线性混合模型中固定效应和方差分量同时最优估计，本文主要内容关键词为：方差论文,线性论文,分量论文,最优论文,效应论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
含有两个方差分量的线性混合模型广泛地出现在生物、医药、经济等领域的数据分析中，于是对这种模型的研究在线性混合模型中占有特别重要的地位[1,2]。因为模型观测向量的协方差阵含有未知参数，于是关于它的参数估计、假设检验和置信区间往往变得比较复杂。对于固定效应的估计，多采用最小二乘估计(LSE)和两步估计(TSE)。前者虽然简单，但在某些情形下效率不高。而后者是复杂的非线性估计，对其性质所知不多，故导致关于固定效应的精确置信区间的结果也很少。对于方差分量的估计，文献中已有几种方法，如方差分析估计(ANOVAE)、极大似然估计(MLE)、限制极大似然估计(REMLE)、最小范数二次无偏估计(MINQUE)、谱分解估计(SDE)[3～5]。由于MLE，RMLE和MINQUE都需要解一组线性或非线性方程，一般没有显式解，只能获得迭代解，于是关于这些估计的统计性质，目前所得到的结果还不多，往往只能把它们看做产生估计的几种算法。方差分析估计由于估计形式简单且对某些模型具有优良性，而得到了较多的应用。本文对含有两个方差分量的线性混合模型研究固定效应的LSE和方差分量的ANOVAE的优良性。
考虑模型
这样的模型，在生物、医药、经济等领域含一个个体随机效应的区组设计、分群(cluster)抽样、纵向数据(Longitudinal data)以及经济领域中Panel数据的分析中，可经常遇到，见文献[1,2,6,7]。对这些情形，
，这里d维列向量
，k和d分别为被观测的个体和时间点的数目。文献[8,9]分别研究在这类线性混合模型的方差分量ANOVAE的非负改进和固定效应两步估计的性质。对一般线性混合模型，固定效应的LSE和方差分量估计的优良性是分别讨论的（见文献[3,4]）。关于随机模型中方差分量的估计的优良性基本结果是Graybill给出的[10]，Albert[11]把Graybill的方法推广到某些混合模型。但是，对于一个具体模型，如何寻求满足Grarbill提出的条件的平方和分解，并无一般规律可遵循。
对模型(1)，本文找到了关于设计阵的简单且不难满足的条件。在这些条件下得到了固定效应的LSE与方差分量
的ANOVAE优良性。具体地说，我们证明了它们同时是固定效应和方差分量的一致最小方差无偏估计(UMVUE)。因为在一般情形下，LSE的协方差阵含有未知的方差分量，而TSE的协方差阵又很复杂，根本写不出它的精确表达式，因此笔者此前尚未看到关于固定效应的精确置信区间。本文首次获得了固定效应的精确置信区间，同时给出了随机效应的方差分量的一致最优无偏检验(UMPIUT)以及功效函数。最后把本文的理论结果应用到一个产生于机械测量数据分析的实际模型中。
一、最小方差无偏估计
为了证明本文的主要结果，我们需要如下引理：
引理1 设矩阵A和B的行数相同，则
从定理2的证明，还可得到如下结论：
推论3 若定理1的条件成立，则二次型
及线性型
彼此独立。
根据定理2，可以构造出方差分量的精确检验，这将在下一节讨论。
二、固定效应的置信区间和方差分量的检验
在实际应用中，可估函数h'β的区间估计有时比其点估计更为重要。但对一般的混合效应模型，通常LSE的协方差阵含有未知的方差分量，而TSE的协方差阵又很复杂，因而很难写出它的精确表达式，于是，对于线性混合模型构造固定效应的精确置信区间是一件非常困难的事，很难看到有这方面的结果发表。本节在上节推论的条件下给出了固定效应的精确置信区间，同时构造出了方差分量的精确检验。我们先来考虑可估函数h'β的精确区间估计。
定理3 若推论1的条件成立，可信函数h'β的置信系数为1-α的置信区间
三、实际应用
在这一节，我们将把前面获得的估计和检验理论结果应用到一个产生于机械测量数据分析的实际模型。
圆形部件测量数据的拟合。
在机械工程、微波工程等领域，圆是最常见的几何图形之一。它的位置是由圆心和半径惟一确定，而在机械加工过程中，不可避免的工具磨损与振动都会影响元件的规格，为了将其控制在元件所能容许的限度之内，需要对现生产元件的几何参数（圆心，半径）进行估计。这就需要合理的统计模型与相应的随机数据，工程上常常用坐标测量仪获得测量数据，采用的统计模型之一是文献[14]提出的圆的混合效应模型，它将圆心位置的不确定性考虑进模型。
