说数列的极限（第一课时），本文主要内容关键词为：数列论文,课时论文,极限论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认识数学世界解决数学问题的重要武器。下边我将从四个方面来阐述我对这节课的理解和设计。
1 教材分析：
众所周知，高等数学这个庞大的学科体系得以建立的基础和基石就是极限。而数列的极限是极限知识结构体系中最为简单的部分。然而由于ε－N 定义的高度抽象性和深刻性使得这部分内容对高中二年级的学生而言学习起来是相当困难的。
极限知识在中学必修内容中的物化体现在人教社高级中学课本《代数》下册必修本60～72页，具体说来就是6.4数列的极限、6.5数列极限的运算法则两节。其中6.4数列的极限在教学参考书中计划学习两课时，第一课时主要学习极限概念及简单应用，为第二节课概念的深入理解和应用奠定基础。今天我说课的内容就是6.4节的第一课。 本节内容是在学生学习了6.1数列、6.2等差数列、6.3等比数列的基础上学习的。
教学大纲对这节课的要求是：使学生了解数列极限的意义。在《考试说明》中仍然维持了大纲的这一要求。但在与新教材配套的新版教学大纲和新版考试说明中对数列极限概念的要求已经修定为：理解数列极限的概念。按照考试说明对知识要求的三个层次的划分，我们知道在新教材中对数列极限概念的要求已由第一层次上升到第二层次，也就是说数列极限的重要性已得到教育机构的肯定和重视，同时其地位也得到了应有的回归。
由于教学大纲和考试说明在我们教育教学实践和改革中具有的权威性、指导性和前瞻性，结合高二学生的身心特征促使我设计了以下的教学目标。
2 教学目标：
2.1 知识目标：
（1）理解数列极限的概念。
（2）会用数列极限的概念确定某些简单数列的极限。
2.2 能力目标：
（1）培养学生的思维能力。充分挖掘学生思维的批判性和深刻性，以及潜在的发现能力和创造能力。
（2）培养学生用图形计算器作出数列图像数形结合的能力。
2.3 德育目标：
（1）通过介绍庄子的哲学命题和刘徽的巨大数学成就， 激发学生的民族自信心和爱国主义思想情感。同时培养学生的数学素养。
（2）本节内容是培养学生辩证唯物主义世界观的不可多得的、 极佳的教材。通过数列极限概念的教学，来揭示数学世界中的辩证关系，引导学生从有限中认识无限、从近似中认识精确、从量变中认识质变。
2.4 重点和难点：
由于数列极限概念的形成和构建过程是本节知识的支撑点，是ε－N定义及后续知识的出发点，故数列极限概念的探求和构建是教学的重点。又由于ε－N定义的高度抽象性和深刻性已构成了学生掌握知识和形成能力的障碍，故数列极限的ε－N定义是教学的难点。
3 教学方法和教学手段：
3.1 教学手段：
本节课要充分发挥计算机直观、形象的动态功能来展示庄子的哲学命题和刘徽的割圆术，以激发学生的学习热情并为数列极限概念的教学奠定直观、形象的认知基础；同时要用图形计算器对数列进行计算、列表和作图，通过数形结合以减轻学生负担，突出重点和突破难点。
3.2 教学方法：
采用启发式探索发现法和启发式讲解法。创设富有启发的学习情境，循循善诱充分调动学生学习的积极性，使学生经历并体验概念的发生和发展过程。
3.3 学法指导：
教师的教学活动不仅要使学生学会，更重要的是使学生会学。因此教师通过学生动手实践、观察、分析、比较、抽象和概括，促使学生对极限概念表述的严格性作出探索，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成数列极限概念的构建。
4 教学流程：
4.1 概念的探索：
4.1.1 创设情境以旧引新。
教学必须由浅入深、由表及里、逐渐深化，教学的导入必须前后连贯以旧引新，从旧知识中寻找新知识的生长点，造成一种合乎逻辑的认知突破。因此我设计了以下的引入。
求出下列无穷数列的一个通项公式，并考察当项数n无限增大时，项的变化趋势。并用图形计算器作出数列的图像。
通过讨论得出数列（2）、（3）、（4）的共同特征：即随着项数n的无限增大，数列中的项a[,n]无限的趋近于一个常数A。并向学生指出：我们把具有这种特征的数列称为有极限的数列，常数A 称为该数列的极限。这样就得出了数列极限的描述性定义。
4.1.2 演示庄子的哲学命题和刘徽的割圆术。
演示战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》中引用过的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”让学生观察思考得出结论：木棍的长度构成的数列，其极限为0。
演示三国时的刘徽提出的所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”引导学生观察思考得出结论：圆的内接正n边形面积所构成的数列，其极限就是圆的面积。 并指出：刘徽是最早用数列极限的思想求圆面积的科学家。他一直算到了内接正192边形，得到π≈3.14，被称为徽率。
4.2 概念的构建：
4.2.1 提出问题，引发学生的认知冲突。
（1）根据数列的描述性定义，我们知道上述无穷数列（2）的极限是0，也就是说随着项数n的无限增大，数列中的项无限地趋近于0。问题是：在数列的项无限趋近于常数0的过程中，实际上数列的项也越来趋近于常数－0.1，可为什么我们不说该数列的极限是－0.1呢？这样就促使学生集中注意力，开始产生有针对性的思维活动。
（2）经过对比思考容易发现，越来越趋近和无限趋近是有差别的。所谓越来越趋近指的是距离越来越小，而无限趋近不仅要求距离越来越小而且能够无限的小。以数列（2）为例：数列的项越来趋近于常数－0.1的过程中，数列的项并没有无限地趋近于常数－0.1，因此－0.1不是数列（2）的极限，事实上数列（2）中的任意一项与常数－0.1的距离都不小于0.1。（3）接下来的问题是：距离无限小如何用数学语言来刻划呢？教师引导学生快速回顾数轴上两点间距离的意义及其数学表达式│x[,1]－x[,2]│之后，学生容易把距离无限小迁移为：│a[,n]－A│无限的小。接着追问│a[,n]－A│的值分别小于0.1、0.01、0.001…时，算不算距离无限小呢？回答是否定的，尽管距离一次比一次小，但它们都是一些确定的值，并不是无限的小。实际上一旦给定具体的距离值，就总有比他小的，那么该怎么办？把具体的值0.1、0.01、0.001…改为字母ε（正数）即可表示距离无限的小了。应该说我们到了本节课最关键的地方，接下来我们不妨对一个具体问题进行讨论，期望能够从中得出极限的定义。从方法论上讲，此时的退是为了更好的进。
4.2.2 数列极限定义的得出。
（1）考察上述数列（2）中有哪些项与0的距离小于0.1、0.01、0.001…ε呢？学生通过解不等于│1/n－0│＜0.1、0.01、0.001、ε，易知当项数n分别大于10、100、1000、1/ε时，a[,n]与原点的距离分别小于0.1、0.01、0.001、ε。也就是说对于给定的每一个正数，都可以找到这么一项N，使得N后面的所有项与0的距离都小于这个正数。
4.3 概念的深化：
心理学认为，概念一旦获得如不及时加以归纳、总结，他就会混淆或遗忘。并且必须通过解题训练加以巩固。
4.3.1 解题训练。
为了巩固学生所学，让学生做以下练习。通过本题逐问地思考可以帮助学生总结上一阶段得到数轴数列极限定义的过程。同时使学生熟悉极限定义应用的步骤。
例1 已知数列2/1，3/2，4/3，5/4，…，n＋1/n，…。
（1）写出这个数列的各项与1的差的绝对值；
（2）第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1？都小于0.01？都小于0.0003？
（3）第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于任何预先指定的正数ε？
（4）1是不是这个数列的极限？
4.3.2 对定义的说明
（1）从定义可以看出，数列的极限是针对无穷数列而言的， 至于有穷数列则没有极限。
（2）在数列极限的定义中，“任给ε＞0，…，不等式│a[,n]－A│＜ε恒成立”说明什么？
因为ε具有任意性，可以任意的小，说明a[,n]无限趋近于A。同时指出ε的两重性：ε的绝对任意性是通过无限多个相对固定性表现出来的，无穷多个相对固定性的总和构成了ε的绝对任意性。ε的这种两重性，深刻地反映了全过程的精确性与任一瞬间的近似性之间的辩证关系，符合量变到质变的规律。
（3）定义中“总存在自然数N，当n＞N时”说明什么？
说明第N＋1项、N＋2项、N＋3项，…都能使不等式成立。也就是说数列｛a[,n]｝的项无限趋近于A是可以实现的，并指出项a[,N]只是数列｛a[,n]｝中的一个标志项。
（6）数列极限在直角坐标平面内的几何意义：任给正数ε， 存在以直线y＝A±ε为边界的条形区域，存在一个N，当n＞N时， 所有的点（n，a[,n]）都落在这个条形区域内。换句话说，数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个落在条形区域外。
4.3.3 小结：
由于本节课侧重概念的辨析，故由师生共同总结本节课的知识结构、思想方法以使知识结构在学生头脑中得以完善，思想方法得以深化。
定义中的ε是前提，N是关键。给出ε才能找N，找到N则极限存在，且其值为A。否则极限不存在。同时定义还给出了证明数列极限的基本步骤：
（4）作出结论：
思想方法：数形结合、有限与无限、量变与质变。
4.3.4 课外作业：为项固所学。让学生完成以下课外练习。
（1）阅读课本、整理笔记、思考吸收。
（2）70页习题1、2。
由于数列极限是一个渐悟型的数学概念，要深刻理解其定义并不是一次教学活动就能完成的，还需要在今后定义的运用过程中进一步领会其实质。但通过本节课的学习，我力求使教学目标得以落实，发挥学生的主体地位，形成以探索者为中心的探索活动。不仅使他们学到数学知识，而且还可以使他们确立科学的态度和科学的方法。当然这一过程不是一朝一夕或者几节课就能完成的，它需要我们深入研究、长期积累从每节课做起。而这一点正是我们所需要努力的！