高效数学教学行为特征指导下的数学课堂教学设计——以“函数概念”教学设计为例，本文主要内容关键词为：教学设计论文,高效论文,为例论文,指导下论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
“高效数学教学行为特征理论”是王光明博士主持的全国教育教学“十一五”规划教育部重点课题——基础教育高效教学行为研究成果，该成果指出：“高效数学教学行为与低效教学行为相比较应该凸显科学性、智慧性与艺术性等特征.其中，‘科学性’是指数学教师在教心、导学与发挥数学的教育性方面的教学行为更具有合理性，教心指能够围绕作为教育任务的数学的‘心脏’开展和组织教学，即能够恰当确定教学目标以及教学重点与难点，并以此恰当组织数学教学，在数学认知方面重视促进学生的深刻理解，与帮助学生建立良好的数学认知结构，在非认知方面促进激发学生的数学求知欲与求识欲，在元认知方面给予学生必要的数学学习方法指导，恰到好处地发挥数学的教育性，让学生适时沐浴数学精神、思想与方法，获得理性的数学思维的教育.‘智慧性’是指在选择教学内容以及教学方法等方面具有智慧，在调控教学节奏方面也显现着教学的智慧.“艺术性”是指在教学、形体与板书语言方面以及管理方面显现着艺术特征.”[1]
课题组在高效数学教学行为特征理论的指导下，认真研读数学课程标准、教材以及学习有关函数概念历史演变的基础上，进行了广泛调研，发现对函数概念的认识仍需提高，课堂教学仍有许多需要改进的地方.以下就函数概念课堂教学目标的确定与构建以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的课堂教学基本模式谈点浅见，并给出教学过程设计，供同仁参考.
二、课堂教学目标的确定
普通高中数学课程标准对函数概念课堂教学提出的要求与建议为：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；构建函数的一般概念.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域[2].那么，在课堂教学中，如何落实以上两个“体会”？又如何构建函数的一般概念呢？显然，前两个“体会”是构建函数一般概念的基础，如果真正“体会”到了，那么构建出函数一般概念自然是水到渠成的事了.
1.如何进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型
普通高中课程标准数学实验教材人教版A、B版、北师大版、苏教版、鄂教版在引入高中函数概念时，均是通过如下4个步骤来实现：（1）回顾初中函数概念；（2）列举3～4个函数实例；（3）用集合与对应的观点对实例中的函数进行解读；（4）陈述高中函数概念.即教材的呈现方式为：
课题组外出调研、听课中发现老师们的课堂教学内容也基本上通过选用这种呈现方式实现课标要求.课堂教学中师生活动为：师生共同回忆初中函数定义，教师提问每个实例中有几个变量？变量之间又有怎样的关系？然后，学生回答一个又一个问题后，教师给出高中定义，并反复解释引入函数符号f的意义，完成高中定义的学习.这样的教学过程，首先，表面上看学生积极主动地参与了函数概念的形成过程，但是学生只是各项指令的机械执行者，并不知道整个活动的目的，学习处于被动的接受状态，因而很难形成深刻的思维活动.其次，还极易给人造成“高中定义”比“初中定义”更高级、更严格的误解，从而被多数教师认为“初中定义”是“高中定义”教学的恰当起点.
众所周知，两个定义本质是一致的，是从不同的侧面认识函数概念，不能说成后者比前者更好，或者“对应说是现代化的”，“变量说是陈旧的”等[3].如果说两个定义不同的话，那就是把“初中定义”中与x对应的数y通过引入“对应关系”符号f，换成f（x），就演变为“高中定义”，其他什么都不能说.教学内容是否可以这样呈现：
由框图（Ⅱ）可以看出：“高中定义”教学的起点：或者是两个变量间的对应关系，或者是两个变量间的依赖关系（包括变量概念），甚至是对现实世界中运动事物或变化现象中变量的分析.对此，课题组设计了2012年秋季9月1号开学的新高一和新高三调研题各100份，进行了教学前的测试和统计，发现面对实际情境能“鉴别”出其中的变量并用字母表示，高一占10%，高三占20%；能自觉分析哪些变量之间存在依赖关系，并用一个变量表示另一个变量者，高一占4%，高三占11%.可见，给出实际问题，让学生自觉运用数学的眼光观察并发现运动事物或变化现象中哪个是变量（呈现方式（Ⅱ）），并在此基础上自觉推断“一个变量依赖于另一个变量的变化而变化”的事实，是非常困难的.
在函数概念教学中要做到：“不要学生暗记定义，不应该使学生机械地应答所发生的问题；必须使学生注意一量与它量的关系，或一量为其他数个量所决定的实例；且随时使学生考察其间的关系及其相互作用.”[4]
“思考问题时，什么是不变的，什么是变的，发生变化的量之间有没有关系，如何来描述这些变量以及变量之间的依赖关系，这些思考，不仅在高中数学学习中、大学数学学习中以及在数学的应用中，都是非常重要的.对变量之间的依赖关系的认识，有人把它当做认识函数的低级阶段，这种看法是值得商榷的.”[5]
弗赖登塔尔认为：数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实[6].在这个过程中，真实与数学之间的翻译转换是主要的数学活动.（参考Freudenthal,1983,vomHofe,1998）
因此，从实际情境中“鉴别”出变量及在此基础上“推断”两个变量之间的依赖关系是“高中定义”教学的恰当起点.
由于具体明确的课堂教学目标（学生的学习结果）必须用可以测量、观察、评价的动词来表述.研究者对课标中描述过程目标的行为动词“体会”一词进行“认知化”处理，将其转化为描述结果目标的行为动词“理解”，又对《布卢姆教育目标分类学（修订版）》中认知过程“理解”这一内隐的心理活动动词，转换成了相应的外显性行为动词“推断”（“推断”出两个变量之间的依赖关系），并与“鉴别”（“鉴别”出现实世界中运动事物或现象中的变量）和“应用”（“应用”方程式表达依赖关系）组成了复杂认知过程来实现课标目标：进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型.
美国“QUASAR”计划的研究者在观察中发现：“高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高.”[7]
事实上，呈现方式（Ⅱ）是将呈现方式（Ⅰ）中对数学模型的认识，变为建立数学模型，因此对学生的认知能力、思维能力更高，也更能激发学生学习的兴趣和积极性，学生的学习，不仅从机械的接受学习变为有意义的建构性学习，而且在经历“再创造与再发现的过程”中，学生的灵性得以释放、数学体验得以生成、创新意识得到发展[8].
2.如何体会对应关系在刻画函数概念中的作用
“体会”某事物的作用，是对某事物进行“评价”，（“评价”是《布卢姆教育目标分类学（修订版）》中认知过程类别中的第五个认知水平），而“评价”有两个亚类——检查、评论（判断），在这里是“判断”，即能正确“判断”（评论）“对应关系”在刻画函数概念中的作用.让学生“判断”（评论）两数集中变量之间的“对应关系”为变量y是变量x函数的关键要素的同时，认识到有些“对应关系”下的两个变量可以用变量x表示出变量y（一定要通过实际问题让学生亲自动手练习用x表示出y）.
那么，在用图象、表格表示的“对应关系”下的两个变量是否也能做到“用变量x表示出变量y”的问题油然而生，教师因势利导地提出：两个数集中两个变量之间在3种类型（解析式、图象、表格）的“对应关系”下，又怎样一般地用变量x表示出变量y呢？通过这样的元认知提问，学生自然产生一种用符号表示“对应关系”的心理需求，创造性地引入符号f表示“对应关系”不仅成为可能而且水到渠成.
所以，研究中仍用“用复杂的认知过程去帮助实现较简单的目标.”即用“分析”、“判断”与“创造”这样的认知过程类别实现课标目标：体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
综上所述，从实际情境中“鉴别”出变量及“推断”两个变量之间的依赖关系作为课堂教学起点目标（也是重点）；“判断”对应关系在刻画函数概念中的作用（也是重点），创造性地引入符号f是使能目标（也是难点）；形成函数的一般概念，获得y=f（x）为课堂教学终点目标.
3.为什么强调让学生经历数学概念的形成过程
普通高中数学课程标准对概念教学提出：要引导学生经历从具体事例抽象出数学概念的过程，注重体现基本概念的来龙去脉.这又是为什么呢？
概念是简化世界的类目，是将一系列物体、事件和思想进行分类的心智结构，它们占据了学校课程很大部分的内容（Klausmeier，1992）.概念是重要的，概念反映思想，但概念并不出思想，不是通过概念的变换产生思想的，相反，思想产生概念，思想不出自概念，而概念则出自思想.比起概念来，思想内容更重要；比起形式定义来，概念实质含义更重要[9].
数学在其自身的发展进程中早就成功地孕育着、蕴涵了诸多科学的客观规律.概念是思维的一种形式，概念的形成过程与思维过程中使用的方法是一致的，这些方法既是数学研究的基本方法，也是教学的方法.揭示“知识发生过程”的教育有助于培养创造性[10].
因此，数学概念的学习过程，不仅是学生主动建构知识的过程，而且也是学会数学思维，发展数学能力，感悟数学思想，积累数学活动经验的过程.也就是说通过概念教学可以落实培养能力和提高素养的目标.
4.概念教学中主要培养学生的数学概括能力
数学的历史展示了数学理论的形成和发展也是一个不断概括的过程.事实上，人类社会现有的概念（当然包括数学概念）都是在人类社会历史发展的过程中，随着劳动实践和社会经验的积累，在经验概括的基础上形成的[11].因此，概念教学中应落实培养学生数学概括能力为主的能力培养目标.
三、构建以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的概念课堂教学基本模式
本着知识传授与能力培养相协调的教学原则，课题组设计了以“知识”为载体，“引导学生自主发展数学概括能力”为主线的概念课堂教学基本模式（如下页框图），完成概念的教与学.当然，教学设计时，根据具体数学概念的特点，在改造本模式基础上，构建更切合实际的教学模式.
教学过程中，针对不同的概括内容（如数学关系、数学结构、数学符号的意义、运算与推理、数学思想方法等）突出数学观念在指导数学思维过程中的作用，协调各种数学能力，树立概括意识，把握概括方向，遵循概括的阶段[12]（观察阶段、抽取阶段、筛选阶段、推广阶段、确认阶段），灵活运用概括的方式（归纳式概括、类比式概括等）分阶段、分类型帮助学生构建起对数学概念学习时进行概括的完善的认知结构，引导学生自主发展数学概括能力.《数学思维能力结构的定量分析》一文中指出了数学概括能力主要由形成数学概念的概括能力、形成数学通则通法的概括能力和迁移概括能力3种能力因素构成，且后两种能力起主导作用决定着总体概括水平.
因此，在函数概念课堂教学中，形成环节（“现实”→依赖关系→对应关系→引入符号f→f（x）→函数概念）主要引导学生自主发展形成函数概念的概括能力；理解、深化、运用、巩固、升华环节（若干数学对象→共同特征→规律），主要引导学生自主发展形成通性通法的概括能力与迁移概括能力.当然，数学概括能力的培养要与其他能力的培养同时进行，使其协调发展.
四、教学过程设计
1.创设情境并提出研究问题
问题1：思想家、科学家、数学家都强调用数学方法来研究事物或现象的运动变化规律.那么，利用数学方法或数学的眼光研究运动事物或变化现象的着眼点是什么？我们最感兴趣的是什么？以公路上匀速行驶的汽车为例.
设计意图：提倡数学教师从数学知识起源和历史中寻找数学课堂上讨论的话题和材料，并强调数学历史不是帮助学生解题的，而是为师生提供多种理解数学知识的视角[13].本问题的提出是为了让学生了解函数概念产生的背景，感受函数概念源于“现实”的基本思想.但考虑到提的问题太大，教师举出一个学生非常熟悉的公路上匀速行驶的汽车，引发学生思考，激发探究的欲望.同时为学生能顺利举出类似事例，“鉴别”出其中的变量，概括出蕴含于其中的变量之间的“依赖关系”埋下伏笔.
2.学生探索，推断依赖关系
问题2：现实世界中，涉及两个变量且其中一个变量依赖于另一个变量变化而变化的运动事物或变化的现象多吗？
设计意图：让学生自己举例，并通过“鉴别”出其中的变量，推断出其中的变量之间依赖关系的训练，学生感受到研究本类问题的重要性与必要性，使得对“一个变量依赖于另一个变量变化而变化”的事实加以命名（前一个变量叫做后一个变量的函数）成为必然.
问题3：请同学回答初中给函数概念下的定义.
3.语言变式，识别对应关系
问题4：在这个定义中，要说y是x的函数，这两个变量之间必须具备怎样的关系？
问题5：与前面提到的“依赖关系”含义一致吗？
设计意图：通过语言变式，换一种说法，识别出“对应关系”，为用“对应关系”描述变量之间依赖关系奠定基础.
4.师生交流，归类对应关系
问题6：请同学们具体说一说两个变量之间是怎么对应的？是一一对应吗？
设计意图：虽然不少老师并不赞成在“一一对应”或“多一对应”下工夫，但是，教师的教学实践和教学观察认为：这是学生逐步认识，学会用“对应关系”刻画变量之间依赖关系不可缺少的必经阶段.数学知识的生长不在于记住一个个抽象的概念和命题，而在于和它之前的背景知识交融在一起形成解决问题的能力.
5.转换情境，推断对应关系
出示人教社A版教材模块1第15页的3个问题，让学生“鉴别”出变量，写出变量的取值集合，推断“对应关系”，并判断变量之间是否是函数关系？
设计意图：下面的一些原则可以指导教师：提供足够丰富多样的例子以避免学生形成的概念不够概括化；在开始时用一系列最典型的例子，最后采用学生最不熟悉的例子[14].
6.师生交流，评论对应关系
问题7：要说变量y是变量x的函数，数集A、数集B、“对应关系”你认为哪个因素更重要些呢？
7.创设问题，产生引入f的可能
问题8：两个数集中的两个变量在它们的“对应关系”下，有的可以用其中一个变量x表示出另一个变量y；有的（图象、表格表示的“对应关系”）却无法用其中一个变量x表示出另一个变量y.如果用图象、表格表示的“对应关系”下，两个变量也能用其中一个变量x表示出另一个变量y的话，那么就可以把在3种类型（解析式、图象、表格）“对应关系”下的两个变量，一般地用变量x表示出变量y来，实现统一和谐之美！
设计意图：为引入数学符号表示对应关系，制造了强烈的、合乎自然逻辑的认知冲突，提出高认知水平的问题，引发学生思考，激发学习动机与探究的欲望.
8.唤醒经验，启发设计方案
问题9：以前学习中，你有为表达两个数集变量之间的“对应关系”而引入数学符号的经验吗？
设计意图：数学家笛卡儿曾说：“我们解决的每一个问题都将成为一个范例用于解决其他问题.”面对一时难以解决的困惑，不妨从“历史经验”中寻找启发.“历史是最好的启发式”[15].
生1：绝对值符号｜｜：a→｜a｜；算术平方根符号
：a→
（a≥0）；正弦符号sin：A→sinA.
问题10：那么，要表示两个数集变量之间的“对应关系”，你们觉得应引入一个什么样的数学符号呢？
设计意图：类比是提出新问题和得到新发现的重要途径，是教学的重要指导思想.由符号｜｜、、sin到符号f是一个弱抽象的过程，或由下位概念到上位概念的过程.不论是下位概念到上位概念的抽象过程，还是从上位概念到下位概念的抽象过程，都是认识的深入，都是认知水平的提高，从不同侧面的提高，而这正是教学中所要把握的认知心理发展特点.教学中需教师帮助学生搭建探究、思维平台.
生2：受生1的启发，引入一个符号就可以，并且y可以用引入的符号表示出来.
师：教师板书：符号“Δ”：x→y，且y可以用“Δ”表示出来，师生讨论后引入f：x→y（当然，f也可以用g，p，h等表示）.
问题11：生2同学说y可以用f表示出来，而前面提出的要研究的问题是变量x表示出变量y来，两者结合起来，下面要研究的问题是什么？
设计意图：数学符号要便于进行数学思维才有生命力，反过来，为了进行数学思维必须使用数学符号，必须学习和掌握数学语言（由符号表达）[16].
生3：用x，y表示出变量y来.
9.师生交流，启发寻找思路
问题12：遇到抽象的问题如何处理呢，你有想法吗？
设计意图：教师应引导学生探索解决问题的方法.波利亚指出：类比提供了一种可能的解题模式.即在解决某个问题之前，先“选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法以便用作一个模式，然后利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决.”
生4：研究一下能求出具体“解析式”的函数是如何用x，y表示出变量y的.
10.转换表征，建构f的涵义
问题13：为了更直观、清晰表达你写的两个数集A，B之中变量x与y之间的“对应关系”你还有其他方法吗？
设计意图：多元表征理论认为：数学概念的本质往往隐含在丰富多彩的表现形式中.概念的表征形式常见有：语言表征、符号表征、图形表征、操作表征、情景表征等.教学中需要教师对数学概念进行多元表征，力求从直观形象的角度对数学概念进行挖掘，赋予静态抽象的数学概念以丰富直观的背景，促进学生理解.
问题14：你能说一下“对应关系f”的含义或功能吗？
设计意图：美国数学史家D.J.Struik曾经指出：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理.而合适的符号，它就带着自己的生命出现，并且它又创造出新的生命来.”[17]
生5：通过上面的讨论可以看出：数集B中唯一确定的与数集A中变量x对应的变量y是对变量x实施“对应关系f”得到的.
生6：y是经过f对应过来的.
生7：“对应关系f”的含义就是使x与y对应起来.
11.师生交流，生成符号f（x）
问题15：这样，如何用x，y表示出变量y呢？
设计意图：如果一个聪明的学生没有足够的机会通过自身的经验来使自己相信，数学符号组成的语言有助于思维，那么，他对代数的这种反感是无可非议的.帮助学生获得这样的经验是教师的一项重要任务，是他最为重要的任务之一[18].
许多数学家都有一种感觉，从数学符号中得到的东西比输入的更多，它们好像比它们的创造者更聪明.有些符号似乎具备一种神奇的力量，能在其内部传播变革和创造性发展的种子.有些时候，仅仅是因为选择适当的符号，就产生了十分重要的数学成果[19].
生：用x，y的加、减、乘、除等运算都不行.
师：在18世纪，数学家莱布尼兹已经解决了该问题，他是将y换成符号f（x），即x→f（x）=y.这样，可以将用f：x→f（x）来表示“对应关系”了，也实现了用x，f表示出变量y，即y=f（x）.
12.运用f（x），形成函数概念
问题16：请一名同学回答运用符号f（x）表述y是x函数的理由.
13.概念变式，理解深化概念
问题17：谈谈你们对教材给出的定义的认识.
设计意图：概念定义了，但并不等于认识了，为了准确地认识概念，必须从不同的侧面、不同角度去挖掘它，深化对概念的理解.一般来说，先有理解再有认识，理解是过程，认识是结果.王光明博士认为：理解是数学学习的重要环节，“懂而不会的”现象说明学生对数学知识的学习并未达到真正的理解[20].
一般地，从以下几个方面理解、认识、深化数学概念：从定义的重要词句上剖析，找出其内涵和外延；从结构上进行剖析，建立与原认知结构的联系；通过反例来剖析概念，建立清晰的认知结构.反例辨析的方法主要采用命题判断与变式（概念变式主要包括：图形变式、式子变式、符号变式、等价说法等）两种形式，通过变式利用外延来检验概念.
生8：函数值域是由定义域和对应关系f：x→f（x）决定的.
生9：定义域中的数必须能让“对应关系f”能对应它.
问题18：如果判断两个函数是否是同一个函数，需要看什么？
问题19：（教材例题，略）设计意图：通过解题可以促使学生对数学概念的理解，学会“数学地思维”，同时也是评价学习的重要方式.本着教学活动、教学目标、测量评估一致性原则，精心选择几道难易适中的典型问题，引导学生尽可能独立地思考、分析、探索问题，从中感悟函数概念、基本方法的应用.教师针对学生存在的问题，借题发挥，进行示范性讲解.教师的分析要重联系、重转化、重本质，概括提炼规律，由例及类，教给学生分析问题、解决问题的方法.形成规律的概括大体上可以按照这样的模式进行：若干数学对象→共同特征→规律.
14.变练演编，运用巩固概念
问题20（变式训练略）
设计意图：概念的获得最终是为了获得思维过程的训练和更高级的运用.“运用概念的能力是掌握概念的标志”，在概念运用中把抽象与具体、直观与逻辑有机地结合起来，从而使学生获得广泛的数学活动，促进学生深层次的认知参与，提高学生的思维水平.变练是指教师通过对概念、图形背景、题目的条件或结论、题目的形式等进行多角度、全方位的引申，编制形式多样（最好是具有探索性、开放性）的问题，让学生讨论、交流、解答，以加深学生对问题的理解；演编是指学生在对知识、问题有较深的理解的基础上，自己模仿或创造性的编拟数学（变式）题，供全班同学研究或解答.实践证明，编题实践是学生概括能力、创新精神和实践能力得以锻炼和表现的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法.
15.反思小结，提炼升华概念
问题21：通过本节课的学习，你对函数概念有了那些新认识？有哪些收获？（知识、思想、观点方面）
设计意图：回顾在获得函数概念（y=f（x））的艰难曲折历程中师生所做的概括工作.即体会“现实→依赖关系→对应关系→引入f→f（x）→函数概念”过程中所用的思想、概括方法，体会数学总是从大量的具体实例出发，辨别、抽象、分化、提出假设与检验假设以及概括，最后用符合习惯用法的语言（包括符号语言）去代替这个新概念的内容.进一步认识到y=f（x）中x，y代表了现实世界中满足特殊对应关系f的两个变量；体会概念是简化世界的类目.
16.引发问题，做好后续铺垫
问题22：本节课构建了函数模型y=f（x），来刻画描述现实世界中运动事物或变化现象.那么，要了解运动事物或变化现象的规律，就需要研究函数y=f（x）？
设计意图：函数一节的教学应成为本章各节的教学典范，即从研究方式上看指数函数、对数函数、幂函数与函数一节是一致的，同样是“现实—数学—现实”的过程.事实上，在后续的学习中，这样的研究过程还会不断地重复下去，而这样的过程的不断重复，就能够使学生掌握研究数学的一般方法：原来数学研究就是这样进行的[21].
17.信息反馈，形成性测试
标签：数学论文; 符号函数论文; 数学素养论文; 函数依赖论文; 认知过程论文; 特征函数论文; 教学过程论文; 课堂教学论文;