非寿险业务未决赔款准备金的两阶段广义线性模型估计，本文主要内容关键词为：寿险论文,准备金论文,广义论文,线性论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212；F224.0 文献标识码：A
引言
在过去的二十余年里，非寿险责任准备金评估的随机模型成为精算学研究的热点问题。Kremer于1982年提出将增量索赔额的对数值作为反应变量，建立了线性模型，是较早的随机模型。作为经典线性模型的自然推广，广义线性模型被广泛地应用于非寿险准备金的估计中。Reshaw(1994)提出了基于链梯法的超散布Poisson模型，该模型得到的结果与链梯法的结果完全相同；Mack(1991)提出了Gamma模型，其结果与链梯法的结果非常接近。England(2002)对各种随机模型，特别是广义线性模型在准备金估计中的应用进行了总结。Mario(2003)将Tweedie类复合Poisson模型用于未决赔款准备金的估计。
以上模型的共同特点是：在模型参数的估计中，只考虑了赔付额数据，忽略了索赔次数数据信息。个别模型虽然也对索赔次数的分布进行了假设，如Mario(2003)，但模型参数的估计中，索赔次数数据并未参与运算。但赔案数目这一信息会对未决赔款的估计产生重要影响，是不应该被忽略的。赔案次数和案均赔款作为考察准备金估计的两个方面，因其所受的影响因素不同，导致它们的延迟模式并不相同。如法律条款的改变可能会使案均赔款发生变化，但不影响理赔的延迟时间。不同的险种，其延迟模式也不同，车损险和家财险结案周期通常较短，责任险类案件拖延的时间则较长。因此，对赔案次数和案均赔款分别进行预测更符合保险实际的需求。毛泽春(2005)对赔付次数和已决案均赔款分别建立广义线性模型进行估计，文中的实例表明，该模型的预测误差较其它模型明显偏小。
本文用基于已发生案均赔款的两阶段广义线性模型估计未决赔款准备金。该模型以未决赔款准备金估计的确定性方法—已发生案均赔款(PPCI)法的思想为基础，分两阶段建立广义线性模型，分别对索赔次数和已发生每案赔付额进行估计，进而得到未决赔款准备金的估计值，并对模型的预测误差进行估计。本文以不同事故年已发生的案均赔付额具有稳定的索赔模式为基本假设。文中通过一个实例对所述方法进行验证，并从预测误差的角度与其它模型进行比较，并对两阶段模型的特点进行了总结。
一、两阶段广义线性模型
对未决赔款准备金进行评估，常采用流量三角形的数据组织形式，流量三角形将索赔数据（如赔款、索赔次数、逐案估计值等）按照保险事故发生的年度和赔款支出的年度进行交叉排列。所有流量三角形技术的最终目的是根据流量三角形左上角的已知数据估计出右下角的数据。本文中，设交叉排列得到的矩阵是I×J的，将流量三角形左上角的数据的下标集合记作
，右下角数据下标的集合记作△。设
和
分别表示第i年的事故在第j进展年的赔付次数和赔款额数据，
表示第i事故年已发生保险事故的次数，
表示已发生案均赔款。
用基于已发生案均赔款的两阶段广义线性模型对未决赔款准备金进行估计，分具有连续性的两步进行。首先建立广义线性模型对赔付次数进行估计，得到各事故年的已发生案件次数的估计值。然后由已结案赔款数据和事故年已发生案件次数的估计值得到已发生事故的案均赔款，并建立模型对案均赔款进行估计，得到案均赔款
的估计值，将案均赔款与赔案次数的估计值的乘积即为各进展年赔付额的估计值，即
。于是未决赔款准备金的估计值为
。
第一阶段，建立广义线性模型对索赔次数进行估计。设相互独立。Poisson分布是对单位时间内事件发生次数进行拟合的优良分布。考虑到同一单元中赔付事件在报告延迟和理赔延迟方面的相依性以及非齐质性，采用超散布Poisson模型对进行估计：
此模型的特点是，变量的方差和期望成比例。期望通过对数函数与线性预测量联系起来，线性预测量采用Kremer(1982)的形式。为克服超参数化，取
。其中，
是发生年影响因子，
是进展年影响因子。超散布Poisson模型是Reshaw(1994)提出的用于估计未决赔款的随机模型，该模型是链梯法的“再生”模型，即此模型得到的准备金的估计值与链梯法的估计值完全相同，因此，也称为超散布Poisson链梯模型。需要强调的是，超散布Poisson链梯模型虽然与传统链梯法的估计结果相同，但作为随机模型，超散布Poisson模型不但可给出未决赔款准备金的点估计值，同时还可以得到估计值的预测误差，从而可用于下文中对准备金估计的预测误差的计算。设由此模型得到的的估计值为
，则的估计值为
。
第二阶段，设在已知的条件下，
服从Gamma型分布，即设随机变量的方差与期望的平方成比例，并设相互独立。建立Gamma模型对进行估计：
该模型的线性预测量采用Mario(2003)中的可乘形式。为克服超参数化，可取
。Gamma模型得到的估计与传统的链梯模型得到的估计非常接近。此模型仍采用对数函数作为联系函数。
上述模型都可利用统计软件进行估计。对估计已发生案均赔款的第二阶段模型，其变量分布的假设可以扩展到更一般的情形，如设变量的方差与其期望的k次方成比例。k取不同的值，将得到不同的模型，如k=0对应正态模型，k=2对应Gamma模型，0＜k＜1对应Tweedie类复合Poisson模型等等。这里的k可以看作是一个先验值，需根据所拟合的数据和实践经验选取。另外，以上所设两阶段模型都是基于链梯法的，我们也可以选用其它形式作为线性预测量，如Hoerl曲线等。
二、预测误差
随机模型的最重要的优点是可对预测量的变异性进行估计，常采用的统计指标是预测量的均方误差(mean squared error of predictio(MSEP))，简称预测误差。对上述模型，若设未来的观察值与过去的观察值是独立的，则由England(2002)知：
三、实例
下面通过一个实例对本文中的方法进行实证研究，并从预测误差的角度与其他模型进行比较。本文的数据采用Mario(2003)中关于瑞士汽车保险的赔付数据。表1是赔款次数的流量三角形。
表1 赔付次数流量三角形
第一阶段模型的参数估计结果及各事故年已发生保险事故次数的估计值如表2。由Mario(2003)中表6.2及的估计值得已发生案均赔款的值如表3。第二阶段模型的参数估计结果如表4。表5是各进展年未决赔款的估计值。
表6给出了该模型的预测结果与其它模型的对比情况。从表6可以看出，本文所得到的未决赔款准备金的估计值与预测误差较其它模型的对应值偏小，而
的值高于对数正态模型和Tweedie类复合Poisson模型，低于其余模型。
表2 赔付次数模型的估计结果及的估计值
表3 已发生案均赔款
表4 案均赔款模型的估计结果
表5 未决赔款准备金的估计值
表6 各种模型的估计结果比较
四、结论
本文采用基于PPCI法的两阶段广义线性模型分别对赔付次数和已发生案均赔款进行估计，进而得到未决赔款准备金的估计值以及预测误差。较其它模型，两阶段广义线性模型具有如下特点：
(1)本文中，我们不但使用了增量赔付数据，而且使用了赔付次数的数据，对两种数据分别建立广义线性模型，从而可以充分利用已知的数据对未决赔款准备金进行估计，提高估计的可信度。
(2)在Wright(1990)和Mario(2003)中，都对赔付次数和个别赔付额的大小的分布进行了假设，并建立了增量赔付额的模型。但二者都是在假定索赔次数和个别赔付额大小分别服从Poisson和Gamma分布的前提下得到的。这虽为建立统一的增量赔付额模型提供了依据，但它对赔付次数和个别赔付额的分布的假定具有局限性。在本文模型中，我们将索赔次数和案均赔款分离开来，对二者分别建模型进行估计，对其分布可依据具体情况进行灵活的假设，而不局限于某种特定的分布。
(3)从本文以及文[1]中的实例可以看出，尽管两阶段模型中所估计随机变量的个数增加，但是其预测误差并没有呈现出相应的递增趋势。这归因于数据信息量的增加会减小预测误差。