三棱台体积公式的延伸，本文主要内容关键词为：公式论文,体积论文,三棱台论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
T：波利亚说过“一个好教师应该懂得，而且使他的学生也懂得，没有一个问题是一经解决就算是完全做完了的。一个问题解出之后，常常总还留下一些事情可做：
经过充分的研究和观察，我们可能改善任何解答；
而在任何情形之下，我们总能增进我们对解答的了解”。
我们已经得出了三棱台的体积公式：如图
3 发现之三：从位置关系出发
T；这一组结论是通过观察公式的结构，经过计算而发现的， 能否通过其他途径而得出这些结论呢，比如通过观察三个几何体的位置关系？
S[,5]：先观察几何体①与③，分别把A[,1]与C看作顶点。这时，它们等高；底面积比为1∶a[2]。
所以 V[,3]＝a[2]V[,1]。
S[,6]：再观察几何体①与②将C看作它们共同的顶点，则其底面都在平面AA[,1]B[,1]B上，因它们的高相等，故底面积的比为1∶a，
得 V[,2]＝aV[,1]。
T：我们继续观察①与②，还可以发现什么？
S[,7]：它们有共同的底面A[,1]BC，从而可推知它们的高的关系亦为1∶a，，即A、B[,1]到平面A[,1]BC的距离的比为1∶a。
T：能直接推求出高的关系吗？
S[,7]：如图3，A、B到平面a的距离比，等于线段AB 被平面分得的线段比。由此，连结（图1）AB[,1]交A[,1]B于O，则A、B[,1]到平面A[,1]BC的距离比为：AO∶OB＝AB∶A[,1]B[,1]＝1∶a，
所以 V[,2]＝aV[,1]。
4 小结与例题
引导学生自己做小结：
延伸的方向与内容方面的小结：
（1）将公式“分割”研究，可发现些什么结论？
（2）用计算方法研究诸几何体间的体积关系。
（3）观察两几何体的位置关系，由此推导出其体积关系。
[主持人评注 上“××公式（定理）的延伸”这样的课有意义吗？对这个问题，当前一定会有两种截然相反的意见。
多数人会认为：上这样的课，意思不大，因为高考很少考一个公式或定理的引伸问题。
也会有人认为：有意义。因为数学的研究与发展的过程中，数学家们经常是这么在做的。波利亚肯定是支持后者的意见的，而且能培养学生的创造思维。
然而，一个怪现象是：数学考试总是考“新编的”堆砌式的所谓综合题——把几个问题像叠罗汉般地一个个堆接起来，而数学家们几乎从来不搞这一类问题，你说怪吗？恰是事实！
数学考试如何与现实世界接轨，少考一点堆砌式的“综合题”，应该是一个有意义的研究课题吧！]