《义务教育数学课程标准（2011年版）》核心概念解析，本文主要内容关键词为：义务教育论文,课程标准论文,概念论文,核心论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）将《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的六个核心概念扩展为十个核心概念.可见，核心概念在数学课程与教学中的地位和作用是何等重要.新课程实施十年来，中小学数学教师对核心概念并未真正理解，“《课标（2011年版）》中提出的核心概念是一些数学理想或理念，目的在于提高学生的数学素养，使数学教学过程更加体现数学的本质，有利于促进学生的全面发展.但在实际教学中，许多教师不了解为什么提出这些概念，教师对这些问题在理解上存在困难，特别是在操作层面上”[1].所以说，核心概念增加到十个后，有必要对其进行全面深刻的解析.
《课标（2011年版）》中十个核心概念分别是：数感、符号意识、空间观念、运算能力、几何直观、推理能力、数据分析观念、模型思想、应用意识和创新意识.作为一名中小学数学教师，面对如此多的核心概念，一定会产生这样的疑问：这些词语为什么叫核心概念？为什么提出它们？这些核心概念属于知识、技能、能力，还是属于方法、思维、思想？与四部分的课程内容是什么关系？与课程目标又是什么关系？为什么有些核心概念后边冠以“感”“意识”“观念”等词，而有些冠以“能力”“思想”等词？这对教学有何意图？每一个核心概念内涵如何？教学中又是如何操作？等等.这些问题的理解影响着中小学数学教师的新课程教学行为.
中小学数学教育是属于基础教育大家庭的一部分，此处的数学是教育中的数学，应为“教育数学”，即要以“育人为本”的眼光来看待数学的教与学，克服传统数学教育的“教中无人”的现象.而这些核心概念作为一种基础数学教育的特定“存在物”，首先指向教育理念，其次指向数学特征.这些核心概念作为一种教与学的新措施，可以将传统的数学教育变成现代的“教育数学”，以此来更好地体现时代精神，促进学生全面发展.这可以从以下几个方面加以阐述.
一、核心概念产生
《课标（2011年版）》是适应时代发展的产物.现代教育的根本理念是“以人为本”，培养学生的创新意识和动手实践能力.作为基础教育的数学教育，首先是基本要求的“公民教育”，达到公民素质的数学素养要求——具备基本的数学知识和技能，以及一定的数学思维方式，即抽象思维和推理能力.在此基础上才能进行时代要求的“创新教育”，为培养新世纪人才奠定基础——具备数学的应用意识和创新意识.最后在数学教育全过程中渗透“数学文化教育”，培养学生积极的情感、态度和价值观，使学生得到全面发展.需要注意的是，这几种教育理念同时处于数学教育过程中，难以分离出具有某种教育理念的具体教育形式，共同奠定了义务教育数学课程的基础性、普及性和发展性.数学教育作为义务教育的一部分，它的教育过程可以提供哪些公民需要的素养，以服务于学生的发展？这就需要考察数学学科的教育活动，从中提炼出有利于学生将来发展的数学思维模式——或观念、或认识、或能力、或思想等，成为学生走出校门后具体数学知识遗忘后所剩下的东西，权把它们称为“核心概念”.
史宁中教授指出，数学抽象、推理以及模型应用是数学研究和学习的整个过程.在“数与代数”的学习过程中，关于“数与符号”的抽象、运算推理以及模型应用过程，根据学生思维与内容难度，教育的需要和可能，提炼出学生能够而且应该获得或掌握的数感或符号意识，运算能力和推理能力，以及有关该知识的应用模型思想，在这个过程中注重发现问题和提出问题，促使学生学会思考，加强对学生创新意识的培养.在“图形与几何”的学习过程中，关于“图形”的抽象、推理以及解释应用过程，根据学生思维与内容难度，教育的需要和可能，提炼出学生能够而且应该获得或掌握的空间观念，以及推理能力和几何直观能力，同样在这个过程中发展学生的创新意识.“统计与概率”的学习过程中，关于“随机事件”涉及数据的归类收集、方法处理、分析判断以及解释应用过程，根据学生思维与内容难度，教育的需要和可能，提炼出数据分析观念、推理能力和应用意识.在“综合与实践”的学习过程中，一方面，综合利用所学的以上知识和经验，从巩固和发展的角度出发解决数学问题或实际问题，从中体会分析问题和解决问题的方法策略及其多样性，培养应用意识和创新意识；另一方面，在应用知识解决问题的过程中，加深对知识和方法的理解，对数学的抽象、推理和模型过程体验更加深刻，培养模型思想.值得注意的是，在以上数学活动过程中，获得或掌握的核心概念，都是义务教育阶段数学课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握这些数学课程内容的层次和主线，抓住数学教学的关键，发展学生的数学素养.核心概念是与数学课程内容结合紧密的思维目标，因此成为课程实施的隐性工具.
因此，这些提炼出的核心概念，要贯穿或统领一堂课、一学期、一年或几年的数学课堂教学活动，因为有些核心概念的形成需要一个潜移默化、积累经验的过程.
二、核心概念内涵
由上可知，核心概念表达的是一类数学概念的思维模式，反映的是主体对数学内容发生发展的逻辑认知，具有客观性、过程性、层次性、内隐性、主体性等特点.核心概念的客观性表现为：核心概念的掌握，就能够把握数学本质问题，如每个学生具备了符号意识和一定运算能力后，就能理解和把握代数本质——变量运算.核心概念的过程性表现为：核心概念的形成，存在于数学抽象、计算推理和应用等实践活动中，如“数感”的形成，就离不开数的抽象、数的计算、数的估算等实践活动过程.核心概念的层次性表现为：同一核心概念，在同一课程内容下有不同程度水平的体现，如关于图形与几何的理解，就有空间观念和空间能力等不同程度的认识水平.核心概念的内隐性表现为，核心概念的呈现，表征于数学概念理解和问题解决过程中，体现为一个思维结晶——概念内化和问题解决，如模型思想的学习，只有在解决一类问题的过程中才能体现这种模式结构思想的指导作用.核心概念的主体性表现为：核心概念的认识，不同的学生因自我背景和经验等不同会有不同的感悟和体验，如创新意识，在知识的综合运用和实践活动中，不同学生会有不同的信念感受.
核心概念是义务教育数学课程的特征，所以，每个核心概念都可以在“内容范围与目标层次、过程展开与结果提炼”等方面进行考查，也可以分析其在“研究数学、生活数学和训练数学”等方向的体现.
对于“数感”，《课标（2011年版）》解释为“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系”.其内容范围限于“数与数量、数量关系、运算结果估计等方面”，目标层次为“感悟——感知与直觉”；过程展开为“现实生活中数的意义以及具体情境中的数量关系的理解”，结果提炼为“具有一定实际意义的运算结果”.主要体现为生活数学和训练数学.
对于“符号意识”，《课标（2011年版）》解释为“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”.其内容范围限于“运用符号表示数、数量关系和变化规律”，目标层次为“意识——心理倾向性”；过程展开为“使用符号进行运算和推理，得到具有一般性的结论”，结果提炼为“符号意义理解及表达”.主要体现为研究数学和训练数学.
对于“空间观念”，《课标（2011年版）》解释为“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”.其内容范围限于“物体的几何图形，图形位置、变换以及性质”，目标层次为“观念——认识或看法”；过程展开为“三维物体与二维图形互换，图形的运动和变化，图形性质与位置表达”，结果提炼为“图形的观察与想象”.主要体现为生活数学和研究数学.
对于“几何直观”，《课标（2011年版）》解释为“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”.其内容范围限于“几何图形与数学问题的关系”，目标层次为“能力——思维训练”；过程展开为“借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象，探索解决问题的思路”，结果提炼为“数学直观化”.主要体现为研究数学和训练数学.
对于“数据分析观念”，《课标（2011年版）》解释为“数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律”.其内容范围限于“数据研究”，目标层次为“观念——认识或看法”；过程展开为“收集数据、处理数据，寻找数据中的信息，发现规律”，结果提炼为“数据分析结果呈现”.主要体现为生活数学和研究数学.
对于“运算能力”，《课标（2011年版）》解释为“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简捷的运算途径解决问题”.其内容范围限于“数与代数的运算”，目标层次为“能力——思维训练”；过程展开为“理解运算的算理，寻求合理简捷的运算途径解决问题”，结果提炼为“运算合理准确快速”.主要体现为研究数学和训练数学.
对于“推理能力”，《课标（2011年版）》解释为“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”.其内容范围限于“数学发现与验证”，目标层次为“能力——思维训练”；过程展开为“合情推理和演绎推理”，结果提炼为“事实丰富、过程合理；论据充足、推证严谨”.主要体现为研究数学和训练数学.
对于“模型思想”，《课标（2011年版）》解释为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”.其内容范围限于“数学与现实联系”，目标层次为“思想——经验概括”；过程展开为“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义”，结果提炼为“数学建模”.主要体现为生活数学、研究数学和训练数学.
对于“应用意识”，《课标（2011年版）》解释为“应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体”.其内容范围限于“现实问题的数学化”，目标层次为“意识——心理倾向性”；过程展开为“利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象问题；将这些问题抽象成数学问题，用数学的方法予以解决”，结果提炼为“数学角度看世界”.主要体现为生活数学和研究数学.
对于“创新意识”，《课标（2011年版）》解释为“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”.其内容范围限于“数学知识发生理解和数学问题发现解决”，目标层次为“意识——心理倾向性”；过程展开为“学生自己发现和提出问题；对问题进行独立思考；从数学知识中归纳概括得到猜想和规律，并加以验证”，结果提炼为“探索数学问题”.主要体现为研究数学和训练数学.
三、核心概念操作
核心概念是综合考虑数学学科特点、社会发展、学生思维特征等相关因素的结果，是课程内容的主要思想反映、课程内容的主线的体现、课程内容学习与课程目标的有机关联.核心概念的操作，对数学课程的实施起着重要的统领作用.
教师首先结合课程内容，联系课程目标，分析每个核心概念的意义和实施.其次在教学设计时，考查学生实际情况，分析核心概念的目标层次，核心概念在“生活数学、研究数学和训练数学”方面的侧重，以此指导教学预设，落实到具体教学内容的形成展开过程中.最后在课程教学过程中，时刻以核心概念的形成为目标，优化教学过程的各个因素，将这一数学思维模式的过程性目标落到实处，以此带动其他目标的共同实现.为此，教学时应将体现上述核心概念的内涵作为课程内容教学的基本途径，围绕这些核心概念展开课程内容，并借此发展学生的应用意识和创新意识.
1.在探索活动中发展学生的核心概念
学生的核心概念发展并不能简单地通过“被告知”或“靠灌输”而实现，只能通过自我实践以及在实践基础上的感悟与概括活动实现[1].因此，在发现数量关系规律、探究图形性质、研究概率试验结果、分析数据特征和理解运算原理等探索性活动时，不能简单地以直接方式来呈现数学对象的内涵和体系，而应当根据学生思维水平，关注有关核心概念目标层次，突出核心概念在“生活数学、研究数学和训练数学”方面的应有体现，使这些学习内容“转换成”过程性的探索活动，让学生尽可能多地从事观察、操作、归纳、类比、猜测、证明等活动，反思核心概念的实质内容，以发展学生的数感、空间观念、运算能力、推理能力、数据分析观念等.
2.在不同内容的共性把握中帮助学生领会核心概念
一些核心概念之所以成为课程内容的“核心”实质，其主要原因之一在于它们贯穿于众多不同的课程内容领域，这些核心概念的形成是一个相对漫长的过程，为此在不同的数学内容中不断让学生体会同一核心概念，要在不同过程展开中得到结果提炼.比如，模型思想既可以在数与代数中体现，又能够在统计与概率中见到，因此，教学时可以在方程、不等式和函数等部分内容活动中，突出“代数模型”的含义和建立代数模型、求解代数模型的过程展开，使学生从中获得“数学建模”的能力.在分析不同概率试验实质的过程展开中，抽象出概率模型的含义，分析概率模型的实质，并体会模型思想的实质，以发展学生的模型思想.类似地，在运用图形性质解决几何问题、构造代数对象的几何背景、利用图形特征表达数学问题等活动过程展开中，概括出借助图形表达数学对象或数学问题的结构含义、基本做法，使学生体会“数学直观化”的作用，以发展学生的几何直观能力.
3.在解决实际问题的过程中发展学生的核心概念
义务教育阶段的数学课程内容与学生的现实生活密切相关，但又在抽象程度上高于具体的现实生活.这使得我们的教学可以通过在数学与生活之间构建必要的“转换”，发展学生的核心观念，为此，使学生经历“生活数学”，进行“训练数学”，体会“研究数学”.比如，通过对生活中实物或事件的个数、数量关系的分析和抽象，以及不同形式的知识与技能的训练，各种有关情境问题的数量关系的估算推理等，发展学生的数感.通过对实际背景的数及其关系的分析对现实情境中几何实体关系的分析，对有关“数量关系和变化规律”问题解决的训练，体会符号一般化的作用，发展学生的符号意识.通过数学知识生活化，体会数学概念方法对现实世界中现象的解释；通过现实问题数学化，体会数学模型对解决实际问题的价值，进行两种不同过程的有层次知识和方法方面的训练，发展学生的应用意识.
特别地，在有关上述探索性活动、概括性活动和解决问题等活动的教学时，根据学生思维特点，结合核心概念的目标层次要求，设计相应的核心概念展开活动，创设便于学生发现问题和提出问题的情境，鼓励学生进行独立思考、合作交流，学会用自己的语言表达对知识和方法的理解，以及核心概念指导下提炼的结果，给出自己认识事物的角度和解决问题的思路，学会分析问题和解决问题，并能不断地反思学习过程，形成一定的知识信念和思想观点，塑造个性化的思维方式，可以有效地发展学生的创新意识.
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