一种基于双重期望效用的投资组合模型

李超一,王晓琴,高岳林^*

(北方民族大学 宁夏智能信息与大数据处理重点实验室,宁夏 银川 750021)

摘要： 考虑目前中国市场要求证券交易为整手交易和不允许卖空等实际情况,增加基数约束、单个资产投资上限等约束条件,分析了一种在非传统期望效用理论下包含交易费用的投资组合问题,用效用风险来度量投资组合的风险,在假定证券收益率服从正态分布的情况下,建立了一个新的投资组合模型，运用差分进化算法对其求解,数值实验表明模型的合理性及算法的有效性.

关键词： 投资组合优化;双重期望效用;基数约束;非线性整数规划;差分进化算法

0 引言

现代投资组合理论是由Markowitz^[1]于1952年首次提出,他对带有随机性和不确定性的金融市场的最优资产分配问题进行了深入的研究.后来许多学者在均值-方差模型的基础上进行了各种改进研究，杨晓焱^[2]以均值-VaR模型来对资产进行优化配置，具有比均值-方差较高的投资效率;胡春萍等^[3]在假设资产的收益率服从联合正态分布的条件下,研究了置信水平对最优资产分配和有效前沿的影响；贺月月等^[4]研究了用条件风险价值(CVaR)作为风险控制对多阶段投资组合优化模型的影响；高岳林等^[5]在M-V模型的基础上以VaR和CVaR作为约束条件控制风险，并进行了实证分析,为投资者制定合理的投资组合和控制风险提供了一种新的有效途径;徐永春^[6]在考虑非线性交易费用的情况下构建了均值-CVaR优化模型,用二次函数作为近似实际的交易费用函数并进行了数值实验,结果表明交易费用的存在会减少投资组合的收益；Kellerer H^[7]研究了同时考虑固定交易成本和最小交易量的投资组合优化模型,结果发现固定成本的引入使投资组合多样性减少的幅度远远大于投资组合多样性水平的增加；张鹏等^[8]考虑了具有路径依赖性的多阶段均值-半方差投资组合模型.

随着金融市场的不断成熟,投资组合中度量收益和风险的方法也越来越多,效用风险也被越来越多的人用来度量投资组合的风险.CenciM等^[10]考虑了具有对偶期望效用的线性方法,提出了一种新的基于双重期望效用理论的投资组合模型.

1 双重效用函数

经过许多学者和专家的努力,对传统的期望效用理论进行了不断地扩展,得到了基于排序的期望效用函数理论(Rank Dependent Expected Utility,简称为RDEU),在这之前提出的期望效用是根据搜索空间中的随机变量发生的概率作为期望效用的比例权重,再求它的平均值.本文应用双重效用函数理论^[10]，首先对搜索空间中的随机变量发生概率的大小进行排序,再进行权重大小的调整，构建了基于排序的双重效用函数.假设搜索空间中变量x 取x _i 的概率记为p _i ,把x _i 从小到大排序后有x ₁≤x ₂≤…≤x _n .若投资者使用基于排序的期望效用函数，那么,该效用函数可以用以下分段的函数形式表示：

(1)

u (x )为一般形式的效用函数,

γ (p ₁,p ₂,…,p _i )=

(2)

g (x )是一非减函数,且有g (0)=0和g (1)=1.当g (x )为一凹函数时,若通过γ (p ₁,p ₂,…,p _i )作用后对于小于给定值V 的收益率发生的可能性变大,也就是说投资者认为在将来获得高收益的可能性比较小,若通过γ (p ₁,p ₂,…,p _i )作用后对于大于给定值V 的收益率发生的可能性变小,也就是说投资者认为在将来获得低收益的可能性比较大,说明投资者相对比较保守,也就是说投资者对风险的承受能力较小;当g (x )为一凸函数时,若通过γ (p ₁,p ₂,…,p _i )作用后对于小于给定值V 的收益率发生的可能性变小,也就是说投资者认为在将来获得高收益的可能性比较大,通过γ (p ₁,p ₂,…,p _i )作用后对于大于给定值V 的收益率发生的可能性变大,也就是说投资者认为在将来获得低收益的可能性比较小,说明投资者相对比较乐观,也就是说投资者对风险的承受能力较大.图1、图2分别给出了两种不同的g (x )取法,其中曲线的斜率不同表明投资者的风险偏好不同.

陆九渊心学同样也完成了这种范式转换。如何去做的问题对于社会工作来说是如何去实施介入的问题，对于宋明理学来说就是如何修身、如何成圣成贤的问题。

图1 凹函数 g ( x )

图2 凸函数 g ( x )

在式(1)中,当取g (x )=x ,γ (p ₁,p ₂,…,p _i )=p _i 时,RDEU就是传统意义下的期望效用理论,即

选择 [Sparcial Analyst 工具]→[表面分析]→[山体阴影]工具，打开工具对话框进行不同时刻[方位角]、 [高度角]参数的设置，并确定。

RDEU(x )=EU(x ).

在本文中取：

(3)

V 是事先给定的常数,

C =(B -A )Pr(x ≤V ).

根据以上的定义,则概率权重值可以重新表示如下：

γ (p ₁,p ₂,…,p _i )=

(*)

式(*)的作用是对于特殊点有

同时又满足

当下，河北省农村文化消费层次还停留在大众消费或者普及性消费层次上，也就是消费水平还停留在生存基本需要的文化消费上，这距离发展文化消费还相隔较远的距离。

因此约定γ (p ₁,p ₂,…,p _i )=Ap _i ^*,可以看出本文中定义的g (x )是凹单调函数,即对于那些小于基准值V 的x _i ,通过g (x )赋予更大的概率Bp _i ,也就是说在组合中小于基准值V 的收益率发生的作用更大;通过g (x )对于那些大于基准值V 的变量x _i 赋予相对小一些的概率Ap _i ,由此可以说,在一定情况下,具有该双重效用函数的投资者对风险的厌恶更加强烈.B 是一个在[0,1]之间的取值,表示投资者对风险的偏好程度,若B 的取值越小,说明投资者对风险的厌恶程度越强.反之,若B 的取值越大,说明投资者对风险的厌恶程度越弱,也即偏好风险.由以上的定义可以得到A =2-B ,若B 的取值越小,A 的取值越大,说明投资者对风险的厌恶程度越强；反之,若B 的取值越大,A 的取值越小,说明投资者对风险的厌恶程度越弱,也即偏好风险.

x =(x ₁,x ₂,…,x _n )：表示n 支股票的投资手数向量.

在投资组合中，一般的风险度量形式由下式给出：

φ (x )=u [E (x )]-E [u (x )].

(4)

在式(4)中,如果令u (x )=x ,则双重期望效用的风险度量形式可以表示为：

φ (x )=E (x )-DEU[x ].

(5)

2 基于双重期望效用的投资组合原理

2.1 投资组合的效用风险

R _i ：表示组合中第i 个资产在整个投资期的收益率;

第4步：对矩阵A 和B 作乘法得到风险矩阵C ,当然这个过程中都必须保证后三个约束条件的成立;

R _it ：表示第i 个证券在第t 个时期的收益率;

本研究使用SPSS20.0作为数据统计工具。以t检验或卡方检验判断组间差异,P<0.05表示具有统计学意义。

表示投资组合在[0,T ]时期内的收益率;假设随机变量的期望值可以用历史数据来近似表示,即

定理 ^[9]在假设证券收益率服从正态分布的条件下,若取u (x )=x ,则基于双重期望效用的投资组合风险

2.2 投资组合的净收益

b ：考虑按交易额比例的交易费用;

Q _i ：代表投资者所要投资的第i 支股票,其中i =1,2,…,n ;

用表示算法的当前进化个体,其中i 为群体中当前个体的序号,t 为群体中当前个体的进化代数.从群体当前所拥有的个体中随机选取3个不同的个体首先对其中的两个个体作差,再作用于缩放因子F 之后,与第3个个体求和之后再取整，得到变异个体如下：

优化指导物理教学目标，是借助组织小组、科学指导和合理分配任务及其大纲和主线的体现，实现学生对物理基础知识的理解和掌握.有效指导的实现，需要教师在小组合作活动前，做好相关合作步骤的全局建设，而后循序渐进的开展物理学习有序环境.强化学习中的督促和检查工作，实现互帮互助，严格指导的氛围.为确保学生合作学习的开展，需要在有效的互助中，综合实现合作学习全局建设.

第1步：定义差分进化算法中包含的粒子数目和维数以及设定算法中用到的一些参数值;

d _i ^b ：代表投资者买入第i 支股票所需承担的交易费用;

C ：表示投资者预算的所要投资的初始资本(单位：元);

k ₁：表示持有股票种类的下限;

k ₂：表示持有股票种类的上限;

l ：表示对目标股票的最小投资手数;

u ：表示对目标股票的最大投资手数;

青瓷自从跟了李光北，就认了命。再漂亮的女人，一但名声不好，哪个男人还愿意娶？特别像青瓷这样儿的，18岁就大过肚子，不敢去医院堕胎，就自己买了打胎药，结果差点丢了小命儿，闹得满城风雨。

则整个投资组合所获得的期望收益为

投资组合所获得的净收益为

2.3 双目标投资组合模型的建立

在假设证券的收益率服从正态分布的条件下，以最大化组合的净收益、最小化组合的效用风险为目标函数,同时满足一定约束条件的限制.本文仅考虑整个投资过程为整手交易的情形,建立如下多目标的投资组合优化模型：

P ₁∶M-DEU

第1个约束条件表示投资者对投资组合的净收益有一个承受的最低下限;第2个约束条件表示投资组合中投资总共所花的钱不能超过预算投资的资金;第3个约束条件表示第i 种资产所投资的资产不能超过最大量upper;第4个约束条件表示第i 种资产的投资手数有一个最大值和最小值;第5个约束条件表示投资组合所投资的资产种类有一个上下界的限制,即基数约束;第6个约束条件表示整个投资过程中不允许卖空.

2.4 模型的转化

本文提出的M-DEU模型是一个多目标投资组合优化问题,为求解方便,可以采用线性加权法将其转化为单目标问题来求解.设投资者的风险承受水平为A (0<A <1),A =2-B 表示投资者的不同风险偏好,A 值越大,则B 值越小,说明投资者厌恶风险;A 值越小,则B 值越大,说明投资者更加喜欢冒险,因此A 值的变化能够反应投资者对风险的偏好程度,转化以后模型等价于如下形式的单目标整数优化模型：

P ₂∶M-DEU

3 求解模型的算法设计

3.1 差分进化算法

差分进化算法(Differential Evolution,简称DE)是由Rainer Store和Kenneth Price在1995年共同提出的一种优化算法,提出的初衷是为了求解切比雪夫多项式.之后由于差分算法的原理易于理解,且需要调整的参数比较少,可实施随机、并行、直接的全局搜索,容易被学者理解和掌握.差分算法采用实数编码的方式,目标函数变量含有的个数为算法搜索空间的维数D ,NP 为初始化种群的个数,一般是由学者自己设定.下面给出求解本文所建立模型的自适应参数的差分算法.

(1)变异操作

r _i ：代表投资者投资的第i 支股票所获得的收益率,其中i =1,2,…,n ;

(8)

其中,t 表示第i 个个体的迭代次数,T 为算法中设定的最大迭代代数,round(·)为取整函数.

(2)交叉操作

对变异得到的个体和(种群中当前的进化个体)进行交叉操作，得到实验个体的第j 个分量由下列公式给出.

(9)

rand(0,1)为(0,1)间的均匀分布的随机数.

《伊朗制裁法案》第5（a）（7）和（8）条规定，对将伊朗原油承运至其他国家的如下行为人员，总统应对其施加5项或更多制裁：1）对船舶有控制权的受益人且明确知道该船舶被用于此目的；2）拥有、营运、控制或为该船舶提供保险、知道或应当知道该船舶被用于此目的的人。同时，对上述人员隐匿相关石油或石化产品来源的行为（包括允许船舶营运方关闭卫星监控设施、掩盖和隐匿船舶的身份等），可以追加额外制裁措施，包括禁止船舶在美国港口停靠、被列入受制裁者名单等。

(3)选择操作

(10)

选择操作就是运用选择原则在父代个体与实验个体之间进行选择,其中fitness(x )表示变量x 的适应度函数,选择适应度值更好的个体作为下一代的个体,DE 算法中的选择操作其实也是一种优胜劣汰的原则.

3.2 约束处理

公司的业务融合从具体的工作制度、流程等方面对工作进行了规范，并通过对公司员工的培训，宣传了业务融合的重要性，也提升了工作人员的专业能力。这都使公司的业务和财务工作融合在一起，对公司整体效率的提升意义重大，也使公司的价值得到更大的创造。

分别令

3.3 污水处理效果 外伶仃岛污水处理厂采用活性污泥+AAO+紫外消毒处理工艺，由于接纳转运站的垃圾渗滤液，进水污染物浓度较高；东澳岛污水处理厂采用接触氧化+氯消毒处理工艺，其进出水水质检测结果如表3所示。外伶仃岛出水水质达到城镇污水排放三级标准，东澳岛污水处理厂出水水质达到城镇污水排放一级A标准。从污染物去除率来看，外伶仃岛污水处理厂COD去除率较高，而东澳岛TN、TP去除率较高，SS、NH3-N去除率两者相差不大。外伶仃岛污水处理厂污水中氮磷去除率较低，可能原因是厌氧池、缺氧池运行不稳定，反硝化过程受到阻碍。

运用外点罚函数把带有约束的优化问题转化为无约束的优化问题,如下：

F (x )=
f (x )+sigma·[H (x )+G (x )]，

f (x )为模型中的约束优化目标函数,其中

对于约束

1) 分别计算5个数据集上Spectral 聚类算法、AP算法和IOCAP算法的运行时间，其中Posture数据集选取两个不同规模的子集，实验结果数据取多次运行的平均值，具体如表1所示.

G (x )=(min{0,g (x )})²,H (x )=(max{0,h (x )})²,

sigma为惩罚因子,一般选取为10⁵～10⁸,根据具体问题取值不同.

山区公路桥梁的勘察与设计工作是工程顺利展开的重要前提，只有做好勘察与设计工作，后续的施工工作才能依照计划顺利进行，减少施工过程中的各类突发状况。在开展地形地势的勘察工作中，对工作人员的专业素质有着极高的要求，需要其具备专业的地理知识和勘察技能，同时也要具备一定的绘图功底，只有这样才能设计出科学合理的结构方案，提高后期施工的实用性和安全性，避免因为工作人员的个人失误而影响后续工作。

3.3 算法描述

根据以上策略,本文给出的算法如下.

P _i ：代表投资者所要投资的第i 支股票的价格,其中i =1,2,…,n ;

第2步：用round(rand(·))命令产生一个矩阵A ,且这个矩阵每行元素中1的个数在k ₁和k ₂之间;

第3步：用round[l +(u -l )·rand(·)]产生一个每行元素在l 到u 之间的矩阵B ,其中l 为大于0的整数;

x _i ：表示投资在第i 个证券上的投资手数;

第5步：计算出满足约束条件的个体的适应度值,且记录下适应度值最优的个体及其适应度值;

第7步：按照式(8)、(9)进行变异操作和交叉操作，分别产生变异个体和实验个体,并对最后产生的实验个体判断是否满足上下边界的约束在l 和u 之间,并且对超出边界约束的个体按照以下公式round(l +(u -l )·rand(·))进行处理;

第8步：首先,如果实验个体trial 中不为零的元素个数小于k ₁或者大于k ₂,就根据步骤2和3产生一个新的实验个体trial ₁；然后,对上述新产生的实验个体trial ₁进行边界约束和基数约束的判断,如果满足则执行下一步,不满足则重新生成一个实验个体,继续判断；

乌云其木格：关于水费收补问题的矛盾前面已经涉及了，我想回答的时候侧重于重点时间表。另外，用哪些手段如期实现。

第9步：为了找出群体中的最优个体及其对应的适应度值,按照公式(10)进行选择操作;

第10步：通过不断的更新最优个体及其对应的适应度值,直到达到所设定的终止条件，则停止迭代输出最优解.

4 实证分析

4.1 所需股票选取

为了分散风险,本文引用了文献[11]中的16支股票进行投资,分别是：长春高新(ccgx)、新大陆(xdl)、飞亚达A(fyd)、S上石化(ssh)、东方电气(dfdq)、双钱股份(sqgf)、生银行(msyh)、长春经开(ccjk)、深发展A(sfz)、曙光股份(sggf)、浪潮软件(lcrj)、酒钢宏兴(jghx)、隆平高科(lpgk)、招商地产(zsdc)、华夏银行(hxyh)、中化国际(zhgj).

4.2 算法参数设置

选取2009年3月20日到2009年7月31日中20周的收盘价作为本文的计算数据.用r _i,t =ln(p _i,t -1/p _i,t )计算股票这20周的收益率,其中p _i,t 和p _i,t -1分别代表第i 支股票,其中i =1,2,…,16在第t 和t -1时刻的周收盘价.算法中参数设置为：种群规模N =120,迭代次数T =1000,缩放因子F_ max=0.8,F_ min=0.4，变异概率CR =0.6,惩罚因子sigma=10⁶.

4.3 实验结果分析

将初始资金C =50000(单位：元),投资资产种类的数目最小值和最大值分别为k ₁=5,k ₂=8,(单位：手,1手=100股),每种股票持有量的最大值、最小值分别为l =2,u =5,每种资产占总资产的比例不超过upper=0.2.

当收益阈值给定S =1200时,随着B 的不断增加,所得股票持有量、投入资金、净收益以及效用风险的计算结果如表1所列.

当给定收益阈值S =1200时,随着风险偏好B 的逐渐增加,投资者对不同股票的持有量也不同,在投资组合满足基数约束和边界约束的限制下,投资组合所得到的效用风险、投入的资金以及所得的净收益也就不同.从表1可以看出随着B 的不断增加,也就是说如果投资者更加喜欢冒险,他投入的资金也就会越多,所需承担的风险也就大,当然他能得到的收益也会相对的增加,这符合实际证券市场的投资情况,即高风险伴随着高收益.更进一步说明了MATLAB的运行结果符合实际的投资情况.

表1 不同风险偏好下的计算结果

当收益阈值给定B =1.1时,随着S 的不断增加,所得股票持有量、投入资金、净收益以及效用风险的计算结果如表2所列.

表2 不同风险偏好下的计算结果

当给定风险偏好B =1.1时,随着收益阈值S 的逐渐增加,投资者对不同股票的持有量也不同,在投资组合满足基数约束和边界约束的限制下,投资组合所得到的效用风险、投入的资金以及所得的净收益也就不同.从表2可以看出随着收益阈值S 的不断增加,也就是说投资者对所做投资获得的期望收益在不断地增加,为了获得较高的收益,投资者所投资的资金也就越多,所需承担的风险也就越大.也就是说在投资者给定的一个风险偏好下,要想获得较高的收益,就必须投入更多的资产以及承担更大的风险,这一行为符合实际证券市场的投资情况.更进一步说明了MATLAB的运行结果符合实际的投资情况.

青瓷没有给何小勇机会，她已经有了王金贵，他对她很好，而且说好了过了秋天就结婚，她已经做好了当他新娘的准备。

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A Portfolio Model Based on Dual Expected Utility

LI Chao -yi ,WANG Xiao -qin ,GAO Yue -lin

(Ningxia Key Laboratory of Intelligent Information and Big Data Processing, North Minzu University,Yinchuan 750021, China)

Abstract :Considering the fact that the current Chinese market requires securities trading to be full-hand trading and not to allow short selling, the paper increases the base constraint and the upper limit of single asset investment, and analyzes a portfolio problem including transaction costs under the non-traditional expected utility theory. Taking utility risk as the risk of portfolio, a new portfolio model is established under the condition that the return rate of securities follows a normal distribution. Then, a new portfolio model is established and solved by differential evolution algorithm. Numerical experiments show the rationality of the model and the validity of the algorithm.

Key words :portfolio optimization;dual expected utility;cardinality constraint;nonlinear integer programming;differential evolution algorithm

收稿日期： 2019-07-28

基金项目： 国家自然科学基金项目(61561001，11961001);宁夏高等教育一流学科建设基金(NXYLXK2017B09);北方民族大学重大专项(ZDZX201901)

作者简介： 李超一(1993-)，女，重庆人，在读硕士，研究方向：智能计算及其应用、金融工程与风险管理.E-mail:gaoyuelin@263.net.

*通讯作者： 高岳林.

文章编号： 2095- 6991( 2019) 06- 0022- 07

中图分类号： F830.59

文献标志码： A

[责任编辑：赵慧霞]

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