中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826 （2019）09-033-02
数学思想方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在。历史上有不少数学家，如欧几里得，欧拉，高斯，拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多难题。 数学蕴含着丰富的美，而联想构造法则起到了锦上添花的作用，近几年来，联想构造法在中学数学中也有了很高的地位。利用联想构造法解题需要有扎实的知识基础，较强的观察能力，创造思维和综合运用能力等。
通俗地说，联想构造法往往是由初中数学中一些题目的条件，由初中数学几何中一些性质来联想这知识点迁移和转换，进而解决一些问题，本文试从一道2017年泉州中考模拟试卷的填空题来谈谈联想构造法如何来解决初中几何中的一些问题，希望能给初中生有所帮助和收获。
在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）
A.变大 B.先变大后变小
C.先变小后变大 D.不变
试题分析：本道题目背景是一个菱形上，由一个动点的变化引发了另外两个动点的的变化，从而考查一个角的变化情况。本题难度不小，尤其不容易找到解题的突破口，同时在有限的时间里如何尽快找到切入点来解决本道题目，对于学生来说是有一定难度的，本文试着从四种方法来解决问题，同时也通过本文来总结一些数学中的基本方法。
方法一：三角形的外接圆法。通过菱形对角线的这个知识点入手分析，由于菱形ABCD已经连接了一条对角线BD，考虑到菱形对角线的特殊性，菱形的两条对角线互相垂直且平分，这一性质特征联想到作辅助线，如图1连接AC，则AC和BD互相垂直平分，而EG本身就是线段AP的垂直平分线。垂直平分线的主要运用一个方面是垂直且平分，另一个是垂直平分线的性质，就是到线段两端的距离相等，第三个方面就是三角形外接圆的圆心就是三角形三边垂直平分线的交点。△APC有两条边都有了垂直平分线，即AP边的垂直平分线是EG，AC边的垂直平分线是BD，这两条交于点G，由此想到点G是△APC外接圆的圆心，故而以点G为圆心，GP的长为半径做出外接圆⊙G，则△APG是⊙G的圆心角，圆心角通常通过同弧转换到圆周角，即∠ACP,由于菱形形状不变，角度也不变，所以∠APG的大小不变进而可以解决问题。
解题过程可以参考如下：
解：连接AC，AG，以点G为圆心，以PG长为半径作⊙G。
在菱形ABCD中，BD垂直平分AC，且EG垂直平分AP，
∴点G为△APC外接圆的圆心∵AP⌒=AP⌒
∴
又∵EG是AP的垂直平分线 ∴AG=PG∴∠APG=∠PAG
在△AGP中，
又∵∠BOC=90° ∴∠APG=∠DBC
且菱形形状大小不变，∴∠DBC大小不变，则∠APG大小也不变。
本种方法联想到构造隐圆也可以通过圆本身的定义联想，圆的定义是到定点的距离等于定长的点都在圆上，连接AG、GC，容易证明AG=GP=GC，则A,P,C三点在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，同样可以构造△APC的外接圆⊙G，然后解法同上。
方法二：四边形ABPG的外接圆法。通过菱形的对称性质来联想方法，由于菱形是轴对称图形，对角线BD所在的直线是菱形的对称轴，进而想到AG=GC，∠BAG=∠BCG，且EG是AP的垂直平分线，则AG=GP，所以GP=GC，进而联想到∠GPC=∠BCG，由于∠GPB+∠GPC=180°，所以∠GPB+∠BAG=180°,四边形对角互补则可以联想到四点共圆进而可以解决问题。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆解题过程如下：
解：连接AG、GC
∵四边形ABCD是菱形
∴对角线BD所在的直线是菱形ABCD的对称轴
∴∠BAG=∠BCG AG=CG
又∵EG是AP的垂直平分线
∴AG=GP
∴GC=GP
∴∠GPC=∠BCG
∴∠GPC=∠BAG
又∵∠GPB+∠GPC=180°
∴∠GPB+∠BAG=180°
∴四边形ABPG四点共圆
∵AG⌒=AG⌒
∴∠APG=∠ABG
且菱形形状大小不变，∴∠ABG大小不变，则∠APG大小也不变。
方法三：另一种四点共圆法。由菱形的对角线互相垂直这个性质出发，得到直角，且由EG垂直AP得到直角，两个直角除了相等还可以得到互补，由此联想构造四点共圆，同时连接另一条对角线，利用菱形对角线的另外一个性质就是互相平分得到交点O为对角线的中点，且点E也是AP的中点，可以得到三角形的中位线，因此可以通过中位线的平行性质来转换角度，进而解决本道题目。解题方法步骤如下：
解：连接AC交BD于点O，连接AG、EO.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD互相垂直且平分
∴∠AOG=90°
又∵EG是AP的垂直平分线
∴∠AEG=90°
∴∠AEG+∠AOG=180°
∴四边形AEGO四点共圆
又∵EG⌒=EG⌒∴∠EAG=∠EOG且由上面可知，点E是AP中点，点O是AC中点
∴EO是△APC的中位线∴EO∥PC∴∠EOG =∠OBC ∴∠EAG=∠OBC
又∵EG是AP的垂直平分线 ∴AG=PG∴∠PAG=∠APG ∴∠APG =∠OBC
且菱形形状大小不变，∴∠OBC大小不变，则∠APG大小也不变。
联想构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“联想构造”并不是“胡思乱想随便编造”出来的，而是以我们所学习掌握的知识为背景，以具备的扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及他们的联系，进而为寻求解题方法创造条件。在运用联想构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维。所以在中学数学教学中，应注重对学生运用联想构造法解题的日常训练，使学生体会数学知识见的内在联系和相互的转化归结，能创造性的构造数学模型，巧妙地解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，体验成功的感觉，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的数学素养和能力。
因此，在解题时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想，就会得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解。运用构造法解题能培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力，也可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣。
论文作者:唐朝煊
论文发表刊物:《教学与研究》2019年9期
论文发表时间:2019/9/5
标签：垂直平分线论文; 菱形论文; 对角线论文; 外接圆论文; 大小论文; 圆心论文; 数学论文; 《教学与研究》2019年9期论文;