图式理论与小学数学教学改革，本文主要内容关键词为：图式论文,理论论文,小学数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
皮连生教授在《应用题解题能力的知识类型分析》中，用现代认知心理学有关知识与能力的新观点，说明学生的数学能力表现在对三类知识的掌握上。这三类知识即陈述性知识、程序性知识和策略性知识（包括反省认知知识）。本文力图在上文的基础上，侧重说明在小学数学教学中，如何加深第一类知识的教学，以促进学生数学能力的发展。
在小学生解应用题能力中所涉及的第一类知识包括词义知识、事实性知识和问题类型知识。词义知识和事实性知识有助于学生对问题的表层加工和字面理解；问题类型的知识则有助于学生对问题的深层加工和实质理解。为什么问题类型知识有如此重要的作用呢？这里必须引入现代认知心理学的图式理论。
一、图式与图式理论简介
图式一词在心理学中被广泛使用。不同的心理学家有不同的解释。其基本含义指个体用以认识周围环境的基本模式，与认知框架和认知结构的含义基本一致。例如，新生婴儿从8个月开始，对陌生人感到害怕，这是因为8个月的婴儿对熟悉的亲人形成了较稳定的心理表象，而当陌生面孔出现时，婴儿将陌生面孔与他获得的心理表象加以比较，发现两者不一致就产生不安感，从而引起害怕。这种心理表象被心理学家称作认知图式。个人的认知图式虽然有其先天基础，但主要是在后天与其环境相互作用中逐渐发展起来的。
现代认知心理学家十分强调个体头脑中已贮存的认知图式在学习新知识和解决新问题中的作用。大量的记忆研究表明，当新的材料与个人头脑中已贮存的图式相一致时，这些材料很容易被记住。若新材料与个人的原有图式不一致，个人常常忽略甚至歪曲新材料。现代认知心理学家也用图式概念来解释人们对新学习的知识的理解，认为理解是新知识纳入个人原有认知图式的过程。当新知识与原有图式一致时，新知识能很快被理解；若新知识与原有图式不一致，而个人原有图式中又找不到适当的图式来吸收新知识，则必须从头开始建立一个新图式，在此条件下，新知识的理解将会困难得多。
二、图式在理解数学问题中的作用
问题类型知识在问题解决中的作用主要是有助于对问题进行深层次的加工。问题类型的知识也就是个人的一种认知图式。下面我们用一道题来说明这种图式在解决数学应用题中的作用。
一种16开的笔记本每本3元钱，你所在班级的每个同学各买一本，问共需多少钱？
(1)利用认知图式识别问题的类型
首先，学生需要对他头脑中已存在的一些问题图式进行搜寻，比较这道题目的已知条件是否和以前做过的或学习过的某类题型一样，从而判断出它是一个什么类型的问题。这里学生可以很容易地判断出它是一个乘法问题。这一步对学生解题起着很关键的作用。
如果学习者不能判断出这一问题类型，就将妨碍他的解题行为。例如，解“白气球有12个，白气球比红气球少5个，红气球有多少个？”如果看见一个“少”字就把这道题判断为减法，就会导致把这道题错答为12-5=7个。事实上，这是一个加法问题，正确的答案为12+5=17个。
有时候，从表面上看一道题目似乎没有遇见过，但稍稍一转化，就能归入熟悉的题型。例如，“甲每分钟做2个零件，乙每分钟做3个零件，甲比乙少做了25分钟，他们共完成了400个零件。问甲和乙各做了多少分钟？”一学生见了这道题，冲口而说出，这是一个行程问题。理由是这道题可以叙述成：“甲每分钟走2米，乙每分钟走3米，甲比乙少走了25分钟，他们相距400米。问相遇时各走了多少分钟？”由于这个小学生头脑中具有了有关“行程”问题一类题目的认知图式，所以他能够判断出这道题同他以前做过的“行程”问题是同一类型的问题。
(2)区分相关信息和无关信息
问题类型一旦被识别以后，就会从长时记忆中诱发出与该刺激类型相联系的更多的信息。在这里学生自然会想到相应的解法。对上述购买本子的总钱数一题来说，就是“单价×本数＝总价格”。解法中有关的数据信息的图式能指导学生区分出有关的（需要的）信息，如单价是3元钱，本数是每个同学一本，也就是同学的数目，而另一些数据信息如16开就是无关的信息。
(3)确定问题所需要的具体数据
当学生确定了解法，并明确了解法中各数据信息的意义之后，需要从有关的信息中得到具体的数据值。比如这道题中单价已经具体地给出是3元，而本数从有关信息中只能推断是同学的数目，没有直接给出，学生得从同学或老师那儿打听或自己亲自数一数等等。总之，学生必须明确解法中所有的数据信息都有一个具体的数值。如果缺少其中任何一个，都会妨碍解法的执行。完成了这一步，问题解决的后几个阶段就只是一个运算和检验的过程了。
学生头脑中的基本认知图式不但有助于理解应用题，而且可以用作学习其它新知识的支撑点或生长点。例如，学生知道长方形的面积计算方法是S=ab后，当学习平行四边形面积计算方法时，要求学生用割补法转化为长方形，他们便会很快懂得平行四边形面积计算方法是S=ah。同样，这种运用“等积变形”的认知图式也适合于作为学习“三角形”、“梯形”、“组合图形”的面积计算的生长点。右图列举的是华东师大附小的学生利用先前的认知图式求解三角形面积转化的几种方法。
到此，我们可以看到数学中基本数量关系的认知图式在提高学生解题能力方面是多么重要。掌握、运用得好，就能理解题意，形成正确的心理表征，反之，则会妨碍问题的解决。正因为如此，心理学家在研究专家与新手之间的差异时发现，从时间总量来看，专家表现出较快的解题速度，但却比新手花费较多的时间用于问题的表征。新手对问题理解往往停留在表面，表现为急急忙忙采用各种方法去试探，多少带有一些盲目尝试错误的成分，故总的时间比专家慢了许多。专家由于对问题有了深入的理解，对于题目类型、相应的解法，以及各信息之间的数量与逻辑关系等都“心中有数”，表面上耽误了时间，实际上却节约了时间。
三、应用图式理论改进小学数学教学
图式理论对小学数学教学改革至少有如下几点启示：
1.加强基本数量关系的教学，使之成为牢固的认知图式
就拿“距离—速度—时间”问题来说，有人统计过，具体情况至少有十几种。包括赶上、接近、往返、速度变化、反向等等情况。因此在教学中应使学生牢固地掌握基本的数量关系的图式。相遇行程问题的最基本的一种情况是同时出发相向而行且途中相遇，教师应抓住这种情况进行基本数量关系的训练。首先，出示如下的图示，让学生观察，并列出求全程的等式。
学生列出等式为：(25+35)×11=660。接下来，教师引导学生分析各因素的数量关系，如知道全程和甲、乙两个人的速度，用660÷(25+35)就可以求出相遇时间。同样，知道全程和相遇时间，就可以用660÷11求出甲、乙两人的速度和，更进一步，如果知道其中一人的速度，用减法又可求出另一个人的速度。最后，教师和学生一起总结出基本的数量关系图式：
速度和×相遇时间＝总路程
或 总路程÷相遇时间＝速度和；
总路程÷速度和＝相遇时间。
一旦学生掌握了这一核心的基本图式之后，遇见这类题目，都可以从这3个因素入手分析其数量关系，“对号入座”，建立相应的等式，然后求解。
2.通过变式练习扩展基本图式的运用范围
教师还应通过变式练习引导学生将新问题转化成以前的图式适合的情形，从而扩展基本图式运用的范围。如在教给学生有关“距离—速度—时间”问题的基本图式以后，接着给学生出示下面这种情况：
即在出发时间上发生了变化，一个人先出发，另一个人后出发。其它方面都相同，都是相向而行，途中相遇。老师启发学生考虑如何将这一情况转化成基本的相遇问题。学生通过讨论发现，如果把甲的出发地点前移200千米，就可以看作是同时出发了，当然总路程则变成(800-200)千米。
然后，出示另外几种情况让学生练习这种“转化”，如下图：
在相向、出发时间上与基本图式中的情形一致，但行走一段时间后，还相距一段距离。许多学生都想到如果把两人相距的距离拉近80千米，就可以看作是相遇问题了。
这样，学生只需要牢牢抓住一个基本的图式，遇到新情形时，只要通过转化把新问题变成熟悉的问题，问题便迎刃而解了。这样既便于记忆，又培养了学生触类旁通的迁移能力，从而真正让学生成为解题的主人。
3.加强知识的内在联系，形成良好的数学认知结构
教学中必须注意图式知识的互惠关系，形成互相联系的认知网络。例如，新近一位美国心理学家在谈到小学数学改革时，强调加强数学知识结构教学的重要性。他例举了如图2所示的“数量比较”图式。该图式强调数学中有序数对、分数和比例以及百分数、小学、甚至概率之间的关系，指出了解决与共同的结构有关的问题的方法。
这样，当学生遇到“甲生买4支钢笔花去65美分，乙生买6支钢笔花去1.30美元，问谁买的钢笔便宜？”这样的题目时，他可以用有序数对（65∶4与130∶6）表达甲、乙两生所购钢笔和价值之间的比较；这种有序数对比较可以转化为分数表达、即65/4与130/6。应用公式求公分母的方法，可以解答此题。假定乙生购买钢笔数未知，则可以设未知数x，采用比例计算的方法来解决此问题。尽管问题的条件和关系形式〔如(65:4)，(130:6)〕不同，但有序数对、分数和比例的概念是相互关联的，也就是说它们都是比率的模式。
又如，我们在教育关圆、圆柱和圆锥的知识后，帮助学生形成如右的关系图式，相关的知识便能融会贯通。
总之，现代认知心理学的图式理论对小学数学教材内容和教学方法的改革都具有重要的指导意义。数学教学要全面提高学生的数学能力，数学教师有必要学习和应用图式理论。