金融危机下带传染效应的违约预报，本文主要内容关键词为：金融危机论文,效应论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
从2008年美国的次贷危机中，可以看到信用违约传染的严重后果。这次金融危机是源于美国的房屋次级抵押贷款者违约引起贷款机构的破产，以贷款为基础的衍生品价格下跌导致大量投资基金纷纷倒闭，引发股市的剧烈震荡，造成一连串的骨牌效应，波及了全球的金融行业。信用传染可以解释为某个公司违约导致对其它公司违约的影响。在金融危机时期，信用传染导致了风险的蔓延，甚至一些看似不相关的行业也会受到波及和传染。本文则是在次贷危机背景下，从理论上研究了带信用传染的违约预报模型。考虑到违约时间数据之间的相依性，本文给出了两种方法估计违约风险强度模型中的参数，进而给出条件违约概率期限结构的估计，并且给出了所关心的信用传染效应是否存在的显著性检验。
公司的违约是随机相依的，相依性主要有两个来源，一是来自于宏观经济结构变动的周期违约相依性，另一个是由于行业间的业务关系产生的信用传染效应：它通过微观渠道，因债务人信用质量恶化导致其它债务人的信用质量恶化，在经济危机时期会产生一系列蔓延事件和传染事件。已有证据表明传染效应是确实存在的，文献[1]指出，基本的宏观经济变量的波动会因公司间的关联关系被放大。典型的公司间的关联关系，如借贷合同或其它一些法律约束关系：母子公司结构，同业拆借协议等；它们为经济困境从一个公司直接到另一个公司提供了传染渠道。有关银行间的传染效应研究可见[2]。对于非金融行业也存在类似的传染机制，例如商品的供应方和购买方的债务关联。
所谓的双随机假设，就是在给定协变量过程
的条件下，违约时刻和退出时刻是相互独立的Poisson过程的首达时刻。也就是说，公司的违约和退出是条件独立的，公司的风险来源为宏观因素和公司特有因素。但是该双随机性假设在考虑信用传染时具有很大的局限性，例如在某个市场（或行业）中占有地位的大公司的违约或退出可能导致该市场（或行业）中其他公司的违约或退出，即公司间并不是条件独立的。此时，公司间的相依性除了源于宏观因素和公司特有因素外，还来自于行业间的信用传染效应。Duffie等[3]的模型在通常的经济形势下是合适的，但是在金融危机时期，公司间的传染性在危机蔓延的过程中产生了重要影响，如果忽略这种传染性，则会极大地导致违约相关性的低估，因而也将导致违约风险度量的不准确。
本文的主要贡献是引入信用传染效应，扩展了Duffie等[3]的违约预报模型。公司间的传染性是源于行业间的业务关系这一微观渠道传播的，引入行业因素（记为状态变量过程
）来描述公司间可能存在的传染效应，提出了带信用传染效应的违约预报模型。此时，公司的违约相依性源于宏观的周期相依性，也源于微观的行业间的信用传染性，本文所考虑的违约强度模型为
这里的状态变量过程
分别表示宏观变量，行业变量和公司特有变量三个风险来源。不同于Duffie等[3]的模型，这里引入了行业变量Y表示公司所属行业的特有因素，例如可考虑该行业中已违约公司占该行业中公司总数的比率、全行业债务水平等，用来描述已违约公司对仍存活公司违约强度的影响，β为与信用传染相关的参数，β的大小反映了传染程度。参数β也是文中最关心的兴趣变量，文中将在后面通过统计上的假设检验来验证信用传染的存在性：即微观的行业内部的因素是否会对其他公司个体的违约产生影响。文章将在第二部分详细介绍该模型。
基于本文的带传染效应的违约预报模型，可以更准确的度量公司间的违约相依性，因此对如下问题的研究也具有重要的参考意义：1)信用衍生品的定价；2)组合风险度量，如在险价值VAR和预期不足ES等；3)金融风险的监控和预报等等。
0.1 信用违约传染的相关文献
关于信用传染性的研究最早可追溯到Davis和Lo[4]建立的债券组合传染效应的DL模型。模型中假设了一个同质但不独立的组合，且组合中任一公司违约都可能影响组合中其它公司，而公司违约可以是自身的直接违约，或是由于组合中其他公司违约被传染导致的违约。若p表示公司直接违约的概率，n为组合中的债券总数，传染参数q表示违约的公司传染其它公司的概率，则组合的预期违约率为
。该方法直观上很容易理解，且容易推导组合的损失分布，但是在实际应用中存在很大的局限性。首先，该模型仅在一个与其它组合没有任何关联的组合内部是成立的；其次，由预期违约率的公式可见，当组合中债券数目n随时间发生变动时，将导致参数无法解释；以及在处理大的组合时要计算一个二项式系数的和带来计算上的困难。
Neu/Kǔhn[5]提出了NK模型，将传染效应引入到Credit Metrics-Like的信用风险模型中，建立了传染效应和现代信用风险模型的联系。在DL模型和NK模型的基础上，Daniel和Birkert[6]提出了基于因素模型的违约传染模型，将同一信用等级的公司分为具有传染性的公司是和被传染的公司，发现了传染效应的存在性，并且通过压力测试证明传染性会严重影响信用组合的损失分布。该模型是已应用于Credit Metrics以及Basel ll资本协议中流行的信用因素模型的扩展。模型解决了DL模型数学运算上的困难，可以根据历史数据很好地估计参数，且适用于组合数目随时间变化的情况。这里引入的违约传染性是由于因果效应(causal effect)，例如，一个大的汽车公司的违约可能引起零部件供应商的财务困境，然而反之，汽车公司通常不会受某个供应商违约的影响，即传染是单向的。但是实际上存在互相传染的可能性，因此，该模型也存在一定的局限性。
上述关于信用风险组合的违约相关性研究主要是建立在JP Morgan的Credit Metrics或Credit risk+基础上，通过在违约机制中假设某些因素相依性而得到模型的可处理性。该类模型的一个缺点在于，它并未考虑组合价值的动态性，例如，Credit Metrics是一个单期静态模型，Credit risk+虽然考虑了连续时间的情形，但是它只关注生存和违约信息，而未考虑其它经济变量的动态信息。因此，在进行风险评估以及组合产品的定价时，该类模型一般是很不准确的，需要一种更精确的连续时间模型框架，从而进行积极的风险管理以及对一篮子信用衍生品和CDO等产品交易的风险管理。
Jarrow和Turnbull[7]首先考虑了公司违约的外生机制，将违约看作是由一个外生的强度过程决定的随机事件，提出了第一个约化模型。Lando[8]扩展该方法到Cox模型，该模型是基于对强度(intensity)或风险率(hazard rate)的建模。
0.2 信用违约传染的相关模型
目前存在一些引入相关性来扩展强度模型的方法，一种是直接的引入违约强度的动态相关性，但是这种方法通常会比经验相关性严重偏低，但是对大的投资组合来说，这个问题并不是很严重；另一个缺点是很难推导解析形式的违约相关结构。Duffle等[9]假设债务人间信用质量随时间的变动反映在他们违约强度的相关性中。
有
其中系数A(s)和B(s)的计算是获得上述解析解的关键。Duffie等[9]通过求解一个广义黎卡提(Riccati)方程计算A(s)和B(s)。然后再应用分散得分方法，进行CDO的风险分析。这个模型与本文提出的模型并不同，因为这里对系数A(s)和B(s)并不是直接由此模型来计算而是通过假定的仿射过程来求解，不是由模型本身进行参数估计，因此对违约传染的风险因素的分析是不可行的，同时这个模型假定条件太强，要求强度过程为
是一个线性加性模型，且要求｛X，Y，Z｝是相互独立的。在本文中这些假设都可以放宽。
Jarrow和yu[10]发展了Davis的传染模型，引入了交易方风险(counterparty risk)的概念。由于金融突发事件，导致强度过程并不是服从一个连续扩散过程，文章中引入了一个跳过程来捕捉由于突发事件导致违约强度的相依变动，而突发事件通常出现风险聚集现象。尽管这种方法直观性很吸引人，但是由于引入跳过程，增加了解析的复杂性，使得仅刻画边际分布时就已经很困难了，同时在实际中无法很好地解释。
上述方法为了具有解析上的可处理性，通常是在假设强度过程
为一类仿射过程下研究的，即假设强度过程是线性依赖于某个仿射状态过程，然而现实中更可能的是非线性关系。线性相关性仅仅是相依性结构的一部分，它往往忽略了蔓延事件和传染事件，并且只根据相关性难以建立起联合损失分布。
Alexander[11]基于强度模型的框架下，使用一个马尔科夫跳过程（或称多阶段分布）引入传染效应建模组合的动态相依性。该方法假设公司的违约强度为
表明正的（负的，无）相关性，其大小反映了j公司违约对i公司传染性的大小。在上述强度模型假设的基础上，利用矩阵分析的方法，推导关于边际及联合生存分布、违约相关性，以及预期违约时间等重要的量，这些变量在风险组合管理中是非常重要的。
在下一节中将给出本文所提出的带信用传染的违约预报模型。所提出的模型属于久期模型，是一个连续时间的建模框架，不但关注生存和违约信息，还考虑了其它经济变量的动态信息对违约的影响，同时将信用传染效应引入到模型中。
1 信用传染下的违约预测模型
信用风险研究的一个重要应用就是构建违约预报模型，关于违约概率的实证研究可追溯到Beaver[12]的单变量分析和Altman[13]的Z-Score模型，随后的一些研究见[14-15]等；第二代的违约预报模型是建立于定量响应模型，典型的有logit模型[16-17]和probit模型，以及其他一些非参数方法，如聚类分析[18]、神经网络[19]；目前的研究主要是基于久期分析，这类方法主要是应用Cox的比例风险模型。本节所提出的模型即是属于久期模型。
1.1 计量模型
Duffie等[3]在约化模型框架下，引入了公司特有变量（异质因素）和宏观经济变量的动态信息来预测条件违约概率的期限结构，该模型中的基本状态变量过程是包含宏观因素和公司个体因素的向量过程，不失一般性，可假设其服从马尔科夫过程。其中中的宏观因素可以是利率，S&P500股票收益等反映宏观经济的指标变量，公司个体因素可以是公司的违约距离(DD)，公司的股票收益率等反映公司经营状况的指标变量。进一步假设公司的违约强度过程为
则在双随机假设下，公司在未来s年内违约的条件概率可表示为
其中T表示公司违约前的存在时间，
表示截止到时刻t的观测信息。在双随机假设下，即在给定状态变量的条件下，公司间的违约和退出时间是条件独立的，公司间的相关性仅仅是由于它们的违约强度依赖共同的宏观变量。然而双随机假设并没有考虑微观内一个公司的违约可能导致对其它公司违约的影响，但这种违约相关性在实际中是存在的。例如一个在某个市场中占有重要地位的大公司违约，可能会导致其它相关公司的违约。在2008年的次贷危机中，也可以看到这种影响，美国次贷机构的违约，导致一些投资银行，基金，证券公司信用质量的变动，这也正是前面介绍的信用传染效应。由于忽略了可能存在的传染效应，该模型[3]通常会低估公司间的违约相关性，进而导致公司间联合违约强度估计的极大偏差。
下面给出本文提出的带信用传染的违约预报模型。为了克服Duffie模型由于忽略了可能存在的信用传染效应导致相关性的低估，在状态变量中包含行业特有因素来刻画行业间可能存在的信用传染效应来扩展Duffie等[3]的模型，即公司间的违约相关性既源于共同的宏观经济变量的影响，也源于微观的行业共同因素的影响（该风险源导致了传染性）。此时的违约强度模型如下①：
注意到，Duffie等[3]的模型中未考虑行业因素Y对违约强度的影响，因此可能导致违约相关性的低估。在本文所提出的模型(2)中，解释变量之间可能存在一定的关系，因此，在实际应用中首先需要对解释变量进行相关性检验，如果存在线性相关性，那么可以应用通常处理共线性的方法剔除这种相关性。如果检验并不存在共线性，此时模型和模型的推断方法就可以直接应用了。
现考虑如何估计风险强度模型(2)中的参数及进行检验。下面给出两种估计方法，首先是忽略个体的相关性给出一个简单的估计方法，即工作独立(working independence)的极大似然估计；但由于忽略了行业之间的相关性，得到的估计并不是最有效的，在上述得到的工作独立的极大似然估计的基础上，给出第2种加权平均的估计方法，这种方法能够充分地利用行业间的相关性，可以用来改善参数估计的效率。在这里，本文提出的方法并不需要像通常方法（例如Copula方法）那样假设行业的相关性，从而避免了模型误判的问题。而相关性的体现是通过估计间的相关性来自动给出，即由协方差矩阵体现出行业和个体间的相关性。
1.2 Working Independence的极大似然估计
由于共同的宏观变量的影响，所有观测样本是相关的。首先考虑忽略行业间相关性的情形，即不同行业公司的违约时间是独立的。考虑边际模型，给出工作独立（简记为Ind）的估计方法。基于Cai等[20]中处理多元失效时间数据的方法，首先对给定的行业j，考虑如下的边际风险强度模型
定理1给出了极大似然估计的渐近正态性，据此可以进行假设检验和构造置信区间。事实上，定理中所要求的技术条件和普通的极大似然一样是可以放松的。由定理的结果，可以很方便地估计出违约强度函数（即可计算违约风险），也可获得退出强度的估计和状态变量时序相依结构的估计，并利用这些估计进行违约预报。由密度函数的可测性和极大似然的不变性，所获得的违约强度，退出强度以及状态变量结构参数估计仍为极大似然估计，因此，它们的渐近分布仍为正态分布，从而可以构造出这些函数的置信区间。同时根据此极限分布，也可以很容易的给出方差的相合估计，对所感兴趣的参数进行假设检验。
事实上，利用边际模型得到的边际参数估计，再通过简单加权平均可以给出共同参数的估计。这等价于把所有数据应用到联合似然获得的估计，因为假定了边际模型间的独立性。
1.3 加权平均估计
上面给出了参数的工作独立的极大似然估计，该估计是相合的和渐近正态的。但是由于忽略了不同行业间违约时间的相关性，所得到的估计并不是最有效的。下面将充分利用不同行业之间的相关性，来改善参数估计的效率。
1.4 信用传染效应的检验
前面已经使用极大似然的方法给出模型(2)中参数的估计，并在定理1中给出了参数的极限分布，其中参数β表示的是影响整个行业的变量Y(t)对违约风险的传染效应，即前面介绍过的反映传染性程度相关的参数，也是本文最关心的一个参数。下面考虑传染系数的显著性检验，即本文所关心的是微观的行业变量是否会对其它公司的违约造成影响，也就是检验不同行业传染效应是否存在。首先考虑如下的假设检验问题
进一步，如果关心的是β的某个分量，例如β第k个分量
是否显著，则考虑如下的假设检验问题：
。此时可以使用Wald检验，令矩阵H的第k个对角元为1，其它元素都为0，即为式(9)中的假设检验问题，也可以构造t－统计量检验
下的系数显著性。
通过上面的讨论，可以对退出强度有类似违约强度的模型假设，然后按照上述同样的方法，可以得到与退出强度相关的参数的估计，然后代入公式(2)，由极大似然的不变性即可得到条件违约概率期限结构(1)式的极大似然估计。有了违约概率的估计后，它可以应用到信用风险的度量和管理等方面，例如它可以被银行用来分析借款者未来一段时期内的信用质量，同时对评级机构用来确定信用等级以及信用相关的衍生品定价问题中都发挥着重要的作用。
2 数值模拟
表1 工作独立(Ind)和加权平均方法(Mar)估计结果比较(c=100，α=0.05)
表2 工作独立(Ind)和加权平均方法(Mar)估计结果比较(c=50，α=0.05)
表1和表2分别给出了不同删失参数（c=100和c=50）下500次模拟结果估计的平均偏差(bias)和标准差的估计(SE)，以及平均的估计标准差(SD)。对于不同的删失率，得到类似的结果。当相关性较弱，即θ=4.0和θ=1.0时，两种估计方法都给出较好的估计结果，即在相关性较弱的情况下，忽略相关性(Ind)和考虑相关性(Mar)得到的估计结果没有显著的差异；但随着相关性的增加θ=0.25→θ=0.01，由模拟结果的均方误差MSE和覆盖率(Conv)（即N次模拟得到的参数估计落入95%置信区间的频率）都可见，加权平均(Mar)方法均方误差MSE小于工作独立(Ind)方法。同时，由覆盖率可见，加权平均(Mar)方法较稳健，而工作独立(Ind)方法部分已严重偏离置信区间。
表3 传染性检验的模拟结果
图1 传染性检验的功效函数
由表3和图1可见，对c=100（删失率大约是15%）的情况下，当相关性较弱，θ=4.0时，文章给出的两种估计方法都可以较准确的估计第一类错误，当相关性增加到θ=1.0时，加权平均的方法逐渐优于工作独立的方法，加权平均方法仍可以较准确的估计第一类错误，而工作独立的方法会高估第一类错误。随着相关性变大，θ=0.25→θ=0.01时，由表3可见加权平均的估计方法仍然可以较准确的估计第一类错误，但工作独立的方法已严重高估第一类错误，不能够正常工作。对c=50（删失率大约是25%）的情况下可得到如上类似的结果。综上可见，在考虑相关违约时，尤其在有显著相关性（相关性较大）时，本文引入的加权平均的估计方法可以有效进行相应的统计推断，而在相关性较强时，工作独立的方法由于忽略了不同组个体的相关性而不能正常工作。综上得到了两种检验系数显著性的方法，且在个体失效时间具有较强的相关性时，给出的加权平均的方法可以给出更准确的检验结果。
3 结束语
本文提出了在给定风险因素（包括宏观因素、行业因素和公司特有因素）的条件下，估计多阶段的条件违约概率的期限结构。本文的主要贡献，一是扩展了Duffie等[3]在约化模型框架下的违约预报模型，在上述模型中引入了影响违约的行业因素过程，改善了原有模型由于忽略微观行业变量的影响导致违约相关性低估的问题，并且本文扩展的模型仍沿用了考虑动态的协变量过程，可以进行带传染因素的违约预报。二是给出了一种更有效的估计相关违约数据的方法，通常的估计方法是基于假设个体间是独立同分布的，而在处理带违约的失效时间数据时，个体间并不独立，也不是同分布。在本文所提出的模型里，失效时间可具有相关性且考虑的风险因素是动态变动的。本文对所提出的模型给出了两种估计方法：工作独立和加权平均的方法，通过理论证明和模拟研究比较得出，当失效时间相关性较弱时，两种估计方法近似相同，都能给出较好的估计结果，但是随着失效时间数据相关性的增强，工作独立的方法由于忽略个体间的相关性导致估计结果很差，而加权平均的方法即使在相关很大时，仍然表现得很稳健，且模拟结果也显示明显的优于工作独立的方法。
另外，本文引入了行业变量来研究传染性，最关心的兴趣参数是传染系数β。一个重要的问题就是系数的显著性检验，即在建立失效时间数据模型时，是否要引入传染性对失效时间的影响，或者说微观的行业变量是否会对其他公司的违约时间产生影响，也即所谓的传染性是否存在。一旦忽略传染性对公司违约的影响，会导致个体失效时间相关性的低估，已有大量研究表明，传染性会严重影响损失的分布，因此很难准确的进行信用风险的度量和管理。传染性检验的模拟结果也进一步支持上述的论点：对相关违约时间数据，加权平均的方法是较工作独立方法更加有效的估计方法，当相关性较大时，工作独立的方法已不能准确的估计出第一类错误的概率，而加权平均的方法则表现得比较稳健。因此，在确实存在传染性时，通过引入传染系数β可以更准确的刻画违约时间数据，精确的估计传染性对违约时间的影响，从而可以进行更有效的信用风险度量和管理，具有重要的研究和实践意义。在文献[22]中总结了信用违约风险模型中违约概率的统计推断，提供了一些在违约风险上有用的生存分析方法估计违约概率，在以后的工作中也将深入研究生物统计方法在信用风险管理中的应用。然而，本文所提出的模型确实存在一些局限，本文基于“传染性是由于微观的行业渠道导致的”来引入行业因素刻画可能存在的传染效应，并且这种传染性对整个行业公司的影响是相同的，即仅考虑了行业内个体间正的相关性，并不能考虑竞争性风险（负的相关性）；另外，本文主要试图刻画信用传染效应并通过行业影响的显著性来检验传染性，但并考虑个体间的相关性如何。有关这方面的研究将在以后工作中作进一步的深入研究。
注释：
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