“新、活、难”三维交叉 选拔功能有所减弱——1999年高考数学试题评析，本文主要内容关键词为：数学试题论文,功能论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1999年的高考数学试题引起社会各界较大的反响，特别是中学师生的关注。其主要原因就是试题难。考生得分较低。究竟如何看待这一套试题呢？通过调查，参与阅卷和分析研究，我们认为今年的试题，注重由以知识立意向以能力立意转变，试题“新、活、难”三维交叉。由于难度控制方面存在明显的不足，使考生得分普遍偏低，从而在一定程度上影响了试卷的选拔功能。
1 注重基础知识考查 提高能力考查力度
1999年的高考数学试题认真贯彻执行了考试说明，教学大纲和调整意见，试卷结构略有变化，适当减少了题量，调整了分值。全卷长度由25题减少为24题。选择题由25题65分减少为14题60分，填空题和解答题题量未变，解答题分值由69分增加为74分。试题在保持稳定风格的同时，命题的立足点，从以知识立意向以能力立意转变。在注重考查基础知识的同时提高了能力考查的力度。
1998年的试题将三角公式放在使用该公式的题首，而今年则将几个可能用到的公式放在了卷首，这进一步说明试卷重在考查根据答题需要灵活选用公式的能力，这一改进是很有启示的。
选择题都是容易题和中等难度的题，没有难度较大的题。试卷用它们考查了基础知识、基本技能、基本数学思想方法。其中有一些题看起来计算繁难，实际上通过分析、判断，运用等价转化、数形结合，都可以简化计算，有的甚至可以直接得出结论，从而使试题具有少考一点算，多考一点想的特点。
(A)可以取得最大值
(B)是减函数
(C)是增函数
(D)可以取得最小值
若注意到EF=3/2=1/2AB，用面积割补法很容易解决。如其中一种割法为取AB、CD中点G、H，作截面EGH，得“一锥一柱”就很容易解决了。其中斜棱柱GC可用公式V＝直截面面积×侧棱长（或视为割补成直棱柱）。
本题更为简便的解法是，分析题意：“EF∥平面AC”本身隐含着体积不变性，即棱柱EB的体积不随EF平行移动而变化。故可取其为直棱柱时的特殊情形，此时直截面就是底面（这种“不变性”也可由上面斜棱柱割补成直棱柱证得）。
还有理科(13)题：
故MN中垂线与①无交点，否定①，这样(A)、(C)都错。剩下(B)、(D)中均有②④，故②④满足题意，只要检验③与MN中垂线是否相交。这样从选择支中分析条件，经过逻辑判断即可使问题大大简化。
我们认为这几道选择题都是很好的试题。
填空题也都是容易题和中等难度的题，(18)题给出了四个线面关系，用以构造正确命题，这是一种命题条件和结论都不确定的开放性试题。对于现在中学课本中的数学题，大量的是封闭性的题而言，它是一种有开发前景的新题，试题虽然难度不大，但它重在考查思维能力和表达能力，也是一道不错的试题。
解答题进一步考查了基础知识。如对数的概念和对数函数的性质，复数辐角主值的概念及表示方法，空间线面关系和二面角的概念，等比数列的知识等等，而且多年不见的异面直线距离的概念也出现在解答题之中。特别是关于复数的一题，考复数的基本概念扣得紧，扣得活。从卷面上看不少考生解法灵活多变，有十几种解法。如在求极值时使用的方法有重要不等式法、判别式法、数形结合法、三角极值法等，但也有不少考生概念不清，被z=3cosθ-i2sinθ迷惑，分不清实虚部，求不出y=θ-argz；有的在使用三角公式和重要不等式时出错；有的在利用函数的单调性时未加说明，造成失分。由此可见试题不仅注重对基础知识的考查，而且把考查的要求放在正确理解和综合与灵活运用方面。因此，只有基础知识扎实的考生才有可能解答好这份试卷。
今年的数学试卷中有不少这样好题。选择题中以(4)、(10)、(13)题为代表，填空题中(18)题有特色，解答题中首推理科(20)题。解析几何题比较常规，容易入手，但解法灵活多变，综合性强，且不易得满分，也受到好评。
试题除考查了逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力等历年都要考查的几种数学能力以外，突出考查了综合能力、创新能力、解决实际问题的能力，不仅力度大而且难度高，形成了这份试卷“注重能力，稳中求新”的鲜明特色。
今年的试卷中，选择题的(7)、(14)两题，填空题的(16)题，以及解答题中的理科(22)题（文科（23题）这“三小一大”共四道题考查了运用数学知识解决实际问题的能力，在数量上多于往年，自从1993年恢复对应用题的考查以来，试题的实际背景材料多取自经济生活方面。而今年是轧钢问题，在拓宽应用题建模背景方面做了新的尝试。这道题，通过输出带钢的疵点距来判断轧辊缺陷的位置，有着很强的实际意义，是运用数学知识解决实际问题的一个很好的例子。本题的采用，使今年高考应用题的考查既有新意又具有相当的高度与难度，是考应用题以来最难的一题。
今年的试卷加强了对综合能力，即综合运用数学知识与方法分析问题和解决问题能力的考查。理科后三题都具有这种考查功能，特别是理科(23)题。本题将函数的基本概念、等比数列、数列极限等基础知识和解析几何中斜率的概念等知识有机地融合为一体，考查了归纳、推理、灵活应用与综合运用数学知识的能力。其特点之一是综合程度高，涉及的知识点多。其二是结合点新。如涉及折线斜率与递推关系；分段函数定义域与数列的极限；利用函数值求自变量等等。从而在较高层次上考查了考生在新的情景下，灵活地综合运用知识解决问题的能力。其综合程度高，难度大，是试卷中最难的题。
理科(22)、(23)两题是试卷中的两道新题，要想解好这两题，考生的能力是不可能靠“题海战术”、“题型训练”培养起来的。它们突出考察了独立思考、创造性的思维品质和初步的创新能力。这样的试题只有极少数素质高、能力强、基础知识扎实的考生才能得到比较好的分数。这是一种素质性的考题。
2 新题多难度大 选拔功能有所减弱
今年的数学高考试题，具有改革创新意识，多方面地体现了高考数学改革的方向，已引起社会的广泛关注。同时试题也存在着需要深入探讨的问题。对今年试题的不足之处，大家共同的看法是，对能力考查的要求偏急偏高，从而使考生得分普遍偏低，也影响考生的临场发挥，更影响试卷选拔功能的实现。
在应用能力考查方面，大家主要的看法是试题脱离了目前中学的实际。其中最主要的问题是建模难，建模难的关键又是应用背景生疏。如第(16)题中的“选垄”，城市学生弄不清，南方水田区农村学生也不懂。当然最主要的问题是轧钢这一题，试卷上示意图中轧辊怎么转，钢板怎么压薄，没有亲眼见过，即使在影视或书本上间接见过的人也难以去凭空想象，不少师生说弄不懂题意。
从表中可见，理科得零分的近一半，文科更高达九成以上，均分低，离散度小。阅卷中见到许多考场试卷整本都是零分。第一问已给“减薄率”，有的理科生据此求解，但得分也在3分左右，第二问仍为零分。据统计，得分在4分以下的理科生占79.94%。即使取Ⅱ卷总分前40%的考生，零分率仍达23.1%，4分以下的占65.34%。
理科(23)题是全卷最难的一题，抽样统计结果难度仅0.06，标准差1.82，区分度0.40，而零分率高达73.59%。即使前40%的考生难度值也只有0.11，零分率还有56.70%。究其原因是对学生的综合能力要求过高，具体分析就是此题中综合的知识点过多，对解决新问题的能力要求过急，考生难以入手。这样的两道难度特高，得分率特低的试题，使其失去应有的选拔功能！因此高考改革中必须考虑中学实际，否则好的愿望难以得到好的结果。
我们认为中学仍处在打基础的阶段，“向能力转变”必须把握适当的尺度。"3+X"卷的考试说明中就指出，“对数学应用问题的考查，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际”。这两题都在较高层次上考查了综合能力、创新能力、应用能力，但要求得过急过高，虽作为一般的数学试题讲，它们堪称优秀题目，但同时出现在一份试卷中，使“新”与“难”集中在一起突出表现出来，则难以是好的试卷。阅卷中见到不少考生对这两题答得满满的，却得了零分。就是说，他们“跳了半天也够不着”。象这样的新题，我们认为一套试卷中以占10%为宜，假如适当降低其中一题的难度，则全卷情况就比较理想了。
解析几何题是一道常规题，入口宽，思路多，试题通过对曲线类型的讨论，考查了对概念理解的深度和思维的缜密性。实测难度理科只有0.30，文科0.13，均无满分。零分率各为19.91%与54.24%。得分情况低于正常估计。究其原因，主要是由于前面两道难题已把考生折腾得精疲力竭，所以考试效果令人失望。一般说来，试题从易到难编排，有利于考生正常发挥数学水平，提高区分度。
填空题中(16)题在考查功能方面与(14)题重复，它们都可以通过直接排列得出结果，并且题目求解指向“不同的选垄方法”，造成考生理解上的歧意，不如用“不同的种植方法”更加明确。
(18)题与去年相比，在答案的个数方面有了较好的控制，但考生在解答中对命题的叙述却是五花八门，不仅增加评卷困难，而且评卷的误差和效度不易控制。如果能像(16)题在题后加一个括号，限制叙述方式则更加完善。
从全卷来看，难度分布缺少中间层次。前21题对于前40%成绩优秀的考生不难完成，估计他们的成绩将会集中在100～110分之间。而(22)、(23)两题大家都不会做，这样一来中等偏上的考生完成了前110分的，与花费大量时间做(22)、(23)两题的优秀生相比，成绩可能不相上下甚至还要高些。从分段统计数来看，理科Ⅱ卷30～59分者集中了74%的考生，其中40～49分段占了30.16%，而60～90分段只有不足8%。文科20～49分段也集中了55%的考生。实测Ⅱ卷难度为理科0.46，文科0.39，全卷在0.49～0.51之间，有效分可能比去年下降十几个百分点。故1999年“数学难”已是众人共识。
3 对教学的几点建议
①我们的第一点建议仍是“狠抓基础”。基础知识要年年抓，常抓不懈，常抓常新。阅卷中发现丢“基础分”的情况比比皆是。解立几题，不少考生证异面直线公垂线时不证与两直线都相交。理科(19)题难度为0.81，但满分率只有37.7%。原因就是基本功扎实的考生先解不等式再讨论，简捷明快，正确率高；而先讨论再解的则烦琐费时且易出错，此外对数概念及计算方面的错误也不少。抓基础不单是抓记忆与熟练，更重要的是抓正确理解和综合与灵活运用，要让学生感受、理解知识的产生和发展的过程，从深刻理解原理、方法入手，进而达到熟能生巧的境地。
②抓能力培养。今后的高考，知识只是载体，考能力才是方向，这已是大势所趋。今年的事实说明题海战术、题型训练已经失灵。机械记忆、大量计算在试卷中的作用已不明显。要打破数学内部学科界限，加强综合解题能力的训练。要重视培养学生收集处理信息的能力、语言文字的表达能力、建模能力，利用求解数学模型解决实际问题能力等。要打破能力学科化的旧观念，要培养用数学眼光观察分析社会生产、生活和其他学科的问题，去发现数学的应用，进而提高应用意识，提高创造能力。
③重视数学基本素养的提高。阅卷中我们见到考生有的答题不严密、不规范，漏洞百出；有的不能正确构造表述命题；有的不能准确阅读理解题设文字材料；有的不能正确无误地书写答卷；不少学生解题时只写一个算式就不了了之。凡此种种错误引起扣分的情况不一而足。例如理科(24)题引起扣分的情况有：1°概念不清将OC当成垂线；2°对特殊情况不讨论；3°对参数范围不讨论；4°过程书写不规范。立体几何题中对角、距离、高不判断不证明等等。这一现象说明数学基本素养有待培养提高。
④适当加强应试能力的培养。在遇到难题在前的情况时要有较强的判断能力和应变能力，还要有健康的心理素质。今年有些应试能力强的理科考生绕过(22)、(23)两题先解(24)题，就得到了较理想的分数。
⑤数学教学深入改革应该提到议事日程上来了。我们希望高考贴近中学实际，但形势也要求中学数学教学向能力培养，向素质教育推进，转变教育观念，改革人才培养模式。这将牵涉到从教材、课外读物到教学思想、教学方法的一系列改革与转变，是一项系统工程。要求学生会建模，教师要先会建模；要求学生灵活运用，教师要讲得活，分析得透。备课、讲授、辅导都要打破学科内外界限，多联系实际，多考虑应用。要从灌输式向启发式和讨论式转变，从重知识重结论向重过程转变，从传授知识向培养能力转变。认真贯彻全教会精神，全面提高我们的数学教学水平，迎接新世纪的挑战。