欣迪卡的归纳理论，本文主要内容关键词为：归纳论文,理论论文,迪卡论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
摘要 欣迪卡的三个概率逻辑系统，系统解决了卡尔纳普归纳理论遇到的难题。但第一个系统有两个缺点：全称假说的确证度增长过快；单称预测假说的确证度不受证据影响。后两个系统克服了这些缺点，其中最晚建立的α—λ二维系统将前两个系统及卡尔纳普的系统作为特例包含在自己的范围之内。欣迪卡的确证理论：在全称假说的确证过程中排除归纳法和枚举归纳法共同起作用。欣迪卡的接受理论，接受假说时应该考虑假说的确证度、信息量和可证伪性。为测试假说的信息量，欣迪卡讨论了语义信息概念。
欣迪卡（J.Hintilla）是一位芬兰逻辑学家，他是继卡尔纳普之后在归纳逻辑的研究中取得重要成果的人。欣迪卡受到卡尔纳普和波普尔的深刻影响。他继承了卡尔纳普的形式处理方法，并对它进行了改造，同时吸取了波普尔科学哲学中的合理因素，建立起自己的归纳理论。欣迪卡的工作使得逻辑贝叶斯派的归纳理论趋于合理、完善。
一
我们知道，卡尔纳普构造了逻辑上很严格的归纳逻辑系统，但他的理论遇到一些严重困难，其中一个著名的困难是“无限全称命题确证度为零”的问题。欣迪卡归纳理论的第一个成果就是解决了这个问题，在个体域为无穷的情况下，能使全称命题得到非零的确证度。
像卡尔纳普一样，欣迪卡在一阶逻辑的基础上建立语言系统L[,πn]，这里π是初始谓词的数目，N是个体常元的数目（N是有穷的或可数无穷的）。欣迪卡基本上沿用了卡尔纳普著作中的术语和符号。欣迪卡归纳理论的基本概念是“构件”（constituent）。为了定义构件， 首先要定义C[,t]谓词。给定π个一元谓词
（1）P[,1],P[,2],…,P[,π]
一元谓词P[,i]表示性质，用这些一元谓词构成的下面形式的合取式被欣迪卡称为C[,t]谓词
用C[,t]谓词可以形成构件，构件具有如下的形式
称（4）为C[,W]构件。（4）的直观意思是说，在整个世界（论域）中有并且只有w个C[,t]谓词是有例证的，其余的K—w个C[,t]谓词是没有例证的。 所谓一个C[,t]谓词有例证，是说论域中有个体具有这个C[,t]谓词所表示的性质；一个谓词没有例证，是说没有个体具有该谓词所表示的性质。当w＝0时，（4）表示这个世界中没有一个C[,t]谓词有例证。这时公式（4）中没有一个C[,t]谓词，但欣迪卡仍把它作为一个构件。当w＝K时，（4）表示所有的C[,t]谓词都被例示。
欣迪卡的构件与卡尔纳普的状态描述、结构描述一样，也是对世界可能状况的一种刻划。它们之间的区别在于对世界可能状况描述的具体程度不同。状态描述给出了最具体的描述，它指出每一个个体具有或不具有性质P[,i](i=1,…,π)。结构描述是较为一般的描述，它表明在N 个个体中每一个C[,t]谓词出现的频率。构件是最一般的描述，它只是说明在整个世界中哪些C[,t]谓词被例示，哪些C[,t]谓词没有例证。
在语言L[π][,N]中，一共有2[K]=2[2π]个构件（其中包括了w＝0的情况）。所有的构件都是互不相容的。在这个语言系统中，每一个逻辑上不矛盾的全称语句都可以被写成若干个构件的析取。称这种析取式为全称语句的标准形式。标准形式为一个构件的全称语句被称为强概括，由两个或两个以上构件的析取所表达的全称语句是弱概括。以后我们有时也称强概括为构件。
现在要解决的问题是全称语句的确证问题，为简单起见，我们只讨论强概括。假定世界中个体的数目是无穷的。给定一个由n 个个体组成的证据e，这个证据中恰好有c个C[,t]谓词C[,til](X),C[,ti2](X),…,C[,tic](X)是有例证的。用这些C[,t]谓词可以将证据中的个体划分为c个互不相容的类n[,1],…,n[,c]，并且n[,1]+…+n[,c]=n。 这时有一个构件C[,c]（即w＝c）恰好包含有证据e中被例示的那c个C[,t]谓词，这个构件与证据相符。而当w＜c时，构件C[,W]被证据e证伪， 因为在这种情况下构件C[,w]表示，有并且只有少于c个C[,t]谓词是有例证的，但证据e表明有c 个C[,t]谓词有例证。当w＞c时，构件C[,w]未被证伪，因为继续观察有可能发现新的C[,t]谓词有例证。现在要问，根据证据e， 一个未被证伪的构件（强概括）C[,w](W>=C)的确证度P(C[,w]/e)是多少？这可以用贝叶斯定理计算
其中P(C[,w]表示构件C[,w]的先验概率，P(e/C[,w])表示构件C[,w]为真条件下证据e 的概率；P(C[,c+i])表示任一尚未被证伪的构件C[,c+i]的先验概率，P(e/C[,c+i])表示在构件C[,c+i]为真条件下证据e的概率。整个公式的意义是很明白的。当然， 首先要确定构件的先验概率。
欣迪卡在其初期的工作[1]（《关于归纳概括的一种理论》）中，是将相等的先验概率分配给每一个构件，然后将构件得到的概率平分给所有使该构件为真的状态描述。每个构件的先验概率为1/2[k]。由于先验概率P(C[,w]和P(C[,c+i])是相等的，都是1/2[k]，因此可以把它们从（5）中销去。 还要计算P(e/C[,w]。因为构件C[,w]表示有并且只有w个C[,t]谓词有例证，而证据e表明，所观察的n个个体恰好例证了这w个C[,t]谓词中的c个谓词。 在构件C[,w]为真且没有其它假设的条件下，一个给定个体满足w个可以被例证的C[,t]谓词中的一个谓词的概率为1/w，因此有
这就是构件C[,w]的确证度。根据（7），当证据e无限地增加时（这时n→∞）， 那个恰好与证据相符的构件C[,c]的后验概率（确证度）趋近于1，而其余所有构件C[,w]（w＞c）的后验概率都趋近于0。这样， 欣迪卡初步解决了在无穷个体域中全称语句的确证问题。
但是，这种处理方法有两个缺点。其一，从公式（7）中可以看到，当n还很小时，P(C[,w]/e的值可以很大。欣迪卡认为， 这表现了一种过分乐观的归纳行为：一个人只做了少量的经验观察就给归纳概括以很高的确证度。其二，用这种分配概率值的方法计算出的单称预测假说的后验概率不是很自然的。单称预测假说是说，“下一个将要观察的个体具有性质C[,tij](x)"，在这个系统中，它的确证度总是1/c。这表明， 这个系统在计算单称预测假说的后验概率时虽然考虑了证据中观察到哪些C[,t]谓词，但是没有考虑不同的C[,t]谓词出现的相对频率。这个结果类似于卡尔纳普的C[+]系统，只不过在C[+]系统中，单称预测假说的确证度总是等于1/K（K是C[,t]谓词的总数）。
欣迪卡设法克服这两个缺点。他在进一步的工作[2]（《关于归纳逻辑的一个联合系统》，简称《联合系统》）中解决了单称预测假说的确证问题。具体的做法是，首先给每一个构件分配一个相等的非零的先验概率，然后这个概率在所有使该构件为真的结构描述中平均分配，最后每一个结构描述得到的概率值在所有使该结构描述为真的状态描述中平均分配。这样，相对于证据e，单称预测假说的确证度为
。 从这个公式可以看出，单称假说“下一个个体具有性质C[,tij](x)”的确证度受两个因素的影响。一个因素是谓词C[,tij](x)在证据e中的相对频率n[,j]/n，另一个因素是证据中出现的C[,t]谓词的个数c。这个结果类似于卡尔纳普的C[*]系统。 在这个公式的基础上，欣迪卡进一步给出了单称预测推理的一般规则，这里不再介绍。与卡尔纳普的C[*]系统相比，在欣迪卡的联合系统中，经验对单称预测假说的确证度影响更大。
在联合系统中，全称概括句也能得到非零的确证度，但所得到的结果仍然具有上述第一个缺点。
为了克服这个缺点，欣迪卡在更进一步的工作[3]（《归纳方法的一个二维系统》，简称《二维系统》）中，引进新的参数，改进了分配先验概率值的方法。欣迪卡指出，在卡尔纳普的λ连续统中，假定了所有K个C[,t]谓词都具有相等的概率，也就是说， 所有的C[,t]谓词都是有例证的。因此，在个体域为无穷的情况下，只有构件C[,k]（即w＝K）是真的，其余构件的先验概率和后验概率都是0。在这种假设之下， 论域中所有的个体是均匀分布的，对称地满足每一个C[,t]谓词。欣迪卡认为，可以用这种对称性来作为构件先验概率的量度。
给定一个构件C[,w]，在卡尔纳普的完全对称的世界中寻找一个样本，这个样本由x个与构件C[,w]相容的个体组成，也就是说， 它们例证了构件C[,w]所允许例证的C[,t]谓词。采用卡尔纳普λ系统的计算方法，这α个个体都与构件C[,w]相容的概率为
欣迪卡称这α个个体组成的样本为一个原子世界。当α很大的时候，（8）式的值接近于构件C[,w]在α个个体的原子世界上成立的概率。 个体的数目α越大，构件在这个世界中成立的可能性越小。欣迪卡将自己所考虑的包含无穷个体的世界与卡尔纳普的α个个体组成的世界进行比较。如果在无穷的世界中这样来指派P(C[,w])，使它本质上与构件C[,w]在α个个体的原子世界中成立的概率相同，那么全称概括在无穷世界中成立的可能程度与它在α个个体的世界中成立的可能程度是相同的，这样通过α的变化就可以直观地看到构件先验概率大小的变化。让α在0～∞之间变化，于是得到参数α。
欣迪卡认为，构件C[,w]的先验概率应当与（8）成比例
这就是欣迪卡在一个无穷世界中对先验概率P(C[,w])的指派。使用这个概率值，欣迪卡给出了计算构件C[,w]确证度的方法。因公式比较复杂，此处省去不写。
新参数的作用是控制构件的先验概率。这种作用是通过对称性的考虑实现的。为了使构件C[,w]（w＜K）为真，世界中的个体必须恰好例证了构件C[,w]中所包含的w个不同的C[,t]谓词，留下K—w个空的C[,t]谓词。P(C[,w])的值越高，个体在世界中分布得越不均匀，离先验的对称性假设越远，这时必须选择更小的α。反之，如果根据对称性的考虑来行动，那么所有不同的C[,t]谓词都尽可能地被例示，这样，构件C[,w]（w＜K）在一个大的世界中非常不可能是真的，这时必须选择更大的α。参数α与卡尔纳普的参数λ相似，都测量C[,t]谓词的对称程度。它们之间的区别在于，α确定构件的先验概率，因而与全称的归纳推理有关。参数α确定状态描述的先验概率，因而与单称的归纳推理有关。
有了参数α，就可以克服上述第一个缺点。因为根据贝叶斯定理，在其他条件相同的情况下，假说的先验概率越高，它的确证度也越高。通过参数α来调整构件的先验概率，能使全称语句的归纳确证过程比较自然。当α＝0时，所有的构件都得到相同的先验概率1/2[k]， 当证据无限地增加时，那个恰好与证据相符的构件C[,c]的确证度趋近于1， 其它构件的确证度趋近于0。当α取大于0的有限值时，构件中所含的C[,t]谓词的数目不同，构件的先验概率就不同，但也能得到上述结果，不过随α增加，需要观察的个体数n也要增加。选择不同的α值， 反映出不同的归纳行为。α的值取得小，表明研究者容易受到经验的影响；α值取得越大，经验对归纳确证的影响越小。
α—λ二维系统与其它系统的关系如何？当α→∞，λ自由取值时，我们可以得到卡尔纳普的λ系统。这时整个世界中的个体完全对称地满足所有K个C[,t]谓词，除一个构件C[,K]外， 其余所有构件的先验概率和后验概率都是0。构件C[,k]的先验概率和后验概率都是1。特殊地，当α→∞且λ→∞时，可以得到卡尔纳普的C[+]系统。当α→∞，λ＝K时， 可以得到卡尔纳普的C[*]系统。当α取有限的正值且λ＝0时， 可以得到“直接规则”，即完全根据所考察的谓词在证据中出现的相对频率来确定单称预测假说的确证度。由此可见，卡尔纳普的λ系统是欣迪卡α—λ系统的一种特殊情况。
当λ→∞，α在0～∞之间任意取值时，可以得到对欣迪卡7[1]中系统的概括。这时构件C[,w]的先验概率为
当α＝0时，由公式（11）可以得到公式（7）。前面说过，公式（7）表现了一种对经验观察高度信任的归纳行为，当n还很小时， 全称语句就得到很高的确证度。有了参数α，可以改变这种状况。α越大，为确证构件C[,w]需要观察的个体就越多。
当α＝0，λ＝w时，可以得到欣迪卡的联合系统。而当α在0 ～∞之间自由取值，λ＝w时，就得到了对联合系统的概括。
从下面的表可以清楚地看到α—λ二维系统与其它系统之间的关系
表中右边纵行中出现的α或λ表示它们在该系统中是可以自由取值的参数。
在二维系统中，新参数α的意义是什么？起初，欣迪卡完全用对称性假设来解释参数α的引进。这种解释没有说明选择这个参数时所做的元逻辑的和认识论的假设。后来，欣迪卡提出了更进一步的解释。他认为，参数确定构件的先验概率，而构件被解释为全称概括。某个构件在某个世界中是真的，这表明在这个世界中存在着客观规律。因此，参数α就与所研究的世界中在某种程度上存在着客观规律的假设有关。我们知道，要想使用贝叶斯定理，必须给所讨论的事件或命题以大于0 且小于1的先验概率。 只有事先假定了互相竞争的全称概括具有非零的先验概率，从而假定了在世界中有可能存在着客观规律，才能用贝叶斯方法进行归纳逻辑的研究。参数α的作用就是从量上测度研究者对全称概括似规律性的先验假定程度，以及概括所反映的世界客观规律性程度。这涉及到归纳逻辑中贝叶斯方法的哲学问题，因篇幅有限，我们不做讨论。
二
归纳逻辑有两种主要的方法——枚举归纳法和排除归纳法。枚举归纳法是靠增加正面事例的数量来确证一个假说。排除归纳法则是靠选择各种不同的事例，在一组互相竞争的假说中进行排除，从而获得一个好的归纳结论。在古典归纳逻辑中、培根、穆勒的方法属于排除归纳法。在现代归纳逻辑中，赖欣巴哈、卡尔纳普等人的归纳理论研究的是枚举归纳法；布罗德、冯·赖特、科恩等人的归纳理论主要研究排除归纳法。欣迪卡则试图把这两种方法结合起来。他的归纳逻辑系统虽然来源于枚举法，但是具有排除归纳理论的某些特点，因此可以用它们来讨论两种归纳法之间的关系。为简单起见，我们用欣迪卡在[1]中建立的系统来讨论排除法和枚举法在确证全称假说时的作用。
如前所述，用（4）表示构件C[,w]。 在具有2[K]个构件的欣迪卡的系统中，观察到n个个体，这n个个体恰好例证了c个不同的C[,t]谓词。这时，所有这样的构件C[,w]（w＜c）都被证伪，换句话说，这些构件被排除了。继续观察新的个体，那些尚未被排除的构件C[,w]将受到什么影响？当n 的值足够大时，可能发生以下几种情况：
（A） w＞c，这时排除是不完全的。
（a） 新观察的个体与旧的个体相同， 构件的确证度略有下降。
（b） 新观察的个体与构件C[,w]相容， 但不同于任何一个已经观察过的个体，构件C[,w]得到进一步的确证。
（c） 新的个体与构件C[,w]不相容，构件C[,w]被证伪。
（B） w＝c，在这种情况下，排除是完全的。
（a） 新的个体与构件C[,w]相容， 因此与以前所观察的个体相同，构件C[,w]被进一步确证。
（b） 新的个体与构件C[,w]不相容，构件C[,w]被证伪。
先看排除不完全的情况，即（A）中的三种情况。 构件C[,w]的确证度用公式（7）计算。由于新观察的个体与旧的个体相同，（7）中的n 为n+1代替，其余各项不变，又由于w＞c，如果n的值足够大，P(C[,w]/e)的值下降。更进一步，c不变，n→∞时，P(C[,w]/e)→0。这表明，在欣迪卡的系统中，如果构件C[,w]允许存在比证据中观察到的C[,t]谓词更多的C[,t]谓词，而进一步的观察没有发现例证这些缺少事例的谓词的个体，那么，尽管新观察的个体与这个构件相容，但构件的确证度不会由于新的个体而增加，相反会减少。当所观察到的个体越来越多时， 这个构件的确证度最后减少为0。这是（A）中（a）的情况。
当w＞c时，存在着一些比构件C[,w]简单的构件，它们所包含的C[,t]谓词比构件C[,w]少，并且它们还没有被已有的证据证伪。如果新观察到的一个个体与构件C[,w]相容，但不同于以前观察过的任何一个个体，那么它至少与一个比较简单的构件不相容，这个比较简单的构件就被排除掉。这时公式（7）中的c为c+1代替，n为n+1代替，P(C[,w]/e)的值增加。这是（A）中（b）的情况。
（A）中（c）的意思是很清楚的。
再看排除是完全的情况，即（B）中的两种情况。 新观察的个体与构件C[,w]相容，公式（7）中的n变为n+1，其余各项不变。由于w＝c，P(C[,w]/e)的值增加。当n→∞时，P(C[,w]/e)→1。这是（B）中（a）的情况。（B）中（b）的意思是很明白的。
在（A）（b）和（B）（a）两种情况中，一个新观察的个体可以进一步确证构件C[,w]。在（A）（b）中，新的肯定事例至少排除掉一个较为简单的构件，这时归纳是靠排除进行的。在（B）（a）中，归纳靠枚举进行，因为前面的证据已经排除了所有与构件C[,w]竞争的比较简单的构件。因此，欣迪卡认为，在归纳推理中，首要的工作是进行排除，只有当排除在其可以进行的范围内尽可能地进行过之后，进一步的枚举才开始真正起作用。
在确证构件C[,w]的过程中，排除法和枚举法都发挥了作用，但这两种方法的作用分别有多大？我们先看排除法的作用。对于构件C[,w]，从排除法的角度看，如果已有的证据能表明，构件C[,w]中所有w 个C[,t]谓词都已经被例示，那么这个证据就是好的证据。因为在这种情况下排除已经充分地进行了。达到这一步可能需要观察许多个体，而理想化的情况是恰好观察到w个彼此不同的个体。这时根据公式（7），构件C[,w]的确证度为
由于所有的构件都具有相同的先验概率1/2[k]，因此，公式（12）的值与先验概率1/2[k]之间的差就是在确证构件C[,w]的过程中排除法所能提供的最大份额。而枚举法所提供的份额则是从1 中减去先验概率1/2[k]和排除法所提供的部分所得到的差。
可见，在欣迪卡的归纳理论中，归纳确证不能仅靠枚举法进行，也不能仅靠排除法进行，而是排除法和枚举法的结合。欣迪卡还用他的逻辑系统讨论了这样的问题：给定一个谓词Q，在一定的范围内寻找Q的充分必要条件。而这类问题通常是用排除归纳法来处理的。
三
在解决了全称假说的归纳确证问题之后，欣迪卡又讨论了如何选择全称假说的问题，即假说的接受问题。应该用什么标准来选择全称假说呢？有人认为，应当选择确证度高，即后验概率高的假说。有人认为，选择假说时要考虑它在认识上的效用。所谓“认识上的效用”究竟指什么？学者们有各种看法，例如假说的简单性，假说的解释力，等等。不过有一种效用是大家都承认的，即假说的信息。波普尔就认为，应当选择信息量大的，最容易被证伪的，因而是概然性低的假说。欣迪卡认为波普尔的观点是有道理的，但有缺陷。欣迪卡主张选择具有高的信息量，并且具有高的后验概率的假说。为此，他讨论了语义信息的概念。
卡尔纳普。Bar—Hillel、Kemeny、以及波普尔等人早就讨论过语义信息的问题，欣迪卡继承了他们的成果。对于一个句子s 所包含的信息量，有两种测度方法。一种是对数测度，用inf（s）表示：
（13）inf(s)=-Log[,2]P(s)
其中P（s）是s的逻辑概率。 这种测度方法与一般信息论中的测度方法是相同的。另一种测度方法叫容度，用cont（s）表示：
（14）cont(s)=P(～s)=1-P(s)
其中“～s”表示“并非s”。这两种测度方法都表明，一个句子的语义信息量与它的概率是逆相关的。两种测度方法之间的关系如下：
inf（s）和cont（s）表示的是一个句子自身的信息量， 可称它们为绝对信息。另外，还要定义一个句子相对于另一个句子的条件信息。如果用h表示假说，用e表示证据，假说h相对于e的确证度为P（h/e）， 而h相对于e的条件信息为：
（16）inf(h/e)=-Log[,2]P(h/e)
（17）cont （h/e）＝P（e）（1－P（h/e））
欣迪卡用自己二维系统的测度方法来讨论强概括（构件）C[,w]的绝对信息，以及强概括C[,w]相对于证据e的条件信息， 得到了一些有意思的结果。我们关心的是语义信息概念在选择假说时所起的作用。波普尔认为，科学家们所追求的是得到经验支持的具有高的信息量的假说，而一个陈述具有的信息量越高，它的概率就越低。欣迪卡指出，波普尔所说的概率是假说的先验概率，与先验概率相对应的是绝对信息。存在着这样的假说，它同时具有高的绝对信息，低的先验概率和高的后验概率，这与波普尔的思想并不矛盾。下面用容度测度来讨论，使用对数测度可以得到类似的结果。在二维系统中，让参数α自由取值，让λ→∞，于是得到对[1]中系统的概括。 我们使用这个系统的测度函数进行计算，并将构件C[,w]的容度记作conta(C[,w])。根据公式（10）和（14），一个构件C[,w]具有的绝对信息为：
由公式（18）可以看出，当α是一个确定的有限的正数时，一个构件中所包含的不同的C[,t]谓词越少（即w越小），它的先验概率越低，而信息量越高。当具有证据e时，所有这样的构件C[,w]（w＜c）被证伪。 在那些尚未被证伪的构件中，构件C[,c]所具有的绝对信息量是最高的，构件C[,c]中所包含的C[,t]谓词恰好是证据中已经被例示的C[,t]谓词。随着证据的积累，构件C[,c]的确证度增加，但条件信息减少。根据公式（11），当证据足够大，并且n＞α时，构件C[,c]具有最高的后验概率， 同时它的条件信息降到最低。可见，当证据足够大时，存在着这样的构件，它具有高的绝对信息，低的先验概率（波普尔可以接受的）和高的后验概率。
当然，波普尔并不主张仅仅根据假说的信息来评价假说，他也要求经验的支持，他把这两个因素综合在他的“证实”（corroboration）概念中。但另一位逻辑学家莱维（l.Levi）指出，波普尔的证实概念是有缺陷的，使用波普尔的概念，当证据变化时，假说的效用会随之变化。欣迪卡同意莱维的观点，他认为，一种信息测度要想具备效用的资格，必须满足Von Neumann-Morgenstern效用公理， 并且它必须不随着证据变化，所以应当使用绝对信息，并把它作为唯一的认识上的效用。欣迪卡采用莱维的计算方法：如果假说h是真的，那么研究者接受h时获得的效用是cont（h）；如果h是假的，那么研究者接受h 时损失的效用是cont（～h），而获得的效用是－cont（～h）。因此，根据证据e， 接受假说h的期望效用为：
（19） U（h，e）＝P（h/e）cont（h）－P（～h/e）cont（～h）
将cont（h）和cont（～h）的定义代入公式（19）并化简，得到：
（20） U（h，e）＝P（h/e）－P（h）
欣迪卡根据公式（20）讨论了全称假说的接受问题。对于强概括来说，接受一个强概括C[,w]所期望的效用为：
（21）U(C[,w],e)=P(C[,w]/e)-P(C[,w])
根据公式（21）研究者应当选择强概括C[,c]，因为当0＜α＜n时，在所有与证据相容的强概括中，强概括C[,c]的先验概率最低，它的绝对信息量最大，而它的后验概率是最高的，接受这个强概括可以获得最大的认识效用。由于强概括C[,c]所包含的C[,t]谓词恰好与证据中已经被例示的C[,t]谓词相同，因此如果继续观察时发现了新的C[,t]谓词，这个强概括会立刻被证伪。这个强概括是最容易被证伪的，这恰好与波普尔的思想相符。因此欣迪卡认为，后验概率是合理接受强概括的一个非常好的测度。但对于弱概括则不行。
弱概括可以表示为两个或两个以上构件的析取。我们用g 表示弱概括，用C[,w]表示构件，一个弱概括g可以表示为：
（22）g=C[,w1]VC[,w2]V…VC[,wr]
弱概括的后验概率为：
由公式（23）可以看到，一个弱概括的标准形式中包含的析取支越多，它的后验概率越高。因此不能仅仅根据后验概率来选择弱概括，这样会导致接受一个平庸的假说。在选择弱概括时也要考虑它在认识上的效用。根据公式（20），接受一个弱概括的效用为：
由公式（24）可以看到，在弱概括中增加一个新的构件可以使认识效用增加，当且仅当这个构件的后验概率大于它的先验概率。当所观察的个体数目n比较小时，可以有几个这样的构件，但是当n足够大时，只能有一个构件，即C[,c]构件，它的后验概率大于先验概率，而其余所有构件的后验概率小于它们的先验概率。因此，为了达到认识上最大的效用，应当选择这样的弱概括，它的标准形式中包含了构件C[,c]。这样，欣迪卡解决了弱概括的选择问题，从而解决了全称假说的接受问题。
欣迪卡的归纳理论是富有特色的，他力图把归纳认识过程中各种有价值的因素纳入自己的理论。在确定先验概率的问题上，他似乎向主观主义学派靠近了一步；在讨论归纳确证的过程时，他把排除归纳法和枚举归纳法结合起来；在假说的接受问题上，他把确证与证伪，信息与概率结合在一起。他大大地推进了逻辑贝叶斯派的理论。