难题化易 功在建模——谈利用数学模型解决化学问题，本文主要内容关键词为：建模论文,难题论文,数学模型论文,化学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
许多化学试题看似很难，但只要你认真分析，借助合理的思维模型，最难的题也能柳暗花明，善于构建解题的思维模型，特别是利用数学模型，是解决化学难题的主要方法。
一、构建几何模型
例1 （1）石墨晶体由层状石墨“分子”按ABAB方式堆积而成，如图1所示，图中用虚线标出了石墨一个六方晶胞。
图1
①试确定该晶胞的碳原子个数。
②已知石墨的层间距为3.348×10[-8]cm。C—C键长为1.42×10[-8]cm，计算石墨晶体的密度。
（2）石墨可用作锂电池的负极材料，充电时发生下述反应，Li[，1-x]C[，6]+xLi[+]+xe[-]→LiC[，6]。其结果是，Li[+]嵌入石墨的A、B层间，导致石墨的层堆积方式发生改变，形成化学式为LiC[，6]嵌入化合物。
①图2给出了一个Li[+]投影在A层上的位置，试在图上标出与该离子临近的其他六个Li[+]的投影位置。
图2
②某石墨嵌入化合物每个六元环结构都对应一个Li[+]，写出它的化学式。
（3）锂离子电池的正极材料为层状结构的LiNiO[，2]。已知LiNiO[，2]中Li[+]和Ni[3+]均处于氧离子组成的正八面体体心位置，但处于不同层中。
①将化学计量的NiO和LiOH在空气中加热到700℃可得LiNiO[，2]，试写出反应方程式。
②完成LiNiO[，2]正极的充电反应的方程式：LiNiO[，2]=_________e[-]+_______+xLi[+]
图3
图4
解析：（1）①石墨晶胞内有一个C原子，完全为该晶胞所有；8个顶点上有8个为晶胞所共用，属于该晶胞的有8×1/8=1个，晶胞上下底面上各有一个C原子，为2个晶胞所共用，属于该晶胞的有2×1/2=1个，晶胞的棱上共有4个C原子，为4个晶胞所共用，属于该晶胞的有4×1/4=1个。所以石墨晶体有4个C原子。②晶胞底面为一菱形，晶胞底面边长与C—C键键长的关系如图2。图中AB=BC=1.42×10[-8]cm，AC为晶胞底面边长，连接BE交AC于D点，BE⊥AC。易求得AD=ABcos30°，AC=2AD=2ABcos30°。研究直角三角形ADE，求得DE=AEcos30°=ACcos30°=2AB（cos30°）[2]。晶胞底面的面积=AC·DE=2ABcos30°×2AB（cos30°）[2]=
×（1.42×10[-8]cm）[2]。晶胞的体积=底面积×高=×（1.42×10[-8]cm）[2]×2×3.348×10[-8]cm=3.508×10[-23]cm[3]。石墨密度
=2.27g·cm[-3]。
（2）①从化学式LiC[，6]可看出，1个Li[+]拥有6个C原子。图中Li[+]位于的六元环上的C原子不能与其他Li[+]共用，所以两个Li[+]不能处于相邻的两个六元环中。
②此种情况可图示为图2，每个C原子为3个环所共用，属于每个六元环即属于1个的C原子数为6×1/3=2。该化合物的化学式为LiC[，2]。
（3）①由题意可得NiO+LiOH→LiNiO[，2]，反应前后Ni的化合价由+2→+3，需要氧化剂，根据题中在空气中加热可知氧化剂为O[，2]，可得反应物和生成物为NiO+LiOH+O[，2]→LiNiO[，2]+H[，2]O，用观察法或化合价升降法配平即可。
②根据质量守恒和电荷守恒可知所填物质为Li[，1-x]NiO[，2]，失去电子数为x。
故答案为（1）①4个；②2.27g·cm[-3]；（2）①如图4；②LiC2；（3）①4NiO+4LiOH+O[，2]=4LiNiO[，2]+2H[，2]O；②LiNiO[，2]=Li[，1-x]NiO[，2]+xLi[+]+xe[-]。
二、构建函数模型
例2 电解方法不仅是化学实验的一种常用的方法，也是工业生产和科学研究经常用到的一种方法。
（1）用惰性电极电解含有0.01mol·L[-1]BaI[，2]、0.01mol·L[-1]BaBr[，2]、0.02mol·L[-1]SO[，2]和少量淀粉的混合液时，阳极上和阴极附近会发生哪些反应_______。
（2）含Cr（Ⅵ）的化合物有致癌作用，工业生产中处理Cr（Ⅵ）的废水时，常用电解方法把含Cr（Ⅵ）转化为Cr（Ⅲ）的化合物。电解时，要在待处理的废水中加入适量的氯化钠，用铁做电极。试写出这个过程有关“Cr（Ⅵ）转化为Cr（Ⅲ）”的化学方程式。
（3）通入硫酸铜溶液的电流强度与时间的关系是：I=（10-0.02t）（时间单位：s，电流强度：A）①画出电流随时间变化的图像。②求通电200s可析出的铜的质量。
解析：三个小题都与电解有关，但考查有明显的差异。对于（1），由于涉及卤素、硫的化合物、电解反应等多方面知识，要求解题者能同时考虑多种因素，主要考查思维的缜密性。发生的反应和现象主要有：第一阶段：阳极上I[-]离子先被氧化（2I[-]-2e[-]=I[，2]），但生成的I[，2]立刻跟SO[，2]发生反应生成硫酸（I[，2]+SO[，2]+2H[，2]O=2HI+H[，2]SO[，4]），硫酸根离子跟钡离子反应生成硫酸钡沉淀，直到SO[，2]消耗完。
第二阶段：阳极上I[-]离子被氧化，生成I[，2]跟淀粉作用显蓝色，直到I[-]离子反应完。
第三阶段：阳极上Br[-]被氧化（2Br[-]-2e[-]=Br[，2]）。
（1）这是以一个实际问题为题材，主要考查了分析研究问题的能力。以铁作为电极，阳极上铁被氧化成亚铁离子（Fe-2e[-]=Fe[2+]），生成的Fe[2+]易跟Cr[，2]O[2-][，7]反应生成Cr[3+]：6Fe[2+]+Cr[，2]O[2-][，7]+14H[+]=6Fe[3+]+2Cr[3+]+7H[，2]O，随着反应的进行，溶液酸性减弱、碱性增强，Fe[3+]+3OH[-]=Fe（OH）[，3]↓，Cr[3+]+3OH[-]=Cr（OH）[，3]↓。对于（3），要求用题给信息及关系作图并计算，主要考查运用数学方法解决实际问题的能力。①从数学角度分析，题给的关系式“I=（10-0.02t）”是一个二元一次方程式，所以据此画出的必定是一条直线，用数学作图方法可绘出电流I随时间t变化的图像，如图5所示。②思路转到分析所作图像的物理意义可得出，由I-t图像与横轴t所围的面积应该是200s内通过硫酸铜溶液的电量，所以有：Q=（（10-6/2）+6）×200C=1600C，由于铜的化合价+2价，铜的相对原子质量是63.55，通电200s后可得铜的质量：m=（Q/2eN[，A]）×63.55=
图5
三、构建数列模型
例3 HNO[，3]是极其重要的化工原料。工业上制备HNO[，3]采用NH[，3]催化氧化法，将中间产生的NO[，2]在密闭容器中多次循环用水吸收制备的。
（1）工业上用水吸收二氧化氮生产硝酸，生成的气体经过多次氧化、吸收的循环操作使其充分转化为硝酸（假定上述过程中无其他损失）。
①试写出上述反应的化学方程式。
②设循环操作的次数为n，试写出NO[，2]→HNO[，3]转化率与循环操作的次数n之间的关系的数学表达式。
③计算一定量的二氧化氮气体要经过多少次循环操作，才能使95％的二氧化氮转变为硝酸？
（2）上述方法制备的HNO[，3]为稀HNO[，3]，将它用水稀释或蒸馏、浓缩可制得不同浓度的HNO[，3]。实验证明：不同浓度的HNO[，3]与同一金属反应可生成不同的还原产物。例如，镁与硝酸反应实验中，测得其气相产物有H[，2]、N[，2]、NO、NO[，2]，液相产物有Mg（NO[，3]）[，2]，NH[，4]NO[，3]和H[，2]O。生成这些产物的HNO[，3]浓度范围为：H2：c＜6.6mol/L；N[，2]和NH[+][，4]：c＜10mol/L；NO：0.1mol/L＜c＜10mol/L；NO[，2]：c＞0.1mol/L。各气相产物成分及含量随HNO[，3]浓度变化曲线如图6所示。
图6
④写出Mg与11mol/L的HNO[，3]反应的方程式；
⑤960mgMg与1L4mol/L的HNO[，3]恰好完全反应，收集到224mL气体（S.T.P）气体，试通过计算写出反应方程式。
解析：该题是一道十分典型的应用数学归纳法解决化学问题的试题，要求学生能善于构建数列模型，利用数列公式来解决复杂的化学问题，使复杂的化学问题简单化，从而顺利地解决化学问题，第（1）题的第①问是很基础的问题，其化学方程式为：3NO[，2]+H[，2]O=2HNO[，3]+NO；2NO+P[，2]=2NO[，2]。第②问则应该应用数列知识来进行计算：设起始时NO[，2]物质的量为1mol，经过n次循环后生成HNO[，3]的物质的量为：S[，n]=2/3+2/3×1/3+2/3X（1/3）[2]+2/3×（1/3）[3]+……+2/3×（1/3）（n-1），经等比数列求和得S[，n]=1-（1/3）[n]。因此，NO[，2]→HNO[，3]转化率为[1-（1/3）[n]]/1×100％。③[1-（1/3）[n]]/1×100％=95％，因此，n=2.6≈3，要经过3次循环操作才能使95％的NO[，2]转化HNO[，3]。
（2）④当c[，HNO[，3]]＞10mol·L[-1]时，还原产物只有NO[，2]。故反应的化学方程式为：Mg+4HNO[，3]=Mg（NO[，3]）[，2]+2NO[，2]↑+2H[，2]O。⑤由于HNO[，3]溶液大大过量，可视做HNO[，3]溶液的浓度保持4mol·L[-1]。由图像可知：n[，NO]∶n[，N[，2]]∶n[，NO[，2]]∶n[，H[，2]]=5∶3∶1∶1，同时还原产物还有NH[+][，4]，由于n[，Mg]∶n[，气体]=4∶1，结合电子得失相等可写出反应方程式：40Mg+100HNO[，3]=5NO↑+H[，2]↑+NO[，2]↑+3N[，2]↑+4NH[，4]NO[，3]+40Mg（NO[，3]）[，2]+41H[，2]O。
总之，善于构建解题的模型，是培养学生创造性思维的良好途径。当然构建合理的思维模型应因“题”制宜，切不可生搬硬套，以免产生负迁移。