无穷集的悖论和拟悖论的特征及逆证明_反证法论文

无穷集的悖论、准悖论的特征与反证法，本文主要内容关键词为：悖论论文,反证法论文,特征论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

准悖论的定义：在用反证法证明命题的过程中，如果（与反证假设相关地）出现

（甲）

这样的循环矛盾时，则称（甲）为准悖论。

一、一类悖论（或准悖论）是由两个互相否定的条件，同时作用于一个集合而产生的

1.罗素悖论（见莫绍揆B6证明论；王雨田主编《现代逻辑科学导引》上册，第253—254页。）

这就构成了罗素悖论。

深一层的分析，这个悖论的产生，确实与（I[，2])处非直谓定义有关：

（I[，2])处对集合A定义时，首先承认A是S的一个元素，按外延公理，S的确定性，依赖于S的每一个元素包括元素A首先确定。但是A的定义，却依赖于S的每一个元素，要把具备条件“X∈S且（X∈X)”的所有X，收集作为A的元素（包括X取A这个值在内的这种情况）。因此，当把这个条件应用于A的自身时，不可避免地产生了互否命题的循环，构成悖论见（I[，3])。

再深一层的探讨：可否认为，罗素悖论是无穷集的一个本质属性？

——我们可以承认伽利略悖论是无穷集的本质属性（无穷集可与它的真子集一一对应），为什么不可以承认罗素悖论也是无穷集的本质属性呢？我看是可以考虑的。

2.坏元素准悖论（见那汤松著，徐瑞云译《实变函数论》上册第24-25页）

设T是集合M的幂集（以下讨论，均假设M为无穷集）

如果T～M（原书中的反证法假设）

（Ⅱ[，1])

设双射ф：M→T，m→ф（m)，ф（m)∈T

选取T的一个元素S，

由于M中的每一个元素m都要被考查“”，把这个考查应用于S上，正好构成两个互相否定的条件，同时作用于S：

这就构成了准悖论。

这与罗素悖论类似，所不同的是，此处引进了一个反证假设(Ⅱ[，1])，于是就成了有争议的问题。

传统的观点，也就是拉汤松的观点，认为(Ⅱ[，3])处之所以产生循环矛盾，完全是因为引进了反证假设(Ⅱ[，1])所致，使T～M为假。

而我认为：若承认T～M为真（这当然只有在M为无穷集时才有可能），则(Ⅱ[，3])处就是一个典型的悖论。——故我把它称为准悖论。

准悖论产生的原因也可能是：两个互否的条件同时作用于集合S所致。

——这是因为(Ⅱ[，2])处，在定义集合S时，首先承认S是T的一个元素，按外延公理，T的确定性依赖于每一个元素包括S首先确定。

然而S的定义却依赖于M的幂集T的每一个元素ф(m)，要把具备条件“的所有m”都收集作为S的元素。于是当我们把这个条件用于S自身上时，使两个互相否定的命题可以互相推出，构成准悖论。

再深一层探讨：可否认为，坏元素准悖论是无穷集的一个本质属性呢？

——我们可以承认伽利略悖论是无穷集的本质属性，为什么不可以承认坏元素准悖论是无穷集的一个本质属性呢？！我看是可以考虑的。(见参考文献16）

我认为，在这种复杂情况下，把坏元素准悖论的产生，完全归结于反证法的假设(Ⅱ[，1])T～M为假设所致，是缺乏充分理由的。

3.子集准悖论（见S.C.克林著莫绍揆译《元数学导论》上册第13-14页）

设S是M的子集的集，S～M（以上假设M为无穷集）于是存在双射f：

构成准悖论。

这与罗素悖论类似，所不同的是：此处引进了一个反证法假设(Ⅲ[，2])，同样，也成了有争议的问题。

传统的观点，也就是S、C、克林的观点，认为(Ⅲ[，3])处之所以产生循环式的矛盾，完全是因为了反证法假设(T∈S)而造成的错误，使T∈S为假，由排中律，得出TS为真。

而我认为，在S为无穷集时，无法排除掉T∈S为真的可能性。如果T∈S为真时，则(Ⅲ[，3])处就是一个典型的悖论。故我把它称为准悖论。

这个准悖论产生的原因也有可能是：具有否定条件的非直谓定义T，促使两上互否的条件同时作用于集合T所致！——在(Ⅲ[，1])处定义T时，首先承认T是幂集P(M)的一个元素；按外延公理，P(M)的确定性，依赖于每个元素包括T的首先确定；然而T的定义却依赖于P(M)的子集S内的每个元素，要把具备条件“”的所有m收集作为T的元素。