关于数学思想方法在教材中的挖掘与应用的思考_数学思想论文

关于教科书中数学思想方法挖掘与使用的思考，本文主要内容关键词为：书中论文,教科论文,思想论文,数学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      新课程改革以来，利用数学思想方法教学已成为专家、学者、一线教师共同关注的热点问题.有学者认为：评价一堂数学课的质量，首先要关注教学过程是否揭示了数学的本质，让学生理解数学内容的精神.这里所说的本质与精神，就是数学思想方法.一堂数学课，能够使学生体会到其中的数学思想和方法，属于高品位的数学教学[1].教师只有深刻领悟教科书中的数学思想方法，才能从整体上、本质上理解教材；只有深入挖掘出教材中的数学思想方法，才能科学地、灵活地设计教学过程[2].

      既然数学思想方法如此重要，一线教师在实际教学中是否使用了数学思想方法？是如何利用又是如何挖掘出这些数学思想方法的？本文中，笔者选取人教版普通高中课程标准实验教科书必修5“二元一次不等式（组）与平面区域”为例，试图回答以上问题.之所以选择二元一次不等式（组）与平面区域为例（为叙述方便，简记为不等式（组），下同），是因为不等式（组）一节中蕴含着丰富的数学思想方法.同时，笔者在期刊网上以全文“不等式（组）”检索，共有6534条结果，可见，不等式（组）一直以来都是教学与研究的热点问题之一.

      根据研究需要，筛选得到和“不等式（组）”关联性较强的76篇有用论文（主要是不等式（组）的教学设计和应用）.主要考察论文涉及的数学思想方法、使用情况以及用平面区域表示二元一次不等式组的方法，并用Excel 2003进行分类统计分析.

      二、一线教师用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的方法统计分析

      一线教师在教学中是如何用平面区域表示二元一次不等式（组）解集的？是否考虑方位和使用了几何画板？通过对76篇论文进行阅读分析，统计结果如下表1：

      

      （1）由表1可以看出，在判断二元一次不等式Ax+By+C＞0（＜0）对应的平面区域时，一线教师在教学实践中使用最多的方法是特殊点法（直线定界、特殊点定域），其次是系数定域法（考虑二元一次不等式Ax+By+C＞0（＜0）的系数A或B的符号），用的最少的则是斜截式判别法（利用y＞kx+b）.

      由于特殊点法是教科书中采用的方法，故76名一线教师中，有40人使用了特殊点法，占了53%.虽然认可这种方法，但在实际操作中一线教师又认为特殊点法太麻烦，学生不易理解，而用系数定域法则易记易用，故有27人运用A的符号、29人运用B的符号来判断，分别约占36%和38%，主要结论是：上下靠B，左右靠A，上同下异，右同左异（异同是指A或B的符号与不等式的符号的异同）.斜截式方法应该是十分有用的方法，但在实际教学中却受到一线教师的冷落，只有13人运用该方法，约占17%，究其原因：一方面，一线教师没有注意到这种方法或虽意识到但从应试的角度这种方法还要把一般式不等式化为斜截式不等式太麻烦；另一方面，由于高中数学5个必修模块的选择顺序问题导致很多一线教师避开了这种方法.

      （2）对于Ax+By+C=0的“左上方、右下方、右上方、左下方”这些方位，只有13个约17%的教师在教学中进行了讨论，说明一线教师能够抓住数学的本质进行教学，不在方位上浪费太多时间，把重点放在如何探究二元一次不等式所对应的平面区域上.但同时发现在教学中使用几何画板教学的则相对较少，只有4名教师在论文中提到了几何画板的使用，仅占5%，一线教师在几何画板使用这方面需要加强.

      三、一线教师不等式（组）教学采用的数学思想方法统计分析

      一线教师在教学中主要用到的数学思想方法有特殊→一般→特殊、化归、类比、数形结合、分类讨论、数学模型、集合与一一对应，为研究方便，分别用A、B、C、D、E、F、G七个大写英文字母进行编码.统计结果见表2.

      

      从表2中可以看出，在76名一线教师中，有37人使用了数形结合的思想方法（约占49%）；有15人使用了特殊→一般→特殊的数学思想方法（其中13人使用了由特殊到一般的方法，约占17%，有2人使用了一般到特殊的方法，约占3%）；有10人使用了化归思想（约占13%）；8人使用了数学模型思想（约占11%）；13人使用了集合与一一对应思想（其中前者有5人使用，约占7%；后者有8人使用，约占11%）；分别有6人使用类比思想、分类讨论思想（分别约占8%）.

      因此，数形结合思想是一线教师用得最多的数学思想方法，其次使用较多的是特殊→一般→特殊的数学思想方法，这说明大部分教师在教学中能够选取特殊的二元一次不等式探究把得出的结论再推广到一般的不等式上来，重视学生观察、归纳、猜想能力的培养，是难能可贵的.

      让人费解的是：化归思想是中学数学最常用的一种数学思想方法[1]，数学模型思想也是一种十分重要的思想方法，本节课实际上是建立不等关系模型来研究实际问题，一线教师为什么较少采用呢？类比思想、分类讨论思想也是中学数学常用的数学思想方法，并且从一线教师表示二元一次不等式（组）的解集时对Ax+By+C＞0（＜0）的系数A或B的符号的讨论来看，应该有更多的教师使用分类讨论的方法，可只有6名教师在论文里提及分类讨论这一方法，原因何在？值得深思.

      一线教师对数学思想方法的使用意识逐步增强，并能在教学中尝试使用数学思想方法，这是值得肯定的.一般地，对某种数学思想方法熟悉并理解的教师才能灵活使用该方法进行教学.由76名一线教师在论文里提及的数学思想方法使用情况来看，许多重要的常用的数学思想方法使用结果偏低，这也就导致了一线教师依循于教科书而不敢大胆创新采取灵活的方式方法来表示二元一次不等式Ax+By+C＞0（＜0）对应的平面区域，说明他们对挖掘和灵活使用数学思想方法还存在着诸多困惑.研究者对广东省怀集县农村数学教师的访谈也发现，农村教师普遍不能灵活使用数学思想方法：要么一线教师没有好好地去思考每节课到底用了什么数学思想方法，或者用了但却不知道具体是什么数学思想方法，有些教师根本就是从别人的教案或教参中生搬硬套了数学思想方法，不知道数学思想方法就存在于教科书中.究其原因，还是教师对教科书的重视不够，没有下工夫认真研究教科书.

      四、不等式（组）一节教科书中数学思想方法的挖掘和使用

      《普通高中数学课程标准（实验）》在必修模块5不等式内容和要求中指出：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.并提出教学要求：建立不等关系模型，体会不等式、方程及函数之间的联系[3].这其中就包含数学模型、化归等数学思想的使用建议.因此，教师要挖掘教科书中的数学思想方法并灵活使用这些数学思想方法.

      （一）挖掘教科书不等式（组）中的数学思想方法

      由于不等式（组）的核心提示语比较分散，其关键词语不易挖掘教科书中的数学思想方法，教师只有仔细阅读教科书各模块，细细推敲教科书中的每一句话、每一个字，才能挖掘出隐藏在知识背后的数学思想方法.

      1.划分教学模块，确定教学流程

      不等式（组）一节可以分为表3中6个教学模块，据此基本上可以初步确定本节课的教学流程：引入—探究—猜想—验证—应用—小结，这是教科书给教师的一个基本的教学框架.

      

      2.挖掘教科书中的数学思想方法

      根据教科书中各教学模块的划分以及某些关键语句的分析，可以发现不等式（组）一节蕴含着丰富的数学思想方法，主要有：①数学模型；②数形结合；③集合与一一对应思想；④类比；⑤特殊→一般→特殊；⑥化归；⑦分类讨论（见表4）.

      

      

      3.对挖掘出来的数学思想方法的再认识

      （1）类比思想.类比思想是学习新知识的一种非常重要的方法，应该从内容、思想、（判断）方法上考虑.教师应弄明白类比思想在教科书里用到了几处？仔细阅读教科书，可以发现类比思想主要体现在：

      ①不等关系和相等关系的类比：建立的不等关系模型二元一次不等式（组）和二元一次方程（组）的解（解集）之间的类比.二元一次方程对应一条直线，其解集是直线上的点，二元一次方程组的解是两条直线的交点，是有序数对.由二元一次方程和直线的联系类比想到二元一次不等式（组）的解集应该也和直线有关.

      ②二元一次不等式（组）的解集和一元一次不等式（组）的解集之间的类比.既然一元一次不等式与一元一次方程有关，一元二次不等式与一元二次方程、二次函数有关，同样，二元一次不等式应该也与二元一次方程、一次函数有关.一元一次（二次）不等式（组）的解集是数轴上的一个区间，有端点和内部区间，端点定界，特殊点定区间，故二元一次不等式（组）的解集要考虑直线定界、特殊点定域的方法，这是教科书所采取的方法，也是绝大多数一线教师采取特殊点法的原因所在.

      ③点把直线分为三部分类比到直线把平面分为三部分.一分为三的思想存在于学生的生活和学习经验中，例如生活中的一分为三：上中下、左中右；代数上的一分为三：实数分为正数、零、负数；几何上的一分为三：三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；点、直线、圆和圆的位置关系……教师应站在哲学的高度向学生渗透看问题要全面的思想，可惜，这个层次的类比很少有教师挖掘出来，错失了一次德育教育的最佳时机.一分为三的思想还可以类比到一条封闭曲线把整个平面分为三部分，这是圆、圆锥曲线的重要性质，也是约当定理的一个特殊情况.

      （2）特殊到一般的思想.数学概念的发现和数学定理的形成都会用到特殊到一般的思想.该思想在教科书中体现在两处：一是由具体二元一次不等式x-y＜6到一般二元一次不等式Ax+By+C＞0（＜0）；二是由特殊的点推得一般性结论的成立，先猜想再验证.

      二元一次不等式（组）的解集和直线有关，直线又和一次函数有关，这就把不等式、方程、函数紧密地联系在一起，符合新课标的要求.初中学过的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），恰好就是直线的斜截式方程，这也正是学生的最近发展区.虽然有教师强调出于对高中数学5个必修模块的选择顺序不同，直线方程没有在这一节之前学习，但并不影响应用直线的斜截式方程.而直线的斜截式y=kx+b也不存在一般式Ax+By+C＞0（＜0）需要考虑A、B的符号，斜截式的情况搞清楚了，一般式转化成斜截式就可以了.

      （3）分类讨论的数学思想.教科书中直线l把平面一分为三并考虑其左上方和右下方，看作分类讨论的使用，但实际上，分类讨论思想的使用还体现在：对一般式中B的符号讨论；斜截式直线的斜率存在与否的讨论；斜率存在情况下又分斜率大于0、等于0、小于0三种情形的讨论.因此，教师要灵活使用分类讨论的数学思想.

      （4）集合与一一对应的思想.一一对应的思想在教科书中体现在两处：一是二元一次不等式（组）的解集的概念；二是二元一次不等式的解集和对应直线某一侧的平面区域一一对应.这两点务必讲清楚，这是二元一次不等式解集的本质所在，是其解集求解的基础.

      要想全面地阐述二元一次不等式的解集和对应直线某一侧的平面区域存在着一一对应的关系，教师既要考虑“在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y＜6的解为坐标的点都在直线l的左上方”，还要考虑“直线l左上方点的坐标都满足不等式x-y＜6”，才有“在平面直角坐标系中，不等式x-y＜6表示直线x-y=6左上方的平面区域”.因此，授课时，教师不能仅仅满足于前者，还应向学生渗透后者.大部分教师只考虑二元一次不等式的解集和对应直线某一侧的平面区域的关系的一个方面，是对一一对应关系的错误解读，同时说明教师缺乏整体与局部的观念.

      一线教师很少有人考虑如何用二元一次不等式（组）表示一个平面区域.实际上教科书上本节课的标题“二元一次不等式（组）与平面区域”本身含有丰富的内涵，包含着两个方面：一方面是用平面区域表示二元一次不等式（组）的解集；另一方面，用二元一次不等式（组）表示平面区域，前者是以形刻数，后者是以数刻形，这是数形结合思想的良好体现，也应从整体考虑.

      （二）教学中应灵活使用教科书中的数学思想方法

      根据阅读教科书挖掘出的数学思想方法，教师在教学中要灵活使用有重点地突出某几种数学思想方法.综合以上分析，笔者倾向于用斜截式法，故在教学中可以灵活使用数形结合、特殊到一般、化归、分类讨论、类比等数学思想方法.

      （1）数形结合的思想贯穿整个教学过程，教师引导学生通过对图形的观察自主得出结论，养成求解关于二元一次不等式（组）与平面区域问题时一定要正确画出图形的习惯.

      （2）特殊到一般的思想用活用对.①对具体的斜截式不等式的讨论推广到一般的斜截式不等式y＞kx+b（或y＜kx+b）上来；②通过斜截式不等式解集的探讨得出的结论推广到一般式不等式上来，后者只需转化为前者，这是化归思想的具体使用.

      （3）分类讨论思想的使用：针对直线y=kx+b考虑k=0、k＞0、k＜0和k不存在四种情况；化一般式为斜截式时，考虑Ax+By+C＞0（＜0）中B的符号即可.

      （4）正确使用集合与一一对应思想：在教学中教师不仅要讲用平面区域表示二元一次不等式（组）的解集，还要补充用二元一次不等式（组）表示平面区域的习题；在讲“在平面直角坐标系中，不等式x-y＜6表示直线x-y=6左上方的平面区域”时，要从两个方面引导学生思考使其明白一一对应的真正含义.

      （5）主要数学思想方法在教学的具体环节应有具体体现，特别是在课堂小结环节由师生共同总结教学过程中用到的数学思想方法.

      教科书中数学思想方法的挖掘和灵活使用构成一个有机整体，没有对教科书的仔细阅读就不可能挖掘也不可能在教学中灵活使用数学思想方法，也就不可能理解教科书编写者的意图，教师也不可能做到“用教科书教”.可见，加强教科书的阅读培养教师的教科书素养有利于促进其学科教学知识的发展，也是今后在职教师培训和职前教师培养努力的方向.

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