基于修正的CVaR动态优化模型的商业银行贷款组合优化研究，本文主要内容关键词为：组合论文,银行贷款论文,模型论文,动态论文,商业论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
在度量贷款组合的信用风险时，有两个问题需要解决：一是如何描述多个贷款企业信用的相关性；二是如何刻画各类贷款企业的信用质量及其信用风险转移与企业所处的经济环境间的关系。Copula函数和信用风险转移矩阵的利用为这两个问题的解决提供了新的思路。
信用风险变化是一个动态过程，因此信用风险转移在信用风险管理研究中尤为必要。国外对信用风险转移研究已相当成熟：Moody(1999)[1]公司从1991年开始就针对信用风险转移做了深入研究，并开发了基于信用风险转移矩阵的风险管理系统，J.P.Morgan(1997)[2]周期性地考察了客户信用评级以及客户贷款信用质量转移情况，并计算出了各个信用等级客户在1年内从初始信用等级转化为另一个信用等级的转移概率矩阵，该信用等级转移矩阵现在已经被国际众多机构应用。由于中国商业银行引入信用评级时间不长，相关数据比较缺乏，因此信用转移矩阵的研究还处于初级阶段，将信用转移矩阵运用于商业银行贷款组合的文献更不多见。现有文献中张程等(2006)[3]分析了转移矩阵在银行信贷中的影响，并对银行风险管理提出了一些建议，该文献虽然考虑了多期信用矩阵转移的情形，但忽略了各类贷款企业之间的相关性的影响；迟国泰等(2006)[4]利用企业收益率的峰度与偏度对企业信用等级转移的阈值进行修正，建立了基于信用等级修正的银行资产组合优化模型，并得出修正后的信用等级阈值，提高了银行贷款组合风险计量的精度，但遗憾的是他们也忽略了各类贷款企业之间的相关结构。此外，国内学者颜剩勇和王小玉(2008)[5]、田永革和蒋元涛(2010)[6]以及刘晨(2011)[7]从不同角度商业银行信贷组合以及信贷风险。
综观现有研究，以往模型大多采用方差或VaR度量贷款组合的风险，但方差和VaR作为风险度量各有缺陷：(1)方差把超过均值或者低于均值的部分都视为风险，从而夸大了风险。(2)VaR不是一致性风险度量，这意味着VaR度量的贷款组合风险不一定小于各类贷款风险的总和，这不符合现实经济意义；(3)VaR只注重分位点处的损失，从而有可能低估贷款组合的损失。CVaR是一种一致性的风险度量，并且具有良好的数学特征，将其作为风险度量标准应用于贷款组合风险计量中，可以弥补方差和VaR的不足。鉴于此，本文以CVaR最小化为目标，利用Copula函数来描述各类贷款企业之间的相关性，并把各类企业信用风险转移引入到贷款组合损失率的计算中，通过引入收益率约束及现行银行的法律、法规约束，建立贷款组合动态均值-CVaR模型，最后利用Monte-Carlo技术生成贷款企业的分布来得到各期的最优贷款策略。
二、Copula函数和信用转移矩阵
正态Copula函数可以在市场比较稳定的情况下，较好地拟合实际情况，但存在以下不足：(1)正态Copula函数的密度函数是对称的，无法刻画变量间的非对称相关关系；(2)多元正态Copula函数分布的尾部，各变量间是相互渐进独立的，当市场上发生极端事件时，各变量间的相关性会增强，此时，再利用正态Copula函数来计算贷款组合的CVaR时，就会低估风险；(3)银行贷款的收益率通常具有尖峰厚尾的特征，正态Copula函数不能很好的刻画组合的尾部相关关系。考虑到t-Copula函数可以弥补正态Copula函数的不足，并很好地描述贷款收益率的厚尾特征，所以本文采用t-Copula函数刻画贷款企业的相关结构。
信用等级转移矩阵是指各类贷款企业在未来的时期里，由当前的信用等级转移到其他各信用等级的概率分布。信用等级转移矩阵反映了贷款企业信用质量发生变化的可能性，对其有效预测已经成为信用风险管理的一个关键性问题。现有文献一般假定信用等级转移过程服从一个平稳的马尔科夫过程，即贷款企业下一个时期的信用评级仅仅与其前一时期的信用评级状态有关，与过去前几个时期的信用评级状态无关。
设x(t)表示t时刻贷款企业的信用评级，企业信用评级的一歩转移概率为，
即
，以此类推可得企业信用评级的k步转移概率矩阵为
。信用等级转移矩阵评估了各类贷款企业的信用质量变化路径，可以向银行风险管理人员提供信用等级未来预期路径和风险管理的量化资料。通过考虑各类贷款企业的信用转移，不仅能够更加客观的反映银行各类贷款存在的风险，解决现有研究中仅仅考虑各类贷款企业的收益率与方差的大小而忽略企业信用等级转移的问题，并且可帮助银行实现对各类贷款企业整体信用风险迁移的有效监控。
三、贷款组合的动态均值-CVaR模型
(一)企业贷款的收益率
对于企业贷款而言，银行关注更多的是贷款损失，所以第i类企业第t期贷款调整的损失率为：
其中，a为银行规定的一个数值，则由公式(2)～(5)可以得到银行各笔贷款的调整损失率数据，利用计算得到的调整损失率可以拟合各类贷款企业各期的调整损失率的边际分布和联合分布，这里用Copula函数拟合各类贷款企业间的相关结构。
(二)贷款组合的收益函数与损失函数
其中，β为置信度，由VaR的定义可以看出，VaR仅仅给出了在一定的置信度下损失的最大可能值，并没有充分利用损失的尾部分布信息，所以用CVaR来替代VaR度量贷款组合的风险，即，
利用(10)式计算
并不容易，利用Rockafellar and Uryasev(2000)[8]文献中构造辅助函数并离散化的方法给出CVaR的表达式。令，
(14)等价于如下线性规划问题：
其中，α为VaR的函数，β为置信度，N为模拟次数，
为第j次模拟的损失函数。
四、基于均值-CVaR的商业银行贷款组合动态优化模型
(一)目标函数的构建
该优化模型中，目标函数的意义是使商业银行无风险资产和风险资产的综合损失最小化。
(二)约束条件构建
1.商业银行期望收益率约束。商业银行是在保证一定收益的前提下将各类资产权重进行调整，因此本文将银行的期望收益作为对银行收益的约束，即，
其中δ为常数。
2.商业银行的法律法规约束。为了保证银行经营的合法性及合规性，避免银行资产配置产生流动性危机，因此在约束条件中引入现行的法律法规来控制贷款组合的风险。这些法律法规约束主要有：
3.贷款结构约束。在经营过程中，商业银行的贷款结构也受到一定的限额约束，具体为：
0.2为某商业银行规定的对各类企业贷款的最高比重。
此外，商业银行要求对各类资产配置的比重和为1，且各类贷款比重非负，即，
则贷款组合均值-CVaR动态优化模型为：
五、商业银行贷款组合优化的实证分析
(一)信用等级转移矩阵
假定各类贷款企业的信用等级转移概率遵循马尔科夫过程，即贷款企业下一时期的信用评级状态仅仅取决于其前一期的信用评级状态。本文采用J.P.Morgan计算得到的1年期转移矩阵
(表1)。
(二)数据处理
贷款企业的收益率以及无风险资产利率的数据来源于洪忠诚等(2009)[9]的文献，其中不同等级贷款的收益率见文献中表1，无风险资产利率见表3。各类贷款企业年收益率的期望与标准差以及各类企业贷款收益率的相关系数参阅许文等(2006)[10]的文献中的表7和表5。假设银行拟对7类企业进行贷款，其贷款企业的基本情况见表2。
利用各类贷款企业年收益率与标准差及公式(3)、(4)可以计算得到各类贷款企业调整收益率的期望和标准差，具体见表3。
理论上计算得到的第一类企业第4年和第5年调整收益率的期望和标准差不为0，是由于第1类企业仅贷款三年，故第4、5年调整收益率的期望和标准差记为0。同理第2、7类企业第3、4、5年调整收益率的期望和标准差记为0，第4、5、6类企业第5年调整收益率的期望和标准差记为0。
利用迟国泰等(2007)[11]中各类企业贷款收益率的相关系数和各类企业贷款年收益率的标准差。以及公式(5)，可计算出不同时期各类企业调整收益率的相关系数(由于篇幅原因，本文仅列出了t=1时的7类企业调整收益率的相关系数)，具体见表4。
其余各时期7类企业调整收益率的相关系数可以依照上述方法求解得到。
由不同等级贷款的收益率和表1，及公式(2)，可计算得到不同信用等级贷款的调整收益率，具体见表5。
假定公式(6)中a=11.36％，取不同信用等级贷款收益率中的最大值，可得到调整的不同信用等级的贷款损失率。利用相关的数学变换可得出各类贷款年调整损失率的相关系数(表4)、期望值与标准差，具体见表6。
(三)模型的求解
考虑到各类贷款企业年损失率具有“尖峰、厚尾”的特征，因此本文采用自由度为5的t-Copula函数描述这7类不同类型贷款企业年损失率之间的相关结构。一般认为各贷款企业损失率的边际分布服从Beta分布，故本文假定7类贷款企业调整的年损失率服从Beta分布，调整损失率
的概率密度函数为，
各类贷款企业各时期调整损失率beta分布的参数α和β值见表7。
利用孙云龙和陈伶俐(2011)[12]中Monte-Carlo模拟的方法对问题(27)进行求解，具体求解步骤如下：第一步，依据7类贷款企业调整损失率的相关系数矩阵，利用t-5Copula函数生成相应Copula函数的随机数。第二步，依据7类贷款企业损失率的α以及β，利用Beta分布得到7类贷款企业调整的损失率的随机数。第三步，重复第一步和第二步10000次，得到10000种情形下的损失函数H的表达式。第四步，利用第三步的样本求解(27)的相应的权重以及最优CVaR值和VaR值。
(四)第5期贷款组合优化配置
贷款组合优化配置是使用逆向递推的方法计算得到的，在本文中末期就是第5期。由于没有下一期的数据，因此
以及
的值为0，
以及
分别表示第5期无风险资产的分配比重以及各类贷款企业的配置比重。无风险资产利率
的数据对银行来讲是固定不变的，具体参见许文等(2006)。由贷款企业的基本情况知道只有第3类企业的贷款期限是5年，其调整收益率的期望
为5.62％，由于这一期只有第3类企业贷款，因此不需要考虑相关结构，只需要利用第3类贷款企业第五年调整损失率的α和β值生成相应的Beta分布的随机数，将相应的数据带入(27)式，此时t=5，β=0.95，J=10000，则目标函数为：
依据第五期贷款组合的目标函数及相应的约束条件，利用Matlab软件求解该线性规划问题，得到相应的
和
，计算结果见表8最后一列。
(五)第4期贷款组合优化配给
从第4期开始就要考虑到本年的贷款组合分配比重受上一期贷款组合分配比重的影响，运用(27)式求解第4期贷款组合的目标函数，此时t=4，在第4期进行贷款的企业共有4类，因此需要考虑这四类贷款企业之间的相关结构，本文选用的是t-5Copula函数，利用表7中四类贷款企业调整损失率的α和β值生成相应的beta分布随机数，将相应的数据代到(27)式求得第4期贷款组合的目标函数以及约束条件为：
(六)其它期贷款组合的计算
其它年份贷款组合分配比重依据上节的方法进行计算，其结果见表8。
由表8可以看出第1年的VaR值是最小的，但CVaR值却是5年中最大的，可见利用VaR度量风险可能使得风险低估，而利用CVaR代替VaR度量风险很好地控制了贷款组合中极端损失的发生；另一方面，从信用等级来看第5、6、7类企业由于信用等级比较低，商业银行为了考虑其资产的安全性，并没有对这三类企业发放贷款，贷款集中于信用等级较好的第1、2类企业中。
六、结论
本文的创新之处在于：(1)将企业的信用转移矩阵引入到贷款损失率的计算中，反映了企业的信用等级转移对贷款损失率的影响，更加客观地刻画了银行贷款组合的真实风险，使得均值-CVaR理论可以更好的指导银行贷款配置的实际决策。(2)将CVaR替代了传统的方差与VaR度量贷款组合风险，更加合理地控制了银行贷款组合极端损失事件的发生。(3)将Copula理论引入到贷款组合优化模型中，考虑了各类贷款企业之间的相关性对贷款组合的影响，减少了多变量概率模型建模的难度，使得建模及以后的分析过程变得更加清晰。
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