝1080－30＝1050。
从而，y＝270，z＝60。
即每周生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台， 才能使产值最高，最高产值为1050千元。
2 运用图表作业解题
例2 A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台。 现在决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。已知从A市调运一台机器到D市、E市的运费分别为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台机器到D 市、 E 市的运费分别为400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台机器到D市，当28 台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数式，并求W 的最小值和最大值；
（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28 台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最小值和最大值。
（1998年全国初中数学竞赛）
解 （1）（2）这两问都可以运用数量关系解题，具体解法参见《中等数学》1998年第3期第34页或1999年第4期第3页文。
下面以第（2）问为例说明运用图表作业解题。
（2）（表上作业法）
由题意，易得W（x，y）＝17200－500x－300y。
Ⅰ求最小总运费W[,min]。
表中对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较， 逐次选取较小运费地，尽可能的调运，得调运方案如表1所示：
A
B
C
需量 D
200×10
300×8
400×0
18 E
800×0
700×2
500×8
10供量
10
10
8
即当x＝10，y＝8时，最小总运费W[,min]＝9800（元）。
Ⅱ求最大总运费W[,max]。
类似地，可得调运方案如表2所示：
A
B
C
需量 D
200×0
300×10
400×8
18 E
800×10
700×0
500×0
10供量
10
10
8
即当x＝0，y＝10时，最大总运费W[,max]＝14200（元）。
（3）（图上作业法）
由题意，易得W（x，y）＝17200－500x－300y。
Ⅰ求最小总运费W[,min]。
图中所标运费可以看作是单位运量。供量用正数表示，需量则用负数表示，对于D市、E市可供货的A、B、C三地进行比较， 逐次选取单位运量较小的，尽可能的调运，得调运方案如图1所示：
即当x＝10，y＝8时，最小总运费W[,min]＝9800（元）。
Ⅱ求最大总运费W[,max]。
类似地，可得调运方案如图2所示：
即当x＝0，y＝10时，最大总运费W[,max]＝14200（元）。
3 运用图象性质解题
例3 某工厂制造A、B两种产品，制造产品A每吨需用煤9吨， 电力4千瓦，3个工作日；制造产品B每吨需用煤5吨，电力5千瓦，10个工作日。已知制造产品A和B每吨分别获利7千元和12千元，现在该厂由于条件限制，只有煤360吨，电力200千瓦，工作日300个可以利用，问A、B两种产品各应生产多少吨才能获利最大？最大利润是多少？
解 设A、B两种产品分别生产x吨、y吨，利润为f千元，则
f＝7x＋12y。
其中x、y满足
如图3所示，阴影部分即为这个线性规划问题的可行区域。
∵－4/5＜－7/12＜－3/10，
∴平行直线系f＝7x＋12y过点A（20，24）即当x＝20，y＝24时， f[,max]＝7×20＋12×24＝140＋288＝428（千元）。
即产品A生产20吨，产品B生产24吨，获利最大，最大利润为428 千元。
4 运用枚举验证解题
例4 某人有楼房一幢，室内面积共180m[2]，拟分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为18m[2]，可住游客5名， 每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m[2]，可住游客3名， 每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600 元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？
解 设隔出大、小房间分别为x间、y间，收益为f元，则f＝200x＋150y。
其中x、y满足
如图4所示，由图解法易得f＝200x＋150y过点A（20/7，60/7 ）时，目标函数f取得最大值。
但x、y必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数f 取得最大值的整点。
显然目标函数f 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法即可求出整点最优解。
这些整点有：（0，12）（1，10），（2，9），（3，8），（4，6），（5，5），（6，3），（7，1），（8，0），分别代入f＝200x＋150y，逐一验证，可得取整点（0，12）或（3，8）时，f[,max]＝200×0＋150×12＝200×3＋150×8＝1800（元）。
所以要获得最大收益，有两种方案：
Ⅰ只隔出小房间12间；
Ⅱ隔出大房间3间，小房间8间；
最大收益为1800元。
练习题
1.20个农场职工种50公顷田地，这些地可以种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每公顷所需的职工和预计的产值如下：作物名称
每公顷需职工
每公顷预计产值(元) 蔬菜
1/2
11000 棉花
1/3
7500 水稻
1/4
6000
问怎样安排，才能使每公顷地都种上作物，所有职工都工作，而且农作物的预计总产值达到最高？最高预计总产值是多少？
2.今年甲、乙两矿生产相同的矿石，甲、乙每月的产量分别为10万吨和8万吨；又有A、B两工厂每月分别需要矿石6万吨和12万吨。已知甲、乙与A、B的距离由图5标出（单位：千米）， 问怎样调运才能使总动输量（单位：万吨·千米）最小？最小总运输量是多少？怎样调运总运输量最大？最大总运输量是多少？
3.某公司在A、B两地分别有库存机器16台、12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地15台，乙地13台。已知从A 地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400 元； 从B 地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元。问应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？此时总运费是多少？
4.甲、乙两个粮库要向A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米。 两库到两镇的路程和运费如下表：
路程(千米)
运费(元/吨·千米)
甲库 乙库
甲库
乙库A镇
20
15
12
12B镇
25
20
10
8
问：（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米， 才能使总运费最省？此时总运费是多少？
（2）最不合理的调运方案是什么？ 它使国家造成不该有的损失是多少？
5.两个电脑仓库供应三所学校电脑，甲仓库有12台，乙仓库有20台；A校需9台，B校需15台，C校需8台。已知甲仓库到A、B、C三校的距离依次为10公里、5公里、6公里；乙仓库到A、B、C三校的距离依次为4公里、8公里、15公里。若每台每公里的运费为常数a元，则甲仓库供应给A校、B校、C校各多少台，使总运输费用最省？（1998 年上海市初中数学竞赛）
6.某两个煤厂A[,1]、A[,2]每月进煤数量分别为60吨和100吨， 联合供应3个居民区B[,1]、B[,2]、B[,3]，3 个居民区每月对煤的需求最依次分别为50吨、70吨、40吨，煤厂A[,1]离3个居民区B[,1]、B[,2]、B[,3]的距离依次分别为10千米、5千米、6千米，煤厂A[,2]离3 个居民区B[,1]、B[,2]、B[,3]的距离依次分别为4千米、8千米、12千米。 问如何分配供煤量使得运输量（单位：吨·千米）达到最小？最小运输量是多少？
7.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3、2千元/件。甲、乙产品都要在A、B两种设备上加工，所需工时甲在A、B两种设备上分别为1、2台时/件，乙在A、B设备上分别为2、1台时/件。 A、B设备每月有效可使用台时数分别为400、500。如何安排生产， 使产品销售总收入最大？最大总收入是多少？
（1999年上海市第八届中学生数学知识应用竞赛初赛）
8.某工厂在计划内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产每件产品所需机时、工时、获利情况如下表，在不超过总机时100和总工时120的条件下，应如何安排生产使获利最大？最大利润是多少？
机时
工时
获利(千元)Ⅰ
2
4
6Ⅱ
3
2
4
9.投资生产A产品时，每生产一百吨需资金200万元，需场地200m[2]，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需要场地100m[2]，可获利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地900m[2]，问应作怎样的组合投资，可使所获利润最多？最大利润是多少？
（1998年上海市第七届中学生数学知识应用竞赛初赛）
10.某钢厂用A原料2吨和B原料4吨可产出1吨甲种钢管；用A原料5吨和B原料3吨可产出1吨乙种钢管。这两种钢管在北京、上海、 广州三地销售所得单位利润（单位：万元/吨）如下表所示：
销售甲种钢管的单位利润
销售乙种钢管的单位利润
(万元/吨)
(万元/吨)北京
2
6上海
3
4广州
4
2
现根据市场供求信息：A、B原料的周供应量分别是10吨、12吨；每周甲种钢管生产不能超过2.5吨，乙种钢管生产不能超过1.5吨，且只能将全部钢管销往同一地方。问这两种钢管分别生产多少吨，销往何地，才能使一周的总利润最大？最大总利润是多少？
（《中等数学》1999年第3期，数学奥林匹克初中训练题38）
11.某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10 吨的B型卡车，有9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次， B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？最低成本费是多少？
答案与提示
1.种蔬菜30公顷，不种棉花，种水稻20公顷，预计总产值最高，最高预计总产值为450000元。
2.（1）甲矿不运给A厂，运给B厂10万吨；乙矿运给A厂6万吨， 运给B厂2万吨时，总运输量最小，最小总运输量为164万吨·千米。
（2）甲矿运给A厂6万吨，运给B厂4万吨；乙矿不运给A厂， 运给B厂8万吨时，总运输量最大，最大总运输量为176万吨·千米。
3.从A地调往甲地3台，乙地13台；从B地调往甲地12台，乙地0台，可使总运费最省，此时总运费为10300元。
4.（1）甲库运往A镇70吨，运往B镇30吨；乙库不运往A镇， 运往B镇80吨时，总运费最省，总运费为37100元；
（2）甲库不运往A镇，运往B镇100吨；乙库运往A镇70吨，运往B镇10吨时最不合理，此时总运费最多，总运费为39200元， 使国家造成不该有的损失为2100元。
5.甲仓库供应给A校0台，B校4台，C校8台。
6.A[,1]不运往B[,1]，运往B[,2]20吨，运往B[,3]40吨；A[,2] 运往B[,1]50吨，运往B[,2]50吨，不运往B[,3]，可使运输量最小， 最小运输量为940吨·千米。
7.生产甲种产品200件，乙种产品100件，使产品销售收入最大，最大销售总收入为800千元。
8.生产第Ⅰ种产品20件，第Ⅱ种产品20 件获利最大， 最大利润是200千元。
9.A产品生产13/4百吨，B产品生产3/2百米时， 可使所获利润最多，最大利润是1475万元。
10.甲、乙两种钢管分别生产5/4吨、3/2吨且全部销往北京， 可使一周的总利润最大，最大总利润是11.5万元。
11.每天派出A型车5辆，B型车2辆，公司所花的成本费最低， 最低成本费是1304元。
实践题
注意观察周围世界的事物，把其中与一次函数相关的实际问题记录下来，并运用数学建模方法予以探索，最终得出解决的结论。
心得题
请你把在学习、探索研究简单的线性规划问题的过程中所得到的解决方法总结出来，写成论文。