课外的数学应用与数学建模活动设计实例,本文主要内容关键词为:数学论文,建模论文,课外论文,设计实例论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
中学数学建模活动适宜在课程教学过程和课外活动中进行。课程教学过程中,结合所学习的内容,适时地引入与当前所学知识有关的应用问题,讲授或请学生解决一个小问题。课外可以设计一个大的、较长过程的题目,若干个学生组成一个小组和教师参与一起讨论解决这个问题,时间可以是集中几天或长至一周。
课内外的活动设计应调强以下原则和注意的地方:
(1)着重发展学生应用数学的能力。 这个能力在整个问题的解决的过程中有不同的体现:将问题思路理清晰,需要想象力,推理能力;将实际问题数学化,需要综合运用各学科的知识的能力,查阅文献的能力,数学表达能力,抽象思维能力;解决问题的过程中,需要计算、分析和处理数据的能力;在给出数学模型的答案再回到实际问题的阶段,需要分析、解释、验证、讨论和推广的能力。在这个过程中,同学之间和老师之间都有一个交流与合作的机会,这对学生也是一个很好的锻炼。最后提交的问题解答是一篇小论文的形式,要求学生有良好的写作能力。
(2)强调计算工具的使用, 在整个过程中使用计算工具(计算机等),猜想、探索、发现、模拟、作图、证明、检验等步骤中使用计算机工具。
(3)强调小组中每个学生的积极主动参与,分工协作, 教师作适当的引导、鼓励。
数学建模的活动对教师、学生都是一个学习提高的过程,要循序渐进。在课堂数学中要先注意建模过程中各种能力的培养,例如,如何将一个实际问题的说法转化为方程,不等式等。然后要逐步地扩展到让学生用已有的数学知识解释一些实际结果,描述一些现象,模仿地解决一些比较确定的应用问题,扩展到独立地解决教师提供的数学应用问题和建模问题,最后发展到独立地发展、提出一些实际问题,并用数学建模的方法解决(或部分解决)。
数学建模过程框图问题解决就是以上反复的过程,成文的格式也是按这个过程来逐步展开。
一、问题的分析
实际问题很复杂,要抓住主要矛盾来进行定量分析研究,善于抽象和简化错综复杂的关系,确定主要的变量,其它变化的量随之而定,要有丰富的想象力和抽象能力,还要综合各学科的知识。
二、模型的假设
作合理的假设,将实际问题理想化便于建模。为了成文清晰,还要将很多的变量、参数简明地列在一起,以便于让读阅者查证。
三、模型的建立
应用某种“规律”建立变量、参数间的定量的数学关系,“规律”是其它学科中的定律和结论,定量数学关系是指若干个等式、不等式的组合或是一个数学函数表达等。要用数学语言把实际问题的诸多关系“翻译”成数学符号组成的数学关系式。
四、求解
许多数学模型往往是复杂的、困难的。光靠解析求解难以解决往往需要近似求解,这需要很强的洞察力,要运用数学进行推导、计算、简化、分析、证明,特别是要结合实际问题,看结果是否合理,以修正可能出现的计算错误,甚至修正上一阶段建模的错误。
五、模型的分析和结果的评价,实际问题的解答
得到了模型的计算结果后,要对结果进行分析,把数学的答案翻译成对实际问题的用其它学科的语言表述的解答。要评价模型的适用性,看它能否应用于更一般的问题当中去。
适合于高中学生的实例
例:确定卡式录音机的计数器的运行规律,并给一个给定的录音机建立此规律的数学描述,计算机计数器计数[m,n]之间的录音机运行时间。
分析:这个问题中计数器的运行规律是指什么?计数器的数字并不是磁带所转的卷数或其长度,它只是表示磁带从开始运行到停止的时刻这个过程的长短,这个播放音乐的过程的长短在CD机上是以显示屏上表示的数字直接自动显示出时间的。磁带上不带时间的信息,无法显示出来。所以我们应该研究磁带上的计数器显示的数学与时间有什么关系。假如一开始让计数器回原到000,磁带从开始运行,时刻从0开始计,数字也从0开始计数。让学生作实际的实验、观察,作记录得到数据。
研究对象:一台带计数器的录音机。工具:秒表、螺丝刀,透明胶带、剪刀。
记录每隔一分钟录音机的计数器读数,如下表(实验记录所得数据)
观察:从表和录音机运转的过程中会发现,计数器是由被动轮带动的(不放磁带空转,计数器不会跳动),计数器读数的变化不是匀速的,随着时间的增加,它每分钟增长的速度逐渐变快。随着磁带的减少,被动轮的转速逐渐变快,于是我们应想象得到计数器所记的应该是缠有磁带的轮的转动情况。
还能观察出什么?观察加以想象:被动轮的转数与计数器的变化成正比(能否从理论上证明,后面可以尝试去做)。可以设想录音机运行时磁带轮转动的线速度(磁带平行运动的速度)即磁带平行移动在磁头处的速度是匀速运动。如何更有充分的理由来验证这一点,可以引导学生这样想:录有第一首歌的一段为磁带(这首歌长2:50′), 移到磁带的后面会播放多久,把这首歌播到结束几秒后停下来,从中间剪开,再把这盘磁带拉出来从开始剪断,把第二首歌的开始处与轮中引出的透明带用胶带粘好,再把转到磁带最后把剪出的第一首歌接上去,从开始播放,并记录下这一首歌播完所需的时间,大概2:52′可以认为是不变的,这个试验足以让我们确信(作出合理假设):磁带运行的速度是匀速的。
下面我们按照写论文的形式给出这个数学建模解决问题的过程。
卡式录音机计数器的运行规律
问题的重述,确定卡式录音机的计数器的运行规律。关于一台录音机建立此规律的数学描述,计算从计数器显示450开始到600时终止的腾格尔唱的歌曲“草原之夜”的时间。
(一)问题的分析
这个问题要寻找的计数器的运行规律应是计数器显示的数目与录音机运行的时间之间的关系的数学刻划,计数器是小轮子上一周所刻的数字显示的,共有三个位数,百、十、个位分别对应三个轮子,个位数轮转一圈,十位数轮便转升一个数字,十位数字轮转动一圈,则百位数轮转——格变——数目。计数器的轮子是与被动轮通过皮带传动的,通过观察实验我们发现计数器的计数的变化不是匀速的,它的增长速度随时间而逐渐变快。因此,随着磁带缠绕厚度的减少,送出磁带(在被动轮上)的轮子的转动速度也是随时间增长而变快。
我们可以假定磁带的运行速度是匀速的,可以作一个小实验足以验证:将录有一首歌的磁带从整盘磁带的开始转粘贴到磁带的最后,通过播放测得这首歌在不同的位置(应是差别最大的位置),播放时间是一样的。这样求出磁带转k圈的长度,便可以知道磁带转k圈所需的时间t,进而由k与计数器的数目n的关系(以下可求出),再得到t与n的关系。
(二)模型的假定、符号约定
1、磁带运动时的线速度是常数;
2、录音机的皮带和齿轮传动无转速损失(齿轮咬合很好, 皮带不会打滑);
3、计数器的读数与磁带转过的长度成正比;
4、磁带的厚度均匀,缠绕时各圈的磁带间无空隙, 且缠绕的松紧度一致;
5、磁带缠绕一周的长度等于它所缠绕的圆的周长。
n……计数器的读数;
k……磁带被动轮的转数;
d……磁带的厚度;
r……空磁带轮的半径;
N……磁带轮上已有的磁带圈数;
R……N圈磁带外轮半径;
v……磁带运行的线速度(恒定);
π……圆周率;
c……比例常数;
L(k)……从最外圈往里数k圈磁带的长度;
t[,1](k)……转动k圈所花的时间;
t(n)……计数器跳动到数目n所花的时间。
(三)模型的建立
首先推导磁带轮(带动计数器)的转速k与计数数目n之间的关系式,从带动磁带的轮子到带动计数器的轮子之间是若干皮带和齿轮传动的,设之间共有s个传动,到它们在同一转动
动中,齿轮的转的圈数与半径成反比例,这一定律得出上面的结论。
设与计数器相连的送出磁带轮上缠有N圈磁带而定磁带轮的半径为r,磁带的厚度为d,则容易求出缠有N圈磁带的轮的外径为R=r+Nd。
由前面的合理假设可知磁带从最外圈送出转k圈后送出的磁带长度为:
这是一个过原点的二次函数,这就是计数器的运行规律,对于不同的录音机其系数a,b随之而不同。
(四)模型的求解
对于一个结定的或自己所有的录音机,通过测量计数目n 与对应的时间t,用最小二乘法便可以定出系数a,b。这是模型的求解。
用表来测量记录下来的数据为:
(五)模型的评价和结果分析
(1)上述模型是深入精确地分析录音机的运行机理,用物理学的知识建立的一般通用的模型,对不同类型的录音机、录像机都适用。
图为磁带的两个轮子大小(半径)是一样的,所以本模型的建模方法适用于计数器与主动轮(带动接收磁带的轮子)连接的情形,这个模型还可以用来做下述有意义的事情:对选定的录音机根据实验测得的数据确定函数t(n)中的系数a,b(利用图形计算器TI92可达到很高精度),磁带的长度,空轮的半径是较容易精确测量的,估算出磁带轮的转数与计数器读数的比例常数以及磁带缠绕的圈数,计算出磁带运行的速度和磁带的厚度d来。
(2)计算结果分析:我们看到若从图形上看近似地认为t与n 是线性关系的话,就丢了bn[2]一项。尽管在我们的问题下,b=7.7445×10[-5]很小,但它对应于n[2]的系数,还是不能忽略的,例如在n=400时,这一项为12.39,这在录音机计时中是不应忽略的大的数值。我们运算的结果与实际测得的时间数据是非常接近的。