摘 要：本文主要介绍四种求规范正交基的方法，除施密特正交化方法外，还总结了初等列变换法、初等变换法。并提出了另外一种简便算法——线性相关法。
关键词：规范正交基 矩阵 初等变换 线性相关
规范正交基是n维欧式空间V中n个两两正交的非零单位向量组成的一个规范正交组。V中的任意向量ξ都可以由V的一组规范正交基{a1,a2,…,an}唯一表示ξ=x11+x22+…+xnn,x1,x2,…,xn是ξ关于基{a1，a2，…，an}的坐标，由于{a1，a2，…，an}是规范正交基，在欧式空间中的许多性质都可以转化为坐标来表示。可见规范正交基的引入大大简化了欧式空间中许多性质的探索，所以，规范正交基的求法是非常值得探索的。下面，来讨论规范正交基的多种求法。
一、施密特正交化方法
设{a1，a2，…，an}是欧式空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组{β1,β2，…,βm}，使得βk可以由a1，a2，…，ak线性表示，k=1,2,…,m。
先取β1=a1，那么β1是a1的线性组合且β1≠0，其次取β2=a2+aβ1，使得β2=a2+aβ1与β1正交。
由0=（a2+aβ1，β1）=（a2，β1）+a（β1，β2）及β1≠0得a=- ，我们取β2=a2- β1，那么（β1，β2）=0，又因为a1，a2线性无关，所以对任意实数a，a2+aβ1=a2+aa1≠0，因而β2≠0于是我们便得到了β2的表示方法。
再取β3=a3+aβ2+bβ1，使得β3分别与β2，β1正交。
由0=（β3，β1）=（a3+aβ2+bβ1，β1)=(a3，β1)+a（β2，β1）+b（β1，β1），∵（β2，β1）=0，∴b=- ，同理可得a=- ，
我们取β3=a3- β2－ β1，即可满足（β1，β3）=（β2，β3）=0，又因为a3，β2，β1线性无关，所以可得β3≠0，于是我们便得出了β3的表示方法。
假设1<k≤m，而满足要求的β1，β2，…，βk-1都已作出，取βk=ak- β1-…-βk-1，由于假定了β1是a1，a2，…，ai的线性组合，i=1，2，…，k-1，所以把这些组合代入上式，就得到βk=a1a1+a2a2+…ak-1ak-1+ak，所以βk是a1，a2，…，ak的线性组合。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆由a1，a2，…，ak线性无关得出βk≠0，又因为假定了β1,β2,…,βk-1，两两正交，所以(βk,βi)=(ak,βi）- (βi,βi)=0，i=1，…，k-1，这样，β1,β2，…,βk也满足要求。
再将正交组{β1,β2，…,βm}单位化，就可以得到一组规范正交基了。
二、初等列变换
定理：设{a1，a2，…，an}是Rn的任意一个基，以a1，a2，…，an为列作矩阵Ａ＝（a1，a2，…，an），
如果 ，那么T的列向量就是由基{a1，a2，…，an}出发得到的Rn的一个规范正交基。
证明：因为{a1，a2，…，an}是Rn的一个基，显然A可逆，且ATA是对称矩阵。因为（ATA）T=AT（AT）T=ATA。由于ATA=ATIA，因此ATA与单位矩阵合同。于是存在可逆矩阵Q，使得QT（ATA）Q=I，由此式可知，可以通过一系列合同变换将ATA化为单位矩阵。
又QTATIAQ=I，即AQ把单位阵化为单位阵，从一个规范正交基化为另一个规范正交基，则AQ是一个正交阵。
AQ=A·Q，即对A施行列初等变换，令T=AQ，则T为一个正交矩阵。
当ATA化为单位阵时，便可得到T，T的列向量就是由基{a1，a2，…，an}出发得到的Rn的一个规范正交基。
三、线性相关法
上面介绍的两种方法，都有着非常强大的理论支撑，而且解题过程也非常地系统化，都引入了相应的公式或矩阵的变换。但是笔者在思考，是否会有一种方法能根据已有的条件，直接用线性关系解出相应的规范正交基呢？先举一个例子来说明一下思路。
例：在欧式空间R3中，已知基a1=（1，1，1），a2=（0，1，2），a3=（2，0，3），求出一组规范正交基。
首先，我们先取β1=a1=（1，1，1），再令β2=（x1，x2，x3）因为β1，β2为规范正交基中的基，则一定满足：<β1，β2>=0，即x1+x2+x3=0 （1）。
我们想要解出β2，就要知道x1，x2，x3之间的比例关系，而只知道一个关系式（1）是不够的，要寻找另一个关系式。
又因为a1，a2为R3中的基，假设β2能被a1，a2线性表示，那么就又可以得到关于β2的一个关系式了。或者，会有疑问，为什么β2一定是被a1，a2线性表示，而不是被a1，a3线性表示呢？其实是可以的，如果β2被a1，a3线性表示，那么求得的规范正交基是另外一组。
通过上述方法，我将β2由a1，a3线性表示，解得一组规范正交基为：r1=（ ， ， ）；r2=（- ， ，0）；r3=（- ，- ， ）。
通过验算，我们可以很容易得出<r1，r2>=<r1，r3>=<r2，r3>=0并且r1，r2，r3都为单位向量，所以r1，r2，r3为所求的一组规范正交基。
但是如果β2由r1，r2，r3线性表示，结果或许就不如你所愿了。因为在R3中，向量的坐标（x1，x2，x3）有三个未知数，只要找到它们之间的比例关系就好，那么就意味着需要两个关于x1，x2，x3的方程，且它们的系数矩阵的秩要为2，又因为求正交基一定要满足要求的基与已求出的基正交，这样就可以列出一个x1，x2，x3的关系式。
要找到x1，x2，x3的关系，就要引入2个未知量k1，k2，使得x1，x2，x3可以建立起联系，于是，便要求的基由两个已知基线性表示。这样，就可以找到一个x1，x2，x3的关系式了，从而求出x1，x2，x3的通解，求出要求基。
要求出两个基后麻醉后一个基直接因为正交关系，可以获得2个坐标之间的关系式，从而求出。
再将正交基单位化，便可以得到一组规范正交基。
由上面三种方法，我们都能得出一组规范正交基，读者可以根据自己的喜好，选择自己喜欢或者擅长的方法求规范正交基，当然，也可以通过多种方法求解，检验答案。
参考文献
[1]张禾瑞 赫炳新 高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007。
[2]颜贵兴 初等变换在求最大公因式和求规范正交基上的应用[J].松辽学刊，2002。
论文作者:陈 萍
论文发表刊物:《教育学文摘》2015年7月总第162期供稿
论文发表时间:2015/7/23
标签：正交论文; 线性论文; 求出论文; 矩阵论文; 关系式论文; 向量论文; 方法论文; 《教育学文摘》2015年7月总第162期供稿论文;