为数学的规定寻找“辩护”的几个路径，本文主要内容关键词为：几个论文,路径论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
数学中有许多“规定”，可为什么这样“规定”，教科书上常常由于多种原因而保持沉默，但面对学生的追问，教师常陷入两难境地：数学上的许多规定都有深刻的背景和理由，由于认知的关系，有时候不可能给学生讲清楚，回答这是规定又伤害了学生学习数学的兴趣.因此在实际教学中，教师对“规定”的讲解，大多采取快速通过，唯恐引起学生的注意.随着新课程的深入，学生越来越不满足这种现状，笔者的调查[1]表明，数学外表的“冷漠”与“不讲道理”是导致学生对数学不感兴趣的主要原因之一.教师作为“传道、授业、解惑”的使者，面对学生的执著发问，我们是否一直固守陈规呢？有没有基本的路径可循呢？这引起了我们的深思与探索.
二、观点陈述
李邦河院士认为“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”[2]，而玩概念就是要讲背景，讲理由，讲过程，讲思想，讲学生的关切.教材作为课程的载体，受“简约性”与“统一性”的制约，其缺失既是内在的，又是预留给读者的，而教师的职责之一就是根据学生的实际情况对教材进行有针对性的弥补与开发，在数学家与教育家之间寻找中间地带，在教材不便说或没有说清楚的地方寻找“辩护”，而“规定”大都有深刻的背景和理由，是亟待我们开发的矿藏.我们寻找“辩护”的目的是为了更好地展示数学知识形成与发展的过程，理解数学是自然的，明确“规定”应遵循的客观要求，了解“规定”在数学内部需要与和谐发展中形成的思想背景与承担的功能，为学生的再创造提供绿色通道.因此为“规定”寻找“辩护”是教师研究教材的重要环节，是数学概念教学中不可或缺的有机组成部分，是师生共同开发教材与经历成长的动态过程，是师生共同理解、感受、体验、欣赏数学的重要途径，同时教师应遵循量力而行与选择性原则，寻找有利于学生终身发展的多元化“辩护”路径.
三、路径展示
1.类比旧规定构建新规定，实现自动“辩护”
现行教材采用螺旋式上升方式编写，为学生对后继数学概念与规定实现自我构建提供了可能与必要，教师引导学生在大的数学知识系统中，回顾反思原有的规定，理性地领悟规定的内涵与规律，寻找新知的生长点，实现新规定的自然生成.这样不仅培养了学生的大数学观，而且提高了学生研究数学与创新的能力，为学生今后的发展奠定了基础，达到“教”是为了“不教”的目的.
案例1 《必修4》第一章“任意角的三角函数”（指苏教版高中数学教材，下同）的片断：
问题1 初中时期曾经学习过的三角函数，还能勾起你的回忆吗？
生：（1）锐角三角函数的大小与边的长度无关，即与点P的位置无关；（2）锐角三角函数是直角三角形中线段长度的比值.
问题2 为什么取名三角函数呢？
生：三角函数值大小与角有关，与边的长度无关，即角一定，则三角函数值一定，符合函数的定义.
问题3 如下页图1，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为15m，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，现在小明坐上了摩天轮，从点A开始逆时针方向转动.问（1）转动30秒后，小明离地面的高度是多少？
（2）设转动α角后小明离地面的高度为h，其中0°＜α＜90°，试写出h和α的关系式.
（3）当转动390秒后，小明离地面的高度h是多少？
生：（1）20m；（2）h=15+10sinα；（3）h=15+10sin390°.
师：sin 390°表示什么意义？如何定义非锐角的三角函数？
问题4 图形中的转动角推广为任意角，你认为还能继续在直角三角形中定义三角函数吗？
问题5 锐角与任意角是什么关系？任意角是在直角坐标系中定义的，那么锐角能在直角坐标系中定义吗？锐角三角函数能放到直角坐标系中研究吗？
问题6 对于任意角，你能否与时俱进，给出任意角的三角函数定义呢？
（1）如图2，在Rt△OMP中，∠M=90°，∠O为锐角.
定义的载体：直角三角形；定义的本质：线段长度的比值，若角确定，则比值惟一确定.
定义的载体：直角坐标系中；定义的本质：坐标的比值，若角确定，则比值惟一确定.
许多规定是客观世界在数学上的一种简约反映，具有普遍性与相似性，因此通过设置问题情境并在教师不断的质疑声中，学生完全可以通过同伴合作，借助类比来进行创造性的构建，这样的构建过程是学生借助自己的思路、意图和经验来对教材进行重新加工，并纳入自己的知识框架之中，因此对规定进行“辩护”的过程就是促进学生成长的过程.
2.创设虚拟艺术场景，在“玩”数学中寻找“辩护”
数学上的许多规定有其漫长的历史发展演变过程，如复数中“虚数的概念及其规定”一直是中学数学教学的难点之一：一方面人们（包括许多顶尖数学家）当时接受它就经历了曲折的过程，另一方面虚数产生的真正原因是来源于“不可约三次方程”的复数形式的实数解，而这由于知识与时间的局限无法向学生讲述，教师的“戏说”提供了让学生用艺术的眼光观察、认识、欣赏数学的氛围与机会.笔者从张艺谋的《印象刘三姐》（桂林旅游的经典节目）中得到启发，借助艺术化的虚拟场景，发挥学生的艺术想象.充分揭示数学产生规定的发展过程，展现数学的文化内涵和独特魅力，让学生意识到数学与生活是相通的：数学是客观世界的艺术表现形式之一.
案例2 《选修2-2》第三章“数系的扩充”的教学（汶川地震后笔者的全市公开课）片断：
师：你捐了没有？（汶川地震后，广大师生踊跃捐款！）
生：捐了！我们都捐了！
师：我也捐了！汶川大地震给国家带来了巨大的损失，我们应认真学习科学知识，去寻找更适合人类居住的星球.假定我们在太空开辟了一座庄园，应如何管理？
生：制定有利于和谐相处与科学管理的“庄规”.
生：民主选举庄园管理委员会，决定庄园的各项重要事务.
生：根据各人的特点科学分工，每人干自己擅长的事，每人干自己喜欢的事.
生：新移民要遵守我们的“庄规”，与老居民和谐相处.
生：为了保护环境，对移民要严格限制，只能引进庄园的紧缺人才.
师：说得有道理，想得很周到！现在数学上有一座庄园——“数的庄园”，我们来研究它的“移民”问题：
①“N——庄园”
成员：自然数；工种：加法、减法；困难：减法工作有时不能顺利进行；
“人才”引进：负数；方法：用新的符号“-a”表示新数.
②“Z——庄园”
成员：整数；工种：加法、减法、乘法、除法；困难：除法有时不能顺利进行；
学习数学的过程不仅是接受知识的过程，而且是人类文化传承的过程.通过教师对各类教育资源的整合和开发，让“规定”出得自然、精彩，在玩数学中学习数学、研究数学、领悟数学，走进数学家的思维，这才是为数学规定进行“辩护”的目的之一.
3.开展研究性学习，引导学生设计“规定”与“辩护”
我们选择一些数学规定，在其引入过程中，在教师的引导下，让学生自己设计规定并寻找“辩护”，实现学生理性精神与创新能力的真正发展.
案例3 《选修2-2》第三章“复数的四则运算法则”的教学片断：
问题如何规定复数的加法法则？即（a+bi）+（c+di）=？其中a，b，c，d∈R.
师：如果规定（a+bi）+（c+di）=（2a+c）+（b+d）i，合理吗？
生：实数也是复数，用上述规定得（a+0i）+（c+0i）=（2a+c），与实数的加法法则不符！
师：对！因此（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（x+y）i，其中x，y为待定实数.那么能否规定（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（2b+d）i？
生：如果取a=c=d=0，b=1，就有i=2i，与复数相等的充要条件矛盾！
师：如果规定（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（mb+nd）i（m，n∈R），那么m，n和b，d的关系是什么？
生：取a=c=d=0，b=1，根据复数相等的充要条件得到m=1，同理n=1.
师：除了规定（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i以外，你们还可以怎么规定呢？
生：规定（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d+bd）i.
生：不行！如取a=c=0，d=b=1，就有i+i=3i，两边同乘以i得（i+i）·i=3i·i再用复数乘法的分配律有-1-1=-3，矛盾！
师：真伟大！你已提前运用将要规定的复数乘法满足分配律.现在已经知道（a+bi）+（c+di）=（a+c）+mi，（m∈R），假定复数乘法满足分配律，那么m=？
生：取a=c=0，得bi+di=mi，两边同乘以i得（bi+di）i=mi·i，再用复数乘法的分配律有-b-d=-m，即b+d=m.
师：你们的结论是要使复数的乘法满足分配律，复数的加法法则必须规定为（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i，a，b，c，d∈R.
学生根据实数与复数的相容性，研究了如何规定复数加法法则，甚至提出了与课本不同的一个规定：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d+bd）i（a，b，c，d∈R），而要说明它的不合理性，甚至用到还未定义的乘法运算及运算律，学生的收获已超越了辩护本身.
4.利用教材螺旋上升的编写特点，选择时机进行“后置辩护”
有些“规定”在给出时，不作任何“辩护”，但随着学生数学认识水平的提高，我们完全可以对它进行后置“辩护”，这样既满足了学生的好奇心，又通过合理整合开发教材，打通知识之间的联系通道，培养学生用整体的观点来认识和分析课本知识结构的能力，实现对数学概念认识质的飞跃.
案例4 选修2-1第二章“双曲线的几何性质”的教学片断：
问题1 初中也学过双曲线，它是如何定义的？它有渐近线吗？
众生（恍然大悟）：原来现在双曲线的规定与初中的双曲线是一回事！
“后置辩护”如同生活中有些事情要等小孩子长大后才能而且必须告诉他一样，一方面激发学生的学习兴趣：老师没有把我当“外人”——“家”里什么秘密都告诉我，满足学生主动顺应知识重组的心理需求；另一方面在保证学生集中力量学习主要内容的同时提高学生理解运用概念的深度与广度，使“辩护”成为促进学生健康成长的“激素”.
5.渗透数学公理化思想，利用“规定”的规则进行“辩护”
随着学生理性精神的逐步增强，应让他们认识到数学中的许多规定就像生活中的交通规则一样，是为了研究数学的方便与完善概念结构而设置的，它保证了数学中的秩序，有利于数学的研究、传播、使用，因此有些规定只需说明“规定”满足下列规则：合理性、操作性、简洁性，这种说明是教学中为“规定”进行“辩护”的常态.
为“规定”寻找“辩护”是师生对教材进行共同开发的一个重要组成部分，是教师因材施教与人文关怀的体现，是教师面向未来主动迎接挑战促进自身发展的推进剂.同时“辩护”又必须是恰当的、适度的，要服从于概念教学的全局，遵循学生的认知规律，根据学生的实际情况有选择、有步骤地进行，避免喧宾夺主，有些暂时无法或不必“辩护”的规定完全可以直接告知学生：先作为平台接受下来，再慢慢理解.当然我们对它的研究才刚刚起步，我认为这是一个亟待开发的领域，期待大家的共同参与.