怎样帮助学生区分周长与面积、表面积与体积的概念，本文主要内容关键词为：表面积论文,周长论文,体积论文,面积论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
周长与面积是平面封闭图形的重要量度，表面积与体积是立体封闭图形的重要量度。小学生从认识图形的几何特征到测量图形的几何量，实质上是从定性研究图形到定量研究图形的发展，因此，形成周长与面积、表面积与体积的概念，对于小学生进一步认识图形，对于发展空间观念和初步形成数形结合的数学思想方法，都具有重要意义。
然而，几乎每个小学数学教师都有这样的经验：小学生常常会对这些重要概念产生混淆。
一、产生混淆的原因分析
1.似是而非的原因溯源
(1)源于小学生的观察特点吗？
小学几何属于直观几何，主要靠学生“看”。因此，追溯产生混淆的原因，首先想到的是小学生的观察特点。
有老师分析：小学生在看边时，实际上也看到了面；在看面时，也看到了整个立体图形，由此认为这是导致学生混淆周长和面积、表面积与体积概念的一个主要原因。
过去，小学数学一般总是先学长方形、正方形的周长计算，再学长方形、正方形的面积计算；先学长方体、正方体的表面积计算，再学长方体、正方体的体积计算。如果注意到学习周长计算时，学生通常较少出错，等到学了面积计算后，周长与面积才会出现混淆。学习表面积与体积也是如此。这一事实提示我们，上述小学生观察时的整体性，以及知觉选择性的调控不够自如，是产生错误的原因之一，但并非导致混淆的主要原因。
(2)源于小学数学教材的编排吗？
既然先学周长时，不会出错，学了面积才会混淆，那么是否教材编排顺序的原因呢？近年来，上海市的小学数学教材改为先学长方形、正方形的面积计算，后学周长计算，实践结果，混淆仍然出现。可见，产生混淆的主要原因也不能归咎于教材的编排顺序。
(3)源于教师的某些教学习惯吗？
教师教学时的某些习惯做法，比如，有意无意地突出封闭图形的面（经常贴出彩色纸剪的图形），忽略封闭图形的边（很少有老师勾勒彩色图形的边），也会对学生头脑中的图形概念产生影响。
严格讲来，正如圆和圆面是两个概念一样，我们研究的三角形、四边形，都是指由线段围成的图形，而不是三角形、四边形面。
虽然直观教学处理方面的这些因素也能算作造成混淆的原因，但同样不是起决定作用的主要原因。支持这一判断的有力证据就是，那些注意了诸如此类因素的老师，他们的学生，依然有人混淆。
2.探析真实的原因
理论分析与实证研究表明，真正的主要原因源于几何知识自身的特点和小学生的认知特点。
(1)内容相近，共同因素明显。
以长方体的表面积与体积为例，共同因素非常突出，如针对相同的形体长方体、需要相同的计算条件长、宽、高等。
正是由于共同因素不但明显而且较多，使得小学生，总是本能地试图用先前习得的概念去“同化”后继习得的概念，而不是自觉地去“分化”；同时，共同因素突出造成的强刺激，也给相关概念的精确分化带来困难。这是造成混淆的首要原因。
(2)前后学习的干扰。
前摄干扰即先前学过的内容干扰以后学习的内容，倒摄干扰即后来学习的内容干扰以前学过的内容。心理学告诉我们，不论在哪一种情况下，前后学习的内容越相似，干扰自然发生的可能性就越大，干扰的程度也越大。
(3)公式构成的复杂性。
学生错误的统计表明，学生面对长方形周长计算的问题，误用面积公式的情况比相反的情况，即要求面积却算成周长的，情况更多。过去是这样，现在上海市的教材改变以后仍然如此，说明前摄干扰与倒摄干扰在这里都存在。
为什么出错的小学生比较“偏好”面积公式呢？原因其实很简单，那就是长方形的面积公式比周长公式更简单，信息量少，更容易在记忆里保持和提取。
这种解释在长方体的表面积与体积混淆中同样成立，因为误用体积公式的错误总是比误用表面积公式的错误要多。
(4)问题情境的数学意义的隐蔽性。
这里讨论的混淆经常出现在解决实际问题时，特别是当问题本身没有明确指示是求哪个几何量时，错误率就会明显升高。
例如，比较直观的问题：一个花坛，长30米，宽20米。如果在花坛的四周围上栏杆，栏杆长多少？没有指明是求周长还是面积，需要学生自己辨别。
又如，比较抽象的问题：用6张边长1米的方桌拼成一个长方形展览台，要使四周能让更多的人参观，应该拼成一个怎样的长方形？问题的数学意义“把6个正方形拼成一个长方形，使长方形的周长最长”，比较隐蔽，常令不少学生感到困惑。
(5)学生个体的数学思维发展水平的差异。
至于为什么有的学生几乎从不混淆，有的学生却经常出错，甚至表现一定的“顽固性”，虽经指出和个别辅导，仍旧再犯。这和学生个体的思维能力如概念概括水平的高低有关，也和空间观念的发展水平以及空间想象能力的强弱有关。
二、相应的教学对策
1.强化首次感知
尽管混淆、干扰出现在相近的后续学习时，我们仍然不能轻视先前的学习，尤其是首次教学周长、面积、表面积与体积的概念时，要力求给学生留下正确、鲜明、深刻的印象，以发挥“先入为主”心理定势的积极作用。
这里仅就体积概念的教学加以探讨。
体积概念通常采用概念形成的方式，通过实验说明物体占有一定空间，再由物体所占空间的不同大小概括出体积概念。比如：
实验一，把小石块放入盛有水的烧杯中，你发现了什么？说明什么？
实验二，把大小不同的两个石块分别放入盛有高度相同水的两个烧杯中，你又发现了什么？说明什么？
也有教师由“乌鸦喝水”的故事引入，以增添趣味性，然后让学生做实验二。还可以再出示火柴盒、铅笔盒、鞋盒等学生熟悉的物品，比较哪个占的空间大，把学生对物品大小的经验与所占空间的大小联系在一起，帮助他们理解“物体占空间大小”的含义。
应该说，这些活动都是有意义的。但也有教师认为，课桌内的空间是指容积，教学体积时应当回避，以免与容积概念混淆。其实大可不必。因为把石块放入烧杯和把书包塞进课桌，都是以特定容器的容积为参照，比较石块、书包等物体的体积。
瑞士心理学家皮亚杰的研究表明，儿童体积概念的发展是一个相当复杂的过程，通常先实现内体积（指一物体所包含的内部空间）守恒，然后才发展到外体积（指一物体所占的外在空间或在液体中所排开的空间）守恒。皮亚杰的研究还表明：达到体积守恒的年龄是11～12岁，受过和未受过教育的儿童实现守恒的年龄大致相同。这种守恒概念获得的顺序在许多国家对儿童进行的反复实验中得到了验证，当然这都是就儿童整体而言的。因此，可以认为我们的教学只不过是在学生已经积累了相应的活动经验，具备了达到守恒条件的基础上，通过教学使学生理解体积概念的内涵，并运用“体积”叙述实验结果或比较结果。也正是因为小学高年级学生已经达到了体积守恒的年龄，所以有的教材在一节课中学了体积，又学体积单位，或者既讲体积，又讲容积，都是可行的。
有必要指出的是，学生真正掌握和运用体积概念，不是靠一节课来完成的。事实上，体积与容积的区别与联系，等到学了体积计算之后，在实际应用时，才能深入理解。比如计算长方体物体的体积与容积，前者要量外面的长、宽、高，后者要量里面的长、宽、高，它们的计算方法是相同的，等等。
至于体积单位的教学，可以由比较体积大小的实际需要和相应面积单位引入，然后帮助学生形成常用体积单位实际大小的观念。进一步，再将体积单位的模型与相应长度、面积单位的模型进行比较，弄清三种单位间的联系与区别。
2.加强动手操作
周长、面积与体积概念的建立，需要动手操作，因为它顺应了儿童认知发展由外部动作到内部思维的规律。周长与面积、表面积与体积概念的精确分化，也可以借助动手操作。
例如，周长通过“量”，面积通过“摆”，体积通过“堆”，可以让学生直观感受三者的区别：测量长方形的长，只要两点即一边对齐；要知道长方形的面积，摆单位面积的小正方形，要两边对齐（紧靠）；而要知道长方体的体积，堆单位体积的小正方体，就要三边对齐（紧靠）。显然，其中比较自然地渗透了长度、面积与体积的本质区别，即一维、二维、三维空间的度量区别。
又如，学习表面积计算时，让学生画、剪、折长方体、正方体、圆柱的表面展开图，有助于加深学生对表面的理解，从而增强抵御干扰的能力。这些都是行之有效的教学措施。
有教师认为“周长不能指，面积不能摸”，理由是周长、面积是“量”，不是“形”。其实，任何数学概念都是抽象的，“形”也是抽象的，比如直线，没有粗细，没有尽头，怎么“摸”？严格地讲，数与量、量与形都有区别，但这种区别不应成为捆住教学手脚的绳索。实际上，为了使用方便，数学也允许量与形不加严格区分。比如，教材将半径定义为连接圆心与圆周的线段，本应该是“形”，但同时又把半径作“量”看待，直接出现在计算公式里，类似情况在中学数学、大学数学里都不胜枚举。如果我们非要严格区分半径与半径的长，岂非庸人自扰。
3.适时比较辨析
由于混淆出现在相似内容之后，因此除了强化首次感知之外，还有必要适时开展比较、辨析的教学活动。
(1)相关知识的比较与辨析。
无论是周长与面积，还是表面积与体积，都可以从概念含义、计算方法、常用单位等方面去进行梳理、比较，区分异同。
(2)相关计算问题的比较与辨析。
例如，周长与面积的区分：
周长相等面积不等的图形
图1图2
周长不等面积相等的图形
图3
周长、面积都不相等的图形
图4
图5
图4、图5的难点在于周长，尤其是图4，学生常常在求周长时多算两条宽。对此，不妨指导学生在计算组合图形的周长与面积时，采取画图与列式相结合的方式，“画一条，算一条”（周长），“涂一块，算一块”，以帮助正确区分周长与面积。
同样可以针对一个图形，同时计算表面积与体积。如：求图6所示组合体的体积与表面积（已知每个小正方体的棱长为1厘米）。
求体积比较容易，只要数一数有多少个小立方体就行了。求表面积也能采用最原始、最基本的计数面积单位的方法，并且只要数出三个方向上各有多少个小正方形就可以了。即朝右的小正方形有6个，则朝左的小正方形也是6个，朝上、朝前的小正方形各有5个，则朝下、朝后的小正方形也各有5个。
图6
很明显，类似的练习，不仅能够帮助学生加深对体积、表面积概念的理解，提高求表面积、求体积方法运用的灵活性，对于发展学生的空间观念，也有积极意义。
(3)实际应用的比较与辨析。
例如，在同一道题中要求计算圆柱形油桶的用料面积和满桶油的重量，学生往往会出现把比重乘用料面积的错误。为此，应当引导学生加以区分，求用料面积是求圆柱的表面积，而求油的重量需要先求出油桶的容积。
针对学生在解决实际问题时的错误，主要出现在审题环节，可以设计一些实际应用的专项审题、分析练习。例如：
下面问题哪些与求体积或表面积有关？
①制作一个长方体盒子至少要用多少硬纸板；
②长方体水池里能放多少吨水；
③长方体水池贴瓷砖要多少块瓷砖；
④石头沉入有水玻璃杯中，水面上升多少；
⑤油漆大厅里长方体柱子要多少油漆；
⑥学校要砌一面墙，要多少块砖。
让学生独立审题，分析判断这些问题到底和求什么有关，然后交流。
六个实际问题，容易形成共识的是：第②、第④个问题与体积有关，第①、第③、第⑤个问题与表面积有关，而且分别是求长方体的6个、5个、4个面。第⑥个问题可能与体积有关，如分别已知墙、砖的长、宽、高时；也可能与面积有关，如已知墙、砖的长度和高度，且知道这面墙只砌一层时。
这样的集中辨析，有助于提高练习的效益，在区分体积与表面积应用情境的同时，增强学生的数学应用能力。
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