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浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第五章第四节“一次函数的图象”，是在学完函数的定义和一次函数解析式的基础上的新授课.学生从本节课开始研究有关函数图象的知识.本节课教学目标是了解一次函数图象的意义；会画一次函数的图象；会求一次函数的图象与坐标轴的交点.教学重点是理解一次函数的图象，难点是验证图象的完备性（坐标满足一次函数解析式的点在直线上）、纯粹性（图象上的点的坐标满足函数解析式）. 学生在学习函数的三种表现形式时曾接触过函数的图象的表现形式，在日常生活中也接触过许多图象表现函数关系的例子，已有基本的读图能力，但是对于函数解析式到图象的转化一无所知.本节课是函数图象教学的起始课，也是函数内容的核心课，它肩负着让学生真正感受由函数解析式（数）转化为函数图象（形）的重要使命. 一、教学过程展示 1.识图铺垫，体会点是组成图象的基本元素 呈现某天某地气温关于时间的函数关系图（如图1）.
师：观察如图1所示的温度关于时间的变化图，从这个图象中，你能获取哪些信息？
：一天内，在3点时气温达到最低，最低温度为22℃. 师：你是怎么看出来的？
：图象最低点的坐标为（3，22），它表示的意思是当t=3时，T=22.
：在17时，温度最高，最高温度为36℃.
：温度的变化趋势是先降低后上升再降低.
：一天中任何时刻的温度都可以从图中读出来，每一时刻对应一个点，一个点即表示一个坐标，反映一对量. 教师归纳提炼以下两点. （1）图象可以很直观地看出变化规律和趋势（学习函数图象的必要性）； （2）图象是由点组成的，每一个点均由一个坐标确定，每一个坐标是由一对有序数对组成. 板书：图象（线）←点←坐标←有序数对.教师提问：要画出一个函数的图象关键是什么？ 生：找到满足条件的点或找出满足条件的有序数对（坐标）. 【设计意图】通过识图环节的教学，让学生明白函数图象的直观性和函数图象的由来，即由一些点组成.明白画函数图象的关键在于找到满足条件的有序实数对，为后续学习画函数图象做好铺垫. 2.分析点的由来，建立有序数对与方程的解的联系 师：下面我们来探索一次函数的图象，就从最简单的正比例函数y=x开始，请同学们思考如何画出这个函数图象. 学生开始思考与分析（能够找到思考问题的方向：如何找到满足条件的有序数对）.
：函数y=x可以看成一个二元一次方程，二元一次方程有无数个解，每一个解就是一对有序数对.
：只要任意取一个x的值，就能得到一个与x的值相等的y的值，这样就得到了一对有序数对. 师：你们的想法很好，那么请同学们写出若干个方程的解或有序数对，并把它在平面直角坐标系中表示出来. 板书：点←坐标←有序数对←方程的解. 一次函数解析式的实质是二元一次方程. 【设计意图】教师让学生从数与式的角度看函数解析式，其实质是一个二元一次方程，二元一次方程有无数个解，每一个解都由一对数对组成，从而为数到形的转化做好了铺垫.而每一对有序数对都是一个坐标，一个坐标对应一个点，很多点就组成了图形，让学生充分感受由数到形的转化过程（即一次函数→-元一次方程→方程的解→有序数对→坐标→点→图形），为学生理解函数图象的意义打下了坚实的基础，也为学生在后续学习中理解函数图象及其性质做好了准备）. 3.感受线的生成，经历由特殊走向一般 学生动手操作，经历写方程的解，转化为坐标，坐标平面内描点的过程来画图象. 教师引导：你能试着画出函数y=x的图象吗？ 10分钟后展示学生的作品，如图2所示（作品由学生进行评价）.
【设计意图】学生独立探索画图象的过程是学习的关键所在，教师给学生足够的探索和交流、点评的时间，学生不断地修正自己的错误，反思产生错误的原因，最终形成一致的认识.课堂教学十分注重对学生课堂生成资源的利用，十分珍惜学生的错误资源，学生产生的错误让学生自己来纠正，让学生在纠错中成长，这符合学生的认知规律. 4.建立曲线与方程的关系，感悟由归纳走向演绎 为了建立曲线与方程的关系，说明函数图象的纯粹性和完备性，实现对一般化的点的证明，感悟由归纳走向演绎，教学中做如下设计. 师：如何确定这些点刚好在同一条直线y=x上，有没有满足条件的点不在这条直线上的？这条直线上的点都满足函数解析式吗？ 学生沉思…… 师：我们不妨对x值在0到1之间取更多的点看看. 如果在0到1之间取x=0.5，则y=0.5；如果在0到0.5之间取x=0.25，则y=0.25；如果在0到0.25之间取x=0.125，则y=0.125； 如果我们无限制地取下去，可以发现直线上的点均满足解析式（停留于感性认识上）. 师：你能说明直线上的点均满足函数解析式吗？
（概括）：我发现这条直线是一、三象限（除原点外）的角平分线，角平分线上的点到角的两边距离相等，即可以说明所有点的坐标满足y=x. 师：很好，那么如何说明满足条件的点都在这条直线上呢？
：过这些点分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的图形都是正方形（点到坐标轴的距离相等），所以该点与原点的连线恰好是两坐标轴所成的角的平分线（一、三象限的角平分线），因此，满足条件的点都在同一直线上（即在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 师：满足解析式y=x的点都在这条直线上，该直线上的点都满足函数解析式y=x，由此我们就能说明y=x的图象就是这条直线. 【设计意图】在线的形成过程中，由学生所描的特殊点呈现出一般的规律——直线，感受研究问题的方法，即从特殊入手，探究一般的规律.在说明图象纯粹性和完备性的环节中，教师又引导学生从特殊走向一般，即说明直线上一般的点都符合函数的解析式，满足函数解析式的有序数对对应的点一定在直线上，同时感受分析与论证问题的方法，即从一般入手，论证规律. 5.总结画图过程，领悟由一般回归特殊 在前面分析和作图基础上，让学生再次经历同样的探索过程画函数y=-x+1的图象.教师和学生一起分析作图中产生的错误，追问几位出现错误的学生，发现问题出在找点上，如何解决找点的问题成为画函数图象的关键. 师：为了方便起见，我们用表格呈现这个方程的几个解，如表1所示（列表法表示函数关系）.
再把这些点描在坐标系中，最后连线（为何它还是一条直线？方法同上）. 提炼画函数图象的一般过程：列表，描点，连线. 【设计意图】在学生已初步掌握如何将解析式转化为图象的基础上，让学生经历独立的画图过程，体现对所学知识与方法的及时巩固，并从中总结画函数图象的一般步骤.在总结画图步骤时，归纳出画函数图象应从一些特殊的、具体的点入手，获得点所呈现的规律，渗透由一般到特殊的思想，即今后画函数的图象，我们需要通过“列表—描点—连线”，从而发现规律，获得函数图象. 二、教学反思总结 1.以“图的由来”为载体，将数形结合落实到“点”上 本节课是函数图象内容的起始课，图象的产生过程是本节教学的核心.如何将数（函数解析式）与形（函数图象）建立联系是本节课教学的关键，抓住点与坐标的对应关系，分两头进行跟踪联系，一边联系线，另一边联系方程的解，进而将数与形进行紧密的联系，使学生比较容易地将数形结合的关键落实到“点”上. （1）感受由数到形的转换，关键在“特殊点”上. 帮助学生理清数（解析式）与形（图象）的结合，实现由数到形的转换是函数图象教学的关键所在.学生对于函数解析式到函数图象的转化是一个完全陌生的领域，不清楚一个函数关系式会与一个图形有着怎样密切的联系，因此，帮助学生分析由数到形的转化的整个过程显得十分重要. （2）领悟图象的纯粹性与完备性，关键在“一般点”上. 学生在学会数到形的转化过程之后并不清楚一次函数转化成图象会是一条直线，即如何验证函数图象的完备性和纯粹性.因此，一次函数的图象为什么会是一条直线，成为学生学习的一个难点.教师选取了y=x这一特殊的函数进行分析，让学生经历由特殊的点获得一般的规律，再从特殊走向一般，用一般的点进行严格的说理论证，抓住“角平分线上的点到角两边的距离相等”和“在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”进行分析，清楚地说明函数图象的完备性与纯粹性.从而进一步让学生感受到所有一次函数的图象都是直线，可以用类似的方法进行解释. 这样的教学从学生的已有知识和经验出发，抓住“点”这一基本元素，将学生已有的知识和经验进行联系，帮助学生分析图象形成的思路和过程，真正理解一次函数图象是一条直线，切实理解函数解析式与图象之间的关系，能较好地把数形结合思想的渗透落到实处，落到点上. 2.“点”为载体，渗透数学思想 本节课在一次函数图象的形成过程中，不断让学生感受组成图象的核心元素——点与各个知识之间的联系，理清知识间的联结，形成知识结构图，在每一个环节中渗透基本的数学思想和方法. （1）渗透特殊与一般思想. 在读图中，让学生感受到所有的图形都是由最基本的几何元素——点所组成，即研究一般的形应从具体的点入手，渗透了由一般到特殊的数学思想. 在函数图象的形成过程中，学生不断经历从特殊到一般和从一般到特殊的过程，逐渐抽象成函数的图象，并在这一过程中渗透研究数学问题的基本方法——从特殊入手，探寻规律，获得猜想；从一般入手，论证规律，证明猜想. （2）渗透数形结合思想. 以点为纽带，将解析式与图象进行联结，实现数与形的转化，渗透数形结合思想.本节课教师始终抓住解析式转化为图象的关键——点，做好“点”的文章，从而突破教学难点，落实教学重点，完成教学目标. 教师让学生首先经历图象的认识过程，在识图过程中分析图象构成的基本元素——点，并追溯基本元素到有序数对.在识图中分析特殊点的含义，理解点所代表的意义，并归纳出图象（线）是由点所组成，每一个点都对应一个坐标，每一个坐标就是一对有序数对.在分析点的由来环节，将图形与坐标的知识和方程与函数的内容建立联系，从而达到数形转换的理论分析，渗透和体会数形结合思想.在直线的生成与论证环节，学生再次经历由具体的点向抽象的线的转化过程，感受了由具体到抽象的数学思想.在总结画图过程中，学生经历由抽象的线到具体的点的过程，进一步感受了由抽象到具体的数学理解. 3.依纲靠本，设计教案 教材对本节课是这样设计的：一开始给出函数图象的定义（把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象），并告诉学生“函数的图象是我们研究和处理有关函数问题的重要工具”，而后给出“合作学习”，具体如下. 对一次函数y=2x与y=2x+1做如下研究. （1）分别选择若干对自变量与函数的对应值，列成表2，并填空.
（2）分别以表中x的值作为点的横坐标，对应的y值作为纵坐标，得到两组点，写出这两组点. （3）画一个直角坐标系，并在直角坐标系中画出这两组点. （4）观察所画的两组点，你发现了什么？把你的发现与同伴交流. 事实上，由于学生的学情不同，教师可以根据实际教学需要，不“唯教材讲教材”，而是利用教材有组织地进行有效教学，灵活地、创造性地使用教材，笔者在教学中尝试做如下处理. （1）变告诉为探究与分析. 教材这样的设计是直截了当地告诉学生什么是函数的图象，怎样画函数的图象（先列表，再描点），从而看出规律.而教师在教学中可能会发现很多学生缺乏对函数图象由来的理解，不能很好地感受由数（关系式）到形（函数图象）的转变过程，对数形结合思想的渗透没有落到关键点上.对此，教师可以考虑对教材进行适当的处理.比如，先给出一幅函数图象，让学生读图，读出信息，读图的组成，从而为制图做好铺垫；而后，教师不直接告诉学生什么是函数的图象，而是帮助学生分析函数图象的由来，经历从一次函数到二元一次方程，方程的解到有序数对，有序数对到坐标，坐标到点，点形成图形的过程，让学生在学习知识时不仅“知其然”，而且“知其所以然”，进一步明白“然何而来”. （2）根据实际需要调整教学内容与要求. 本节课的核心目标是实现由数（一次函数解析式）到形（函数图象）的转化，从而实现数形结合.教师在学生理解函数图象上点的含义的基础上分析点的由来，将一次函数与二元一次方程进行联系，实现由方程的解到函数的有序数对到坐标最后到点的转化，并从有限的点中归纳出函数图象的特征，最终画出一次函数的图象.重在让学生经历由数到形的转化过程，体验数形结合的思想，侧重知识的形成过程.因此，本节课将教学参考书中的“会求一次函数的图象与坐标轴交点”的目标往后移，使得本节课的教学目标更加清晰，目标达成度更高，学生的学习体验更加丰富.
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