利用“构造函数”解决抽象函数与导数问题论文_李博文

利用“构造函数”解决抽象函数与导数问题论文_李博文

 甘肃省会宁县第一中学 730700

摘 要:构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。所谓“构造函数法”是根据问题题设和题目的结构特征构造辅助函数,将原问题转化为研究辅助函数的性质,凭借辅助函数的性质解决问题的一种方法。近几年各地高考数学试卷中,许多涉及抽象函数与导数的题目都要运用这种方法解决问题,使得这一方法成为一个热点。本文就这一方法的应用做进一步的总结,以期为高中学生提供一定的参考价值。

关键词:构造函数 抽象函数与导数 求导法则

一、引言

导数在高中数学占有很重要的地位,其求导法则的双向应用也就成为重点考查对象,尤其是逆向应用更能检验学生对公式的全面把握和灵活运用,因此以抽象函数为背景考查导数法则灵活应用的题目应运而生。下面通过几个例子总结构造函数法的应用。

二、构造和、差函数

应用法则:[f(x)±g(x)]`=f`(x)±g`(x)。

例1:(2015福建)若定义在R上的函数f(x),满足f(0)=-1,其导函数f`(x)满足f`(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )。

A. f( )<  B. f( )>

C. f()< D. f()>

解析:由已知条件可得:构造函数g(x)=f(x)-kx。可得g`(x)=f`(x)-k>0,则g(x)在R上单调递增。又>0,则 g()>g(0),故f()->-1,所以f()>,故选C。

点评:导函数的正负决定函数的单调性。几种常见的构造和、差函数的方法:对于f`(x)>g`(x),构造h(x)=f(x)-g(x);对于f`(x)>a,构造g(x)=f(x)-ax。

三、构造积函数

应用法则:[f(x)g(x)]`=f`(x)g(x)+f(x)g`(x)。

例2:(2009天津)设函数f(x)在R上的导函数为f`(x),且2f(x)+xf`(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的是( )。

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A. f(x)>0 B. f(x)<0

C. f(x)>x D. f(x)<x

解析:由题可知:构造函数g(x)=x2f(x),则g`(x)=x[2f(x)+xf`(x)],

当x=0时,由2f(x)+xf`(x)>x2得f(x)>0;当x>0时,g`(x)=x[2f(x)+xf`(x)]>x3>0,则g(x)在(0,+∞)递增,所以g(x)>g(0)=0,即x2f(x)>0,故f(x)>0。当x<0时,g`(x)=x[2f(x)+xf`(x)]<x3<0,则g(x)在(-∞,0)递减,所以g(x)>g(0)=0,故f(x)>0。

综上所述,选A。

点评:结合导数的运算法则,观察已知条件,构造积函数。几种常见的积函数的构造方法:对于f`(x)g(x)+f(x)g`(x)>0(<0),构造F(x)=f(x)g(x);对于xf`(x)+nf(x)>0(<0),构造F(x)=xnf(x);对于f`(x)+f(x)>0(<0),构造F(x)=exf(x)。特别地,注意式子中的“+”号。

四、构造商函数

应用法则:[]= 。

例3:(2015新课标二)设函数f`(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf`(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析:由题可知:构造函数g(x)=,则g`(x)= 。当x>0时,xf`(x)-f(x)<0,则 g`(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)递减;又函数f(x)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,则g(x)在(-∞,0)递增,且g(-1)=g(1)=0,所以当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0。

综上所述,选A。

点评:主要观察导数商运算法则等式右侧的分子,构造商函数。几种常见的商函数构造方法:对于f`(x)g(x)-f(x)g`(x)>0(<0),构造函数F(x)=;对于xf`(x)+nf(x)>0(<0),构造函数F(x)=;对于f`(x)-f(x)>0(<0),构造函数F(x)=。特别地,注意式子中的“-”号。

构造函数对于许多高中生来说还是一个难点,在解题过程中要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性,这样才能准确地构造函数。

参考文献

[1]李锋 利用求导法则构造可导函数解题例析[J].数学通讯,2015,(Z2)。

[2]杨峰 逆用导数运算法则,构造原函数巧解题[J].高中数理化,2016,(3),20-20。

论文作者:李博文

论文发表刊物:《教育学文摘》2016年8月总第202期

论文发表时间:2016/9/19

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