2013年高考（理科）导数试题分析及教学建议，本文主要内容关键词为：导数论文,理科论文,试题论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、2013年高考（理科）导数试题的总体统计
本文以2013年全国理科高考试卷（18份）为研究对象，对每份试卷的导数试题进行梳理，并逐题统计、归类分析，包括：所在试卷题号与题型、分值、设问特点、考查涉及导数的知识点、与其他知识交会点、做题时所涉及的数学思想方法，共6部分进行统计.
发现18份试卷中8份试卷有一道客观题，分值都是5分，难度不大，属基础题；都有一道关于导数的解答题，均在12分以上，并且该解答题往往置于试卷较后的位置，以显把关、压轴之意，难度较大，体现区分度，设问采取多问递进，以求或证明确定的结论为主，考查的知识点多体现在求单调性（或单调区间）、极值和最值或其应用，都采用了分类讨论思想，和其他知识点交会命题主要集中在函数的零点与不等式.
统计显示，2013年高考（理科）导数试题考查的知识有：导数的概念及其几何意义、积分的运算与应用、函数的单调性、函数的极值与最值、导数的实际应用（包括利用导数证明不等式、求参数的值或取值范围）.有9份试卷考查了导数的几何意义，求过曲线上某点的切线方程或已知过曲线上某点的切线方程求参数的值，计算量不大，难度较低，突出对导数的概念及其几何意义的考查；有4份试卷（江西、湖南、湖北、北京）考查利用定积分求距离或平面图形的面积，并且均以小题（选择题或填空题）出现，属于基础题，体现了积分的实际应用价值.涉及知识点较多的是函数的单调性，每题都直接或间接地（求极值或最值时利用到单调性）涉及函数的单调性，求单调性或确定单调区间时利用常见函数的导数和可导函数的四则运算的求导法则，一般用分类讨论思想方法确定在某一区间内导数f'（x）的符号.函数的极值与最值离不开单调性的研究，条件中往往含有参数，并常结合恒成立、不等式证明等问题，起点低，落点高，具有很强的灵活性和综合性，需要有较强的计算能力和思维能力.利用导数证明不等式或求参数的范围，一般先分离出参数，然后转化为求在给定区间上的最值问题.
特别需要指出，在确定函数的单调区间、求函数的极值或最值时，都应首先考虑所给函数的定义域.有趣的是，在2013年高考（理科）导数试题中，除安徽卷外其他17份试卷的导数试题（主观题或客观题）的已知条件中都含有lnx或
的表达式，若条件中含有lnx，且题目没有特别说明，则x∈（0，+∞）.
二、2013年高考（理科）导数试题涉及的数学思想方法
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将原来数学教育中的“双基”提升为“四基”，即基础数学知识、基本数学技能、基本数学思想方法、基本数学活动经验，突出了数学思想方法的基础性和重要性.由统计容易得知2013年高考（理科）导数试题的考查，就数学思想方法涉及化归、分类讨论、数形结合.
1.考查化归思想
应用化归思想解决问题的一般模式可归结为：将待解决的问题，先通过某种转化方式转化为一个易求或已解决的问题☆，再对问题☆作出解答☆，从而完成对原问题的解答，如下页图1所示[1].
化归一般遵循三个原则，即熟悉性原则（将生疏问题化为熟悉问题）、简单性原则（将复杂问题化为简单问题）、直观性原则（将抽象问题化为具体问题）[2].研究某一曲线与另一曲线的位置关系（上方或下方）时，可转化为函数的最值问题，如北京卷第18题第（2）问：证明除切点（0，1）之外，曲线C：y=
在直线L：y=x-1下方.可构造函数h（x）=x-1-，求函数h（x）在（0，+∞）上的最小值，然后判断最小值大于0即可.而函数h（x）在（0，+∞）上的最小值h（1）=0，所以函数h（x）＞h（1）=0（
x＞0，x≠1）.从而得证.该转化是将生疏问题（几何问题）转化为熟悉问题（代数问题）.即如图2所示.
2.考查分类讨论思想
一般地，函数单调性与其导数的符号有如下关系：在某一区间（a，b）上，如果f'（x）＞0，那么函数y=f（x）在这一区间上是单调递增函数；如果f'（x）＜0，那么函数在这一区间上是单调递减函数，f'（x）的符号不同，相应的区间也不同.在判断单调性时，区间的确定需要分类讨论，题目含有参数，这就需要分类研究在不同区间上导数的符号，再者，极值和最值也随着参数的变化而变化，也需要分类讨论.分析2013年高考（理科）导数试题，分类讨论主要有以下几种类型：
（1）概念型分类讨论，题干中所涉及的数学概念需要分类讨论.如山东卷第21题第（2）问中，构造函数g（x）=|lnx|-f（x），应分lnx≥0，lnx＜0，即分x≥1，x＜1讨论.
（3）含参型分类讨论，为数不少的导数试题中含有参数，须根据参数的不同取值范围进行讨论，分类讨论要合理正确，做到“不重不漏”.
3.考查数形结合思想
2013年高考（理科）导数试题中有4份试卷涉及积分，利用积分求平面图形的面积时先画出相关函数的图象，确定积分的上、下限，然后计算，体现了数与形的统一.一些解答题考查方程根的个数或函数零点的存在性或求参数的范围时，也用到数形结合思想.在运用数形结合思想分析和解决导数问题时，要注意：第一，明白关于导数概念的几何意义以及基本初等函数或曲线的特征，对导数题目中的条件和结论既分析其代数表示又分析其几何意义，建立关系；第二，在导数试题中一般由数想形，以形思数，找到数形转化的结合点；第三，观察发现何时取得极值或最值，从而得到方程根的个数或证明不等式或确定参数的取值范围.
三、2013年高考（理科）导数试题涉及的数学思维能力
《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和作出判断.”[3]对比2013年高考（理科）导数试题对数学思维能力的
考查，主要体现以下特点：
1.符号表示能力
2.运算求解能力
2013年高考（理科）试卷中有15份涉及求函数的极值或最值，通过求导、变形，求出极值，和区间的端点值比较，从而求得最值.有部分试题结合不等式的证明来考查学生的综合能力，往往是压轴题考查的内容，需加强学生运算求解、演绎证明的训练，提高综合解决问题的能力.在教学中，教师不要直接给出答案，要在课堂教学中板演，体现教师的思路历程，给学生起模仿、示范作用，运算技能、运算方法的讲解和分析必不可少，让学生感知到每一步的算理；在平时应重视运算能力的培养，尽量不用计算器，逐步培养学生的数感，提高学生的运算能力.针对学生的运算错误应及时了解学生的思维过程，正确诊断错误的原因：是由于思维定势的负迁移还是对概念理解不清所致；是由于注意力转移还是非智力因素在“作怪”等，然后制定纠正学生运算错误的有效方法，进而促进学生自我反省，以防同类错误再次发生.
四、教学建议
2013年高考（理科）导数试题以知识为载体，数学思想方法为依托，能力为立意，在知识点的交会处设计试题，试题具有较高的区分度，考查学生在灵活运用知识和方法的过程中表现出的学习潜能和思维能力，也体现出了导数的工具性，符合新课程标准的要求.鉴于此，提出如下建议：
（1）通过实例引导学生了解概念.教学中应通过大量实例的分析，由平均变化率过渡到瞬时变化率，让学生了解导数概念的实际背景，体会导数的思想内涵；结合实例，了解函数单调性与导数的关系；通过实例，使学生从具体情境中了解定积分的实际意义，体会定积分的基本思想.
（2）掌握问题的通性、通法.在导数的应用中，一般将方程根的个数转化为函数零点的个数问题；证明不等式或不等式在某条件下恒成立，往往可转化为求函数的最值等.高考中涉及的导数题目与其他知识联系得较为紧密，在教学中应有意识地设置一些综合题，做针对性练习，掌握其普遍意义和规律性的解题模式以及常用的数学思想方法.
（3）渗透数学文化.“数学的文化欣赏，是数学思想方法的重要组成部分.它能揭示数学思想的本源，数学生长的社会背景，提高数学文化索养.数学欣赏，也是一种反思，整理学过的知识，使之立体化、具体化、历史化”[4].教师给学生介绍一些有关微积分创立的时代背景和人物，进行交流学习，让学生体会到微积分的建立和应用在社会发展中的价值，从另一侧面也能让学生更深刻地体验到导数和积分的学习并不只是为应付高考，而且也能体会到其在解决实际问题中的作用和历史意义，以及微积分的文化价值.