基于灰色多项式回归组合模型的维修器材 需求预测方法研究

张 磊¹，于战果²，李世民³

(1.陆军边海防学院， 西安 710108； 2.陆军军事交通学院， 天津 300161；3.中国人民解放军63963部队， 北京 100072)

摘要 ：为改进灰色GM(1,1)组合模型在装备维修器材消耗需求预测中随机数据的拟合效果，提高预测精度，提出将灰色GM(1,1)模型和多项式回归模型相结合的方法，深入挖掘序列中除单一指数函数规律外的复杂函数变化规律，建立灰色多项式回归模型；模型首先通过将函数展开为Taylor级数，讨论了运用灰色多项式回归组合模型表征除单一指数规律外的复杂函数形式的合理性；随后给出了灰色多项式回归组合模型指数项系数的求解过程；最后通过运用最小二乘法得到灰色多项式回归组合模型预测式的各项系数；分别运用灰色2项、3项、4项式回归组合模型以及灰色GM(1,1)模型针对同一组历史数据进行了计算，结果表明：灰色多项式回归组合模型可大幅度提高数据的拟合精度，并且随着拟合项数的增加，拟合精度逐渐提高。

关键词 ：灰色多项式回归模型；灰色预测模型；复杂函数；预测精度

一直以来，装备维修器材的消耗需求预测都作为装备保障的重要环节而倍受关注^[1-4]，其基本过程是基于历史数据，采用适当模型，进而推算其在下一阶段所需的器材消耗数量^[1-8]。对于辅助决策工作而言，具有极其重要的意义。

由于影响作用不同历史时期的维修器材消耗量的因素很多，作用规律复杂且历史数据有限^[1-3,5-8]，因此大样本需求量的模型并不适用。在这种情况下，灰色GM(1,1)模型得到了广泛使用^[1-3,5-8]。该模型非常适合用于处理具有“小样本”、“贫信息”特点的不确定性复杂系统问题。

1.创设情境进行问题设置。教师在进行课堂问题设置的时候，应该根据实际情况创设出一定的情境，从而提高数学的趣味性，激发学生对数学的兴趣，学生对有趣味的东西或者问题往往兴趣会比较大，这样学生在学习时也会更加积极，课堂氛围自然也会更加良好。比如说，教师在进行抛物线教学的时候，可以将篮球投篮加入进去，并进行相关情境的创设，学生在学习的时候便会兴趣盎然，积极性也会得到提高。

灰色GM(1,1)模型认为，系统内的数据积累和发展一般都存在能量的积累、存储和释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出，离散的随机数经过累加生成变为随机性被显著削减的带有指数变化规律的生成数列，进而运用指数形式函数构建预测模型。但是在维修器材预测的实际运用中，由于随机因素的作用，数据列叠加后随机特性消除并不彻底，造成实际数据围绕预测曲线上下波动较大的情况^[1-4]，这种“波动”可以通过拟合值和实际值之间的差值(残差)来体现，因此很多研究通过运用各类模型针对不同历史值的残差进行分析，并推算下一阶段的残差作为修正值，对灰色GM(1,1)模型的预测结果进行修正，提高预测准确率。如运用Markov模型预测灰色GM(1,1)模型的残差修正值^[2-3]；运用BP神经网络模型预测灰色GM(1,1)模型的残差修正值^[1]；运用傅里叶变换模型预测灰色GM(1,1)模型的残差修正值等^[5]。

然而，以上对于灰色GM(1,1)模型的运用仅仅适用于在序列累加后数据“大体上”呈指数函数规律变化的情况^[7]。不适用于具有复杂函数形式规律的情形。为更加准确地反映数据列的变化规律，部分学者运用灰色线性回归组合模型^[8-9]体现并拟合出了指数函数规律和线性函数规律叠加序列的情形，取得了很好的效果。但是在随机特性更加明显的装备维修器材需求变化序列中显然不止这两种规律，应该是更为复杂的函数形式。因此本文运用灰色多项式回归组合模型深入挖掘数据列中除指数函数规律外的复杂变化规律，为各类基于灰色GM(1,1)模型残差修正模型的广泛应用奠定基础。

其中，R _n (t )为Taylor级数的余项，是(t -t ₀)ⁿ 的高阶无穷小项，f (t ₀)及其在点t ₀处的各阶导函数值f ⁽ⁿ) (t ₀)(n =1,2,…)均可视为常数。在展开、化简、合并同类项并忽略高阶无穷小项后，函数f (t )可以近似表示为n 阶多项式的形式：

(3)模拟工况测试阻垢率实验。为了使模拟工况测试阻垢率实验不受试样腐蚀的影响，实验选取825耐腐蚀合金，在60℃、常压的条件下进行挂片实验72 h。阻垢率按式(4)计算。

算例结果表明：该模型的拟合效果较传统灰色GM(1,1)模型以及传统灰色线性回归模型有明显提高，且随着拟合采用项数增加，拟合精度也越高，证明了该模型的有效性和实用性。

1 灰色多项式回归组合预测模型的建立

1.1 灰色GM(1,1)模型

其中：C ₁=x ⁽⁰⁾(1)-b /a ,C ₂=b /a ,-a =v ；可以看出，预测式(1)本质上为一个指数函数。

(1)

其中，k =1,2,…,n -1。序列{x ⁽¹⁾}为序列{x ⁽⁰⁾}的一次累加序列，a 为模型的发展系数，b 为模型的灰色作用量。由a 和b 构成的灰色参数向量根据下式确定^[7]：

(2)

其中：

本文使用n型〈100〉 Cz硅片(400 μm，1～10 Ωcm)制备Gr/Si太阳能电池.首先使用紫外/臭氧清洗机处理15 min去除硅表面沾污；然后在去离子水中超声清洗5 min.用稀释的氢氟酸(2%)去浸泡硅片，除去表面较厚的氧化层，用去离子水洗净，最后用氮气吹干.对上述去除氧化层的硅片静置1.5 h使硅表面形成一层薄的自然氧化层(SiOx).

z (k )=[x (k )+x (k -1)]/2

虽然将式(8)两端求高阶导可能产生较大误差，但在模型实际使用中，受历史数据量的限制，不可能使用项数较多的多项式拟合，因而避免了求高阶导数而得到指数系数v 的情形。

1 .2 灰色多项式回归组合预测模型的形式 ^[8-9]

由于方程式(1)的预测形式可以记为

灰色GM(1,1)模型是各类预测中经常用到的模型之一^[7]，假设一维原始序列为{x ⁽⁰⁾(k )}，k =1,2,…,n 。其预测式可以表示为^[7]

“那……”高河也犹豫地举起杯子，“那我就先感谢姑姑和哥哥姐姐们的招待。”杨年丰和“杨晓梅”也举杯，与高河碰了一下。 杨年丰却没有喝酒，又把酒杯放回到桌上。高河本不会喝酒，烈酒入口，只觉辛辣无比。“杨晓梅”尝了一口，呛得伸出了舌头。

用线性回归方程Y =aX +b 及指数方程Y =a e^X 的和的形式来拟合叠加生成序列{x ⁽¹⁾(t )}，因此便得到灰色线性回归组合模型的基本形式：

(3)

其中，C ₁、C ₂、C ₃和v 均为模型的待定系数，由式(3)可以看出，灰色线性回归组合模型可以很好地同时反映出叠加序列{x ⁽¹⁾(t )}中指数和线性的变化规律。

令

培育大学生文化自信，要坚持牢牢把握社会主义先进文化发展方向，坚持社会主义核心价值体系引领，并且处理好批判与继承、外来文化与本土文化的关系，坚持面向现代化、面向世界、面向未来四个原则，以古建筑传统文化的当代价值为载体，以高校思想政治教育为路径，提升高校大学生的文化自信。

因此有：

国家西部大开发战略为我国钾盐钾肥工业的快速发展助力。经国务院批准的西部大开发十大工程之一盐湖集团百万吨氯化钾工程于2000年开建，2006年全面达产达标。此后，我国相继建成多个百万吨钾肥工程。

(4)

待定系数由下式确定：

其中，为在不同步长m 和不同时刻t 的v 值。显然，为不同v 值的平均值，v 值共(n -2)(n -3)/2个。待定系数C ₁、C ₂、C ₃由类似于式(2)的最小二乘法得到。

政府和社会资本合作模式(Public Private Partnership，PPP)，是指政府通过特许经营权、合理定价、财政补贴等事先公开的收益约定规则，引入社会资本参与城市基础设施等公益性事业投资和运营，以利益共享和风险共担为特征，发挥双方优势，提高公共产品或服务的质量和供给效率。[注]2015《政府工作报告》缩略词注释，中央政府门户网站，http://www.gov.cn/xinwen/2015-03/11/content_2832629.htm，2015-03-11。 PPP模式对于增加公共产品供给、改善投融资环境、激活民间资本、深化供给侧改革具有重要意义。

由于N 为样本个数，可以运用最小二乘法确定式(6)中的待定系数：

(5)

同时，f (t )可以展开为其Taylor级数形式：

f (t )=f (t ₀)+f ′(t ₀)(t -t ₀)+…+

由于灰色线性回归模型^[8-9]中通过序列累减的方式消除掉组合模型的线性函数项部分，运用求比值的方法消除指数函数的部分常系数以及变量部分，最后通过求对数值的方法确定指数函数的常系数。然而，这种方法对于数据列的要求较为苛刻，一旦累减序列出现负值时，便不能通过求对数的方法确定系数，而这种情况在实际预测时十分常见，显然在运用灰色多项式回归组合模型进行维修器材需求预测时不能够运用这种方法确定系数。

f (t )=C ₂+C ₃t +C ₄t ²+…+C _n+2 t ⁿ

因此灰色多项式回归组合模型的形式(即式(5))可以表示为

(6)

其中，C _n (n =1,2,…,n +2)和为模型待定系数。由式(6)可以看出，灰色多项式回归组合模型的形式由1个指数函数和1个n 阶多项式函数累加而成。能够表述除单一指数函数外的各类复杂函数形式。同时，这种叠加的形式能够完整体现数据中的指数函数规律，要优于单纯的多项式回归模型。

第三，二元创新会在创业营销对新创企业绩效的影响中起到中介作用。其中探索性创新分别在超前行动、机会导向、风险承担以及资源整合与新创企业绩效之间起到中介作用。企业的超前行动和对市场机会的追求会促使企业开展探索性创新活动，并且在此过程中会注重资源整合和风险评估等。而利用性创新分别在机会导向、创新性、风险承担与新创企业绩效之间起到中介作用。“三只松鼠”的创新活动更加倾向于对坚果类产品和现有电商服务活动的深度挖掘，从而获得新的市场机会，并强调风险承担在服务过程中的重要性，严格控制和处理风险事件。

1.3 模型灰色发展系数的确定

不同于传统的灰色线性回归组合模型^[8-9]，灰色多项式回归模型的待定系数则不能通过累减、求比值等过程消除C _n (n =1,2,…,n +2)后通过求解对数得到系数因为就维修器材需求数据随机性较强的特点而言，其经过一阶累加后不能保证式(4)中Y _m (t +1)/Y _m (t )的值处处大于0。也就是说，无法运用式(4)进行计算并进一步得到系数的值。

这主要是由于函数(6)为变量t 的连续函数，而式(6)所需要拟合的函数则是仅仅“大体上”呈现出式(6)变化规律的随机离散值点，其随机特性使得序列累减后求得级比值小于0的情况经常发生。因此，传统灰色线性回归组合模型中用于确定指数系数的方法并不适用于维修器材消耗需求的预测。

说到底，她才是这段失败婚姻的缔造者，因为她从来都没想过何谓风雨同舟。这些年来，她习惯了躲在杜飞为她撑起的屋檐下，心安理得地享受着岁月静好，却从未意识到她所享受的一切，都源于杜飞的负重前行。可惜，现在明白，为时已晚。如果再给她一次机会，她一定要做那样的人：有足够的能力与爱人并肩前行，有足够的智慧寻找解决问题之道，有足够的意志负责未来。

由1.2节的论述可以知道，灰色GM(1,1)模型的预测式可表示为

(7)

其中，和v ′为待定系数。

虽然式(6)和式(7)描述的为不同类型的曲线，但均是用于拟合同一组随机离散点的近似曲线，两曲线在相同时刻带入拟合方程的点相同。也就是说，在理想状况下，两曲线重合，且均经过序列{x ⁽¹⁾(k )}上各点。在一般状况下，两类曲线的具体形式均是通过拟合随机序列{x ⁽¹⁾(k )}的最小二乘法得到，两曲线也是大致接近的，因此可以近似认为

(8)

对式(8)两端求n +1阶导可得：

化简后可得：

(9)

因为式(9)左侧应为常数，所以有：

v ′=v

(10)

由式(10)可以知道，灰色多项式回归模型的指数项的指数系数可以通过求解灰色GM(1,1)模型得到：

数据驱动中关于操作模式优化的定义：在允许的操作模式空间Ω中，寻找最优的操作模式Popt，在该操作模式的作用下，使得生产的工艺指标达到最优[13]。即：表示工艺指标。对于纸浆洗涤过程就是从过程的运行数据中挖掘出输入条件、状态参数、操作参数以及工艺指标之间的关系，并根据输入条件以及当前状态，寻找合适的操作参数。

如何把这样一项政策性强，涉及到社会多方利益广泛的工作做好。解决医疗服务价格长期偏离医疗服务成本变，服务价格内容与服务成本结构不符，影响服务成本补偿和医务人员分配利益及价值取向的问题。医疗服务价格既不能简单地理解为纯公益性，也不能单纯理解为经营性，而是坚持具有一定福利的公益性的事业这一前提。做好与财政补助，医保支付，患者需求，医疗服务提供，物价水平，支付能力，三医联动等相关部门沟通与政策因素协调。

(11)

其中，N 为样本个数。由(1)式确定的发展系数a 反应了维修器材消耗量的发展态势，若a < 0，则说明器材消耗数量的发展态势是增长的，a 的绝对值越大，增长越快；若a > 0，说明数据的态势是减小的，a 越大，减小越快。

同时，虽然式(11)为近似得到，但a 为序列的灰色发展系数，仅反应随机序列的发展趋势，并不影响组合模型的整体拟合精度。由此可知，v ′可以视为灰色多项式回归组合预测模型的灰色发展系数。

1.4 模型待定系数的确定

除单一指数函数规律和线性函数外，维修器材需求数据的变化往往体现出更为复杂的函数规律。假设除单一指数函数规律外，随机序列一次累加后所体现出的复杂规律的函数为一个关于时间t 的连续函数f (t )。用函数方程Y =f (X )及指数方程Y =a e^X 的和的形式来拟合叠加生成序列{x ⁽¹⁾(t )}：

本文运用函数的Taylor级数展开形式表示任意复杂函数并论证了灰色多项式回归模型的合理性，通过推导给出了组合模型指数项系数的求解方法，最后运用最小二乘法确定灰色多项式回归模型中的各项系数。

(12)

其中：

可以看出，当C ₄=C ₅=…=C _n+2 =0时，式(6)退化为灰色线性回归组合模型。当C ₃=C ₄=…=C _n+2 =0时，式(6)退化为灰色GM(1,1)模型。由此，灰色多项式回归组合模型解决了灰色序列指数规律和复杂函数规律叠加的问题。

在实际预测应用中，系数C _n (n =1,2,…,n +2)均起着修正拟合并提高精度的作用，均描述着随机灰色作用因子对于时间序列作用^[10]的结果。因此均可视为灰色作用量。

进行累减还原得到预测值：

(k =1,2,…,N )

(13)

1.5 残差和相对误差

预测值的残差：相对误差为

(14)

在模型使用过程中，模型所使用拟合的项数越多，就越接近式(6)，取得的拟合相对误差就会越小。但是在维修器材需求预测中，数据通常体现出小样本的特点，因此拟合方程数量有限，不可能采用过多的项进行拟合。当拟合项数过多时，不仅会因拟合方程需求数量过多而降低拟合效果，甚至可能导致拟合多项式系数无法求解的情况。

2 实例分析

本文选取某装甲装备在8个不同时间段内的维修器材需求数据作为实例，数值序列为：{x ⁽⁰⁾}={285,329,347,365,396,432,483,512}，{x ⁽¹⁾}={285,614,961,1 326,1 722,2 154,2 637,3 149}，利用式(1)计算GM(1,1)模型序列中发展系数为-0.077，由式(11)得

分别选取2项式模型、3项式模型和4项式模型拟合数据，三类模型可统一表示为

第三个大的问题就是公共财政体制的预算管理当中的问题。比如说，前面已经提到了，大量的财政收支都是预算外的收支，各部门自行收支和“小金库”的失控。而且财政信息的透明度比较低，对财政支出的监督软化而且无从问责。比如说上任的审计署署长李金华在任的时候每年会刮起“审计风暴”，审计的结果是每个部门都有问题，为什么？这也是某种程度上来讲和我们人大的监督弱化有关系。

(15)

式(15)中当C ₅=C ₄=0时，式(15)为2项式模型(线性回归组合模型)。C ₅=0时，式(15)为3项式模型。均不为0时，式(15)为4项式模型。由式(12) 、式(13)计算系数可得结果如表1所示。

表1 各类灰色多项式回归模型系数

将表1中各阶模型系数结果分别带入式(15)计算拟合结果，由式(14)计算相对误差，同时计算灰色GM(1,1)模型拟合结果，结果见表2。

表2 不同模型预测计算结果

由计算结果(表2)可以看到，灰色多项式回归组合模型的拟合相对误差较灰色GM(1,1)模型有了显著的减小，且随着拟合多项式项数的增加，拟合精度逐渐提高。特别是当拟合多项式为3项和4项式时，平均相对误差由1.84%和1.79%降为0.85%和0.74%。说明灰色多项式回归模型能够更好地挖掘变化序列中的复杂函数形式变化规律，提高拟合精度。同时，随着灰色多项式拟合项数的增加，运用最小二乘法拟合求解所需的数据量也就越多，但在实际运用时数据数量均是固定的，所以使用的拟合项数过多反而会影响拟合效果。本例中数据个数为8个，仅能提供8个拟合方程，当使用灰色8项回归组合模型时将产生9个未知系数，则无法通过最小二乘法得到结果。

3 结论

1) 除单一指数函数规律外，灰色多项式回归组合模型可以用于拟合随机序列叠加后的任意复杂函数规律。

2) 在装备维修器材需求预测问题中，灰色多项式回归组合模型可以有效提高灰色GM(1,1)模型的预测精度，且采用灰色多项式拟合项数越多，拟合精度就越高。

由图9可知，支架护帮板的最大变形为0.26 mm，最大应力为710.35 MPa。虽然护帮板的变形很小，但是应力较大，比较接近屈服极限890 MPa，属于支架的薄弱环节，在对支架进行结构修改时应提高护帮板的强度。

3) 随着采用灰色多项式拟合项数的增多，误差修正的幅度也随之减小，说明随着时间t的次幂越高，该修正项对于整体预测值的修正效果越小。

4) 由于在维修器材实际预测中数据量有限，不宜采用过多的拟合项数，否则将影响拟合精度，甚至无法求解多项式系数。

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Study of Equipment Material Demand Prediction Method Based on Grey Polynomial Regression Model

ZHANG Lei¹, YU Zhanguo², LI Shimin³

(1.Army Academy of Border and Coastal Defense, Xi’an 710108, China; 2.Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 3.The No. 63963^rd Troop of PLA, Beijing 100072, China)

Abstract : In order to improve the fitting effect and precision of GM(1, 1) model in the prediction of consumption demand of equipment maintenance materials, the GM(1, 1) model and polynomial regression model were combined to study the complex law, besides the single exponential law. The Grey polynomial regression combined model was constructed. Taylor series was used to study the rationality of grey polynomial regression combined model, and the coefficient of exponential function part was solved. Finally, the coefficients of Grey polynomial regression combined model were solved by least square method. Grey binomial, trinomial and quadrinomial combined models and GM(1, 1) model are used to study the same set of data. The result shows that, Grey polynomial regression combined model can improve the precision effectively, and the more terms of Grey polynomial use, the more precise the regression model is.

Key words : Grey polynomial regression model; Grey prediction model; complex model; prediction precision

本文引用格式 ：张磊，于战果，李世民.基于灰色多项式回归组合模型的维修器材需求预测方法研究[J].兵器装备工程学报，2019,40(1):179-183.

Citation format :ZHANG Lei, YU Zhanguo, LI Shimin.Study of Equipment Material Demand Prediction Method Based on Grey Polynomial Regression Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2019,40(1):179-183.

中图分类号 ：E92

文献标识码： A

文章编号 ：2096-2304(2019)01-0179-05

收稿日期 ：2018-07-18；

修回日期： 2018-08-25

基金项目 ：全军后勤科研计划项目

作者简介 ：张磊(1983—),男,博士,主要从事人工智能技术及其军事应用研究，E-mail:zhanglei_martin@sohu.com。

doi: 10.11809/bqzbgcxb2019.01.037

(责任编辑 唐定国)

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