数学教学价值的思考——2009年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动观感，本文主要内容关键词为：江苏省论文,观感论文,数学教学论文,高中论文,优秀论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
11月19日，本人有幸作为评委参加了2009年江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动。我参加了高一组的“三角函数的诱导公式”（第一课时）的听课和评课的工作，共听了7节课，感想良多。其中最大的忧虑是：新课程在高中推进已经超四年了，可我们的教师对新课程的理念（当然并不是新理念，因为其所倡导的很多理念大多有着超过50年的历史，应该说成“正确理念”更为恰当）还没有能力落实，对教学内容、体系、要求的变化还没有了解。下面从几个片断谈谈自己的一点想法，供参考。
一、从问题情境的创设看对学生认知与教学目标的定位
7名教师中有6人是从指定角的三角函数值的求法开始的，如提出问题“如何求sin390°？”有些是直接提出求这个三角函数值的要求，有的要求学生将其转化为某个锐角的三角函数，还有个别教师更是提出了几个绝对值很大的角的三角函数求值问题。
对于第一种提出问题的方法，其实没有任何“问题”存在，因为只要用计算器，无论是正角还是负角、无论绝对值多大的角，都能够在很短的时间内解决；第二种提问方式同样没有“问题”存在，因为可以直接用计算器得到结果，何需“转化”？对第三种方式，设计者的意图显然是为了“难住”学生，然后来个“你不会，听我道来”的说书式开场白。如果真能难住学生，那一定是学生没有使用计算器的习惯，这与目前江苏考试不准用计算器是有密切关系的。正如同放着手机不准用，放着汽车不准开，却让所有人都“通讯靠吼，交通靠走”一样，哪有一点培养现代人的意识？这从个别教师印了个《数学用表》让学生查表求sin40°可以看出“教师中心”仍然是那么的顽固，眼里哪有学生的自主选择？可见，这样设计根本没有考虑学生的认知基础。
当然，也有令人欣喜的“亮点”，我们这组有一位教师的问题情境是这样的：
我们已经学习了任意角的三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？
……
事实上，无论是哪种课程标准高中数学教材，都是将三角函数作为一种“数学模型”来研究的，苏教版教材更是将三角函数一章的学习定位在“建立刻画周期性现象的数学模型”这一层面上。在建立了三角函数的概念后，这样一个模型就已经建立了，下面要研究的问题理所当然就应该是“三角函数是如何刻画周期性现象的？”“刻画周期性现象的这一数学模型有着怎样的性质？”这是数学研究的基本过程。无论是同角三角函数之间的关系，还是诱导公式，以及三角函数的图象与性质，包括后面一章的“三角变换”，其实都是在研究三角函数所具有的性质。因此，笔者认为，这位教师提出的本节课的“主问题”实在是对课程目标的最好定位！
另一方面，这样的问题情境其实已经起到了“先行组织者”的作用，对数学元认知起点的选择基于知识体系的最本源的地方，因为作为学生，当其从全章的整体结构与数学研究的基本过程的角度，就应该到了提出这样的问题的时候了。也就是说，这样的问题是学生能够提出的问题，至少在学生进行反思时可以感觉到“我应该提出这样的问题”。遗憾的是，我们的教育已经将学生自觉思考学科内容的研究方向、主动提出研究课题的意识基本丧失了。
章建跃老师在其“有效改进课堂教学”（暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综述）一文中要求：“数学教学要将知识教学与价值观影响融为一体。”他认为这是完全可以做到的，“关键是要提高课堂教学的思想性”（笔者说明：这里并不是指政治思想）、“具体操作时，要加强‘先行组织者’的使用。”从后来的说课比赛中选手们纷纷说明自己是如何渗透数学思想方法的情况看，从数学思想高度进行教学设计已成为广大教师的自觉行为了。现在的问题是要提高对数学本质的理解和把握的能力，要将教学设计的立意建立在最本质的数学思想和数学精神之上。
二、从探究方式的选择看学生思维发展的效能
在三角函数的诱导公式的探究过程方面，大多数教师选择了从特殊到一般的思路，只有一位教师是从一般到特殊进行的，这是因为初始问题的不同而出现的必然结果。
对于从特殊到一般的探究方式，就有一个将其中的角一般化的问题，因此，最后总要问上一句：这些公式对任意的角α是否都成立呢？
对于从一般到特殊的探究方式，因为其初始问题是基于“探究三角函数所具有的性质”的，所以其过程就很自然地针对一般性的情形展开了：
提出问题1：已知任意角α，观察角α的终边绕着原点旋转的过程，在这一过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？
如果需要，再提出启发性问题：角的终边的位置会“周而复始”吗？三角函数值会“周而复始”吗？（说明：该校学生数学基础比较差，是一所普通学校）由此探索出公式一，再提出问题：α角与α+2kπ(k∈Z)的同名三角函数值为什么相等呢？学生自然地想到用三角函数的定义进行证明。
最后进行解决问题的思维线路的小结：
接下去的几个主要问题是：
问题2：转整圈，同名三角函数值周而复始，那么转半圈呢？……
（学生研究后发现，正切值周而复始，正弦与余弦值都发生了变化，并发现了变化规律）
问题3：转半圈的实质是关于原点对称，那么是否存在具有其他的对称关系时有三角函数值周而复始的性质呢？……
（学生研究后发现，当角的终边分别关于x轴、y轴对称时，分别有余弦值周而复始、正弦值周而复始，……）
很明显，在接下来的应用诱导公式求三角函数值时，当然就是将所得到的公式特殊化就可以了。因此，从思维过程看，后者显然少了一个环节，而其对数学本质的感悟却一点也没有少。更为重要的是，如果在前两个公式用上述过程解决后，对后面的两个公式完全可以“倒”过来提要求：让学生按照上述路线图进行独立的探索，亦即从已有的研究过程中发现思维规律，并用以指导进一步的探究性思维活动。有了这样的过程，在整个探索过程中既有前者所具有的对客体（客观事物）进行思维（即将客观事物作为思维的对象），更有了对自己的思维过程或操作过程进行思维（对自我活动，包括思维活动）的再思维（即反思性思维），还具有将思维成果进行运用（用以指导新的思维活动）的过程，这样的思维训练无疑具有很高价值的。（当然，上课者并未进行这样的处理，这只是本人的设想）
正如上节所说，上述案例是基于对数学模型的性质进行探索，从模型的几何特征与代数表征之间的统一性的角度进行研究的，因此，这样的“有意义的学习”过程对促进学生对思维规律的把握、数学研究方法的认识等方面都是有着巨大的促进作用的。同样，思维训练的效能的高低也是由对教学内容的理解深度而确定的教学定位、立意决定的。
三、从是由功能目标定位探究方向，还是先探究性质，再研究（或发现）所具有的功能看对学生数学素养的影响
有些教师是从“转化”的角度（向第一象限的角转化）进行思维导向的，也就是通过功能目标明确探究的方向，另一些教师则抓住探索三角函数的性质这一主线，不断地从终边的位置关系、角间的关系、角终边上点的坐标间的关系、三角函数值的关系进行探索的。表面上看，前者目标明确，指向明显，更利于学生探究性活动的开展，但后者则能在更高层次上促进学生的数学感悟和数学认识，提高学生的数学素养。因为前者所具有的“转化”的策略已经为后者所包括，而后者则是基于从整体上认识三角函数这一刻画周期性现象的数学模型而展开的，是对数学模型的性质的研究。
由数学发展史我们可以看到，在数学发展到没有绝对真理的阶段后，构建模式成为数学研究的一个重要方式（向）。有些数学模式在建立时人们并不知道其有何作用，有些甚至到目前为止还不知道它们有何作用，但有些却为后续的研究者提供了思想的载体、数学的结构。如非欧几何对相对论的创立的作用就是典型的例证（黎曼几何成为爱因斯坦相对论理论的数学模型）。因此，这种构建模式而不知何用的过程其实是数学的理性精神与审美追求的过程，更何况这种构建并非毫无目的的，而是在主问题的引导下的自然发展。就本节课而言，并不影响在后续的运用过程中体验其在“转化”方面的价值。
我们应该明确这样的观念：数学在育人方面的功能价值主要还是取决于它的文化价值，而不是在于它的应用功能。因为一个人，甚至一个民族，文化习惯对其创造意识与能力有着巨大的影响。曾经担任过十多年北京大学校长的蒋梦麟先生深刻剖析了实用主义对中国的发展的影响，蒋先生如是说：“在中国，发明常止于直接的实际用途，我们不像希腊人那样在原理原则上探讨；也不像现代欧洲人那样设法从个别的发现中归纳出普遍的规律，…中国人一旦达到一件新的发明的实用目的，就会马上止步不前：因此，中国科学的发展是孤立无援的，也没有科学思想作为导向明灯。科学发展在中国停滞不前，就因为我们太重实际。（《西潮》第七部：现代世界中的中国）”因此，笔者认为，数学教育当然应当注意“应用”（包括实践方面，也包括理论方面），但更应该强调数学学科的自身特点：理性精神。
四、从对公式记忆方式的教学看数学教学的价值取向
有些教师花费大量时间引导学生研究公式特点，寻找记忆公式的“技巧”：函数名不变，符号看象限。有些教师提出“这些公式有什么特点”后，很多学生根本不能明确问题的指向，有的说：反映了终边对称的特点，有的说具有转化的特点，就是没有一个学生从公式自身的结构上去分析特点。
我当然不反对从结构特点上提高记忆效果，但我认为这种花费大量时间进行这样的研究实在是本末倒置。事实上，刚开始时让学生在运用公式时在面前放张作了图的纸通过对称加定义进行操作，然后再撤去纸、图，在头脑中通过对称加定义的方式回忆公式（思维式记忆），更是一种本质性的记忆，更能促进学生对诱导公式的理解（图形的对称关系转化为三角函数值之间的数量关系），从而克服“顺口溜”式的机械记忆的弊端。
实践表明，通过不长时间的“思维式记忆”就可以很好地记住这些公式。
将公式特征作为一种规律的发现也不无益处，关键是如何教：不应该只是从结果出发的一种观察，而应该是对探索过程的提炼，这又是对自我思维过程的再思维（反思性思维）。
五、从对公式互推教学看对教学内容的教学价值的合理开发
因为教材上有一个思考题：能否用公式二、公式三推导出公式四，不少教师在此又花费了大量的时间。
一方面，这反映了很多教师对教材的编写意图并不了解：这其实是给有兴趣的学生留下的问题，是选择的内容，但不是主体内容。所以不必花费大量时间做专门研究，更何况“给学生留下思维的空间”是数学课程标准对我们提出的明确的要求，所有的你都讲了，空间何在呢？
此时，就不妨让学生思考：你能对一般情形，用公式二和公式三推导出公式四吗？或者先让学生从几何的角度进行解释，最后布置课后思考。
或者，实在要讲的话，也可通过对知识内容、形式、结构等简单化的追求提出问题：我们共研究了三种对称关系，能否只研究其中两个就可以推出另一个（思维的再加工）?因为逻辑简单与形式简单是数学建构时的目标（或标准）之一，是有数学价值的问题。
青年教师身上显现的老年化倾向是很值得重视的问题。原先认为老教师难以适应新课程，现在看来恰恰相反，青年教师从学生时代“师承”的教育理念的基因并不是一朝一夕可以改变的。先进教育理念仍然需要学习，新教材的编写理念与意图仍然需要宣传，甚至青年教师的教学基本功（包括教材分析能力、教学设计能力、课堂教学的实施能力等）还需要不断强化。
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