——由中考数学压轴题引发的思考
成都市龙泉驿区同安中学校 陈小英
【摘 要】近年来，各地数学中考压轴题多以二次函数与 几何问题相结合的综合题形式出现，这类题难度大，综合性强。 所以，这类题在中考复习中既是重点，也是难点。本文就以二 次函数为基架的等腰三角形存在性问题为例，从解题策略、拓 展延伸变式题目、通用解法和设计理念等几个方面进行探讨。
【关键词】等腰三角形；存在性问题；解题策略；分类讨 论；两圆一线
【正文】近些年来，二次函数和几何问题相结合的综合题作为 各地中考题的压轴题已成为出题趋势，经过分析发现主要有以下类 型：二次函数与三角形或四边形面积的最大值相结合；二次函数与三角形或四边形周长的最小值相结合；二次函数与相似三角形相结 合；二次函数与特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的形状判 断相结合；二次函数与两条线段的最小和或最大差相结合；二次函
数与定值问题相结合。问题的提法多以“是否存在…，使得…，若存在，求出…点的坐标，若不存在，请说明理由”，“求最大值或最 小值和此时…点的坐标”或“猜想……是否为定值，若是定值，请 求出这个值，若不是定值，请说明理由”等形式出现。但不管是哪 种类型，也不管是哪种形式，既然是压轴题，难度可想而知。下面 就以二次函数与等腰三角形的存在性问题为例，对这种问题的解题 策略、拓展延伸题目、通用解法和设计理念进行探究。
【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 X 轴交于点 A（-1,0），B（3,0），与 Y 轴交于点 C，直线 BC 的解析式为 y=kx+3，抛物线的顶点为 D，对称轴与直线 BC 交于点 E，与 X 轴交于点 F。
（1）求抛物线解析式及点 D、E 的坐标；
（2）判断△CAF 的形状，并说明理由；
（3）在 X 轴上是否存在点 G，使得△ACG 是以 AC 为底边的 等腰三角形，若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由。
一、解题策略
问题（1）答案略；问题（2）先确定点 F 的坐标，观察图形，猜想其为等腰三角形，由题可得 OF=OA，再由 CO 垂直平分 AF 可以验证猜想正确；问题（3）题目指明了以 定长 AC 为底边，因此可以根据等腰三角形的重要性质“三线合一”作出 AC 边的中垂线，若与已知直线（X 轴）有交点，则存在且交点即为所求，否则不存在。此题存在符合题意的点 G，所以可进一步设出点 G 的坐标， 用距离公式表示出 AG 和 CG 的长，根据二者的相等关系建立方程
即可求解。
二、拓展延伸
此题目的题干条件不变，可以将问题进行拓展延伸，得到以下 变式问题：
（4）在 X 轴上是否存在点 G，使得△BCG 是以 BC 为腰的等腰三角形，若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由。
【分析】此题渗透了分类讨论思想，以定长 BC 为腰，因此要 分两种情况进行讨论，因为点 B 和点 C 都可以成为顶角的顶点， 即有 BC=BG 和 CB=CG 两种情况，同样设出点 G 的坐标，用距离公式求解。
(5)在抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得△MAC 为等腰 三角形，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由。
【分析】此题难度又增加了，没指明哪条边是腰哪条边是底边，所以要分三种情况讨论，即 MA=MC,AM=AC,CM=CA，再用距离 公式求解
（6）在 Y 轴上是否存在一点 R，使得△RBC 为等腰三角形，若存在，求出点 R 的坐标，若不存在，请说明理由。
【分析】此题解题思路同问题（5），只是所求点的位置从对称 轴上变到了 Y 轴上。
（7）若点 P 从 A 点出发沿 X 轴向 B 点运动，运动速度为每秒 1 个单位，同时点 Q 从 B 点出发沿直线 BC 向 C 点运动，运动速度 为每秒根号 2 个单位，连接 PQ、PC，当其中一个点到达终点时， 另一个点也随之停止运动。设运动时间为 t，当△CQP 是等腰三角形时，求 t 的值。
【分析】此题难度再次提升，与动点问题相结合，但问题的本质并没有变，还是研究等腰三角形，只是需要根据题设条件先用 t表示出三边 CQ、CP、PQ 的长，再分三种情况讨论，即 CQ=CP、 QC=QP、PC=PQ。
三、通用解法
对于解决二次函数与等腰三角形相结合的题目，要综合运用数 学思想与方法去解决，比如数形结合思想、分类讨论思想、方程思 想、转化思想，通用解法可以归纳为两种：代数方法和几何方法， 当然这二者各有侧重，又是相互渗透的。
（一）代数方法
（1）求出或用变量（或说成用未知数也可以说用字母）表示 出三角形三条边的长；
（2）根据题意确定三边中某两边的相等关系，得到方程或方 程组；
（3）解方程或方程组，若方程或方程组有解，则解即为所求， 写出坐标即可；若无解，则不存在满足题意的三角形。
（二）几何方法，就是找到满足条件等腰三角形
根据等腰三角形的特殊性质，主要又有三种处理方式，如果知 道底边是定长，可以作出底边的中垂线找到所需要的点；如果一腰 是定长，则分别以定长的两个端点为圆心，以腰为半径作圆（或弧）， 简称“两圆一线”，找到所需要的点；如果没有腰和底边的信息， 则分三种情况讨论解决。具体解题步骤如下：
（1）假设结论成立；
（2）根据具体条件找点： 1）若所给定长为底边，则作出底边的中垂线，如果中垂线与题目所给直线（X 轴、Y 轴、对称轴、 其他直线）或抛物线有交点，这交点即为所求的点；否则满足条件的点不存在。 2）若所给定长为腰，则又有两种情况，那就是分别 以定长的两个端点为圆心，定长为半径画圆（或弧），如果所画的 圆（或弧）与所给直线或抛物线有交点，这交点即为所求的点，否 则满足条件的点不存在。 3）若没有定长作为边或者说题目没有给 定腰和底边的信息，那就分三种情况讨论，因为每一条边都可能成 为底边或是腰，其实就是前面两种情况的综合。 4）若有两个顶点 都是动点的话，也分三种情况讨论解决。
（3）计算：最后来求点的坐标，要结合具体条件，利用相似 三角形、全等三角形、三角函数、勾股定理、距离公式等知识来进
行求解。
四、设计理念
新课程改革以来，如何科学地命题，改进试卷中主观性试题的 考查内容和呈现方式；如何科学地发挥考试的评价功能，尤其是书 面考试的评价功能，既能考查学生在解决问题的过程中用数学的能 力，又能反映综合题的考查目标，对学生较高层次的思维水平进行 考查，体现科学的评价要求，成为每个教学研究人员需要思考的问 题。为解决以上需要，将二次函数与几何知识的综合题作为中考的 压轴题进行考查就是一个不二的选择。其实经过分析不难发现，这 类题的包容性很强，它可以将学生所学的所有数学知识和数学方法 含盖进去进行考查；这类题可以很好地考查学生对数学思想，比如 分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、符号化思想、转 化思想等重要数学思想的掌握情况；这类题可以很好地考查学生的 运算能力、画图能力、建模能力、合情推理和演绎推理能力、较高层次的逻辑思维能力、书面表达能力，从而考查学生对数学核心素 养的掌握情况。不仅如此，它还可以考查学生考试的临场心理素质、 应变能力、统筹把控时间的能力，统筹安排书面布局的能力，实现 对学生非智力因素的考察。
【结束语】目前，数学中考仍然是定量评价、全面考察学生数 学学习过程的重要方式。而这种二次函数与几何问题相结合的综合 题，既能考察学生对数学概念的理解、数学思想方法的掌握，还对数学思考深度、探究创新的水平以及应用数学解决问题的能力提出 了更高的要求，从而很好地发挥了考试评价的甄别与选拔功能。在 教学中，将题目进行归类，进行延伸拓展探究，总结出一些有用的 通用解题方法，可以使数学问题变得简单易懂，从而提高学生的解 题能力和探索能力，调动学生学习数学的积极性，让学生体会到学习数学的乐趣，把对数学的热情坚持下去。
【参考文献】
[1]《义务教育数学课程标准（2011）版》北京师范大学出版社.
论文作者:陈小英
论文发表刊物:《创新人才教育》2017年第4期
论文发表时间:2017/8/14
标签：角形论文; 定长论文; 底边论文; 函数论文; 坐标论文; 数学论文; 思想论文; 《创新人才教育》2017年第4期论文;