“微元—累加法”在电磁感应问题中的应用，本文主要内容关键词为：电磁感应论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
物理教学大纲中明确指出：“整个高中物理教学中，都要注意对学生进行抽象思维训练，培养分析和解决问题的能力，进行科学态度和科学方法教育。”解决物理问题的方法很多，而“微元—累加法”便是其中重要的一种。所谓“微元—累加法”就是把某一个或某几个变量分成若干个微小的量，并利用物理规律找出它们和其它物理量的关系，然后再将微小量进行累加，从而使问题得以解决。利用“微元—累加法”还可以解决学生数学知识不够的困难。在电磁感应现象中，由于导体切割磁感线的运动情况比较复杂，因而常常要用“微元—累加法”来处理问题，本文就此类问题进行探讨和归纳。
例1 如图1所示，在磁感强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈，abcd绕垂直磁场方向的cd边以角速度ω匀速转动，若线圈匝数为n，电阻为R，ab边长为L[，1]，bc边长为L[，2]，求线圈由图示位置（线圈平面与磁场垂直）转过90°的过程中通过的电量。
分析与解 由于线圈中的感应电流是按正弦规律变化的，因而不能直接应用公式q=I△t求解。我们可把总时间分成若干个微元△t[，1]、△t[，2]、△t[，3]、……，则有：
再将各时间微元中通过线圈的电量累加，
点评 （1）本题的严格求解需要用积分的知识，但使用“微元—累加法”解决了学生数学知识不够的困难。
（2）通过本题的推导，可得到一个很有用的
可见在电流变化的问题中求电量应用平均值，而不应该用有效值。教学中若按上述方法讲解，学生就能很容易分清平均值与有效值在应用上的区别。
例2 如图2所示，水平放置的光滑U型金属框架宽为L、足够长，匀强磁场的磁感强度为B、方向竖直向下，框架上放一质量为m的金属棒ab，左端连接一电容为C的电容器和电键K，当K闭合时，给棒一水平初速度v[，0]，使棒始终垂直框架运动，求棒的最终速度v。
分析与解 当棒沿框架运动时，棒中产生感应电动势给电容器充电，电路中形成充电电流，棒受到安培力的作用做减速运动，感应电动势E逐渐减小，另一方面电容器两极板的电压U逐渐增大，且对充电电流起阻碍作用，所以充电电流逐渐减小，棒所受安培力也逐渐减小，因而棒做加速度逐渐减小的减速运动。当E=U时，充电电流为零，棒就以此时的速度一直匀速运动下去。
把金属棒ab做变减速运动至匀速运动的时间分成若干个微元△t[，1]、△t[，2]、△t[，3]、……，在各时间微元中的电流I[，1]、I[，2]、I[，3]、……，可认为是不变的。根据动量定理，金属棒在各个时间微元内的动量变化等于棒所受安培力的冲量，即
点评 （1）本题同样运用“微元—累加法”解决了变加速运动的速度问题，通过本题使我们进一步体会到微元法的重要。
（2）本题也可直接根据安培力的平均冲量等于棒的动量变化列出方程BIL△t=m（v[，0]-v）。
例3 如图3所示，质量为m的金属杆可以无摩擦地沿水平的平行金属导轨滑行，导轨间距为L，导轨左端与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，磁感强度为B，杆的初速度为v[，0]，试求杆到停下时滑行的距离。
分析与解 方法一：本题中金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，可利用上两例的结果求解。
设杆滑行距离为s，则
方法二：本题若用“微元—累加法”，也可运用牛顿定律求解。
设某时刻金属杆的速度减小至v，则有
点评 两种方法其实都是运用了“微元—累加法”。由于数学知识不够，中学阶段一般不能用牛顿定律解决变加速运动的问题，但方法二却运用牛顿定律解决了问题，很是巧妙，值得回味。
例4 如图4所示，在光滑的水平面上，有边长为l的正方形导线框abcd，其质量为m，自感系数为L，电阻忽略不计。在x＞0区域有磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场方向与导线框平面垂直。导线框的ab边，在t=0时从x=0处以初速度v[，0]进入磁场区域，试讨论导线框在磁场中如何运动。
分析与解 导线框ab边进入磁场，cd边仍在磁场区外时，ab边切割磁感线产生感应电动势E，同时导线框中还会产生自感电动势E[，自]，且E-E[，自]=IR，因R=0，故E=E[，自]。
设某时刻导线框速度为v，并经一极短的时
负号是因为F与x的方向相反。
可见，F与x大小成正比、方向相反，因而导线框做简谐运动。若振幅A＞l，则cd边进入磁场后，导线框以此时的速度做匀速直线运动；若振幅A≤l，则当ab边到达x=A处将返回继续做简谐运动，ab边到达x=0处时，速度v=-v[，0]，然后导线框以v[，0]的速度沿-x方向做匀速直线运动。（关于振幅A的计算不在此处讨论）
通过以上四例，我们可以清楚地看到“微元—累加法”在解决有关电磁感应问题时的重要作用，因此，教师在教学中应将此方法传授给学生，并要求学生熟练掌握。
练习题 如图5所示，MN杆受一冲量作用后以v[，0]=4m/s的初速度沿水平面内的平行导轨运动，经一段时间后而停止运动，杆的质量m=5kg，导轨宽L=0.4m，导轨右端接一电阻R=2Ω，其余电阻不计，匀强磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度B=0.5T，杆和导轨间的动摩擦因数μ=0.4，测得整个过程中通过电阻的电量q=10[-2]C。
（1）整个过程中产生的电热Q；
（2）MN杆的运动时间t。
参考答案
（1）38J （2）1s