中考“定值”问题探究，本文主要内容关键词为：中考论文,定值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在近年来的中考试题中，以运动变化为载体，设计蕴涵于运动之中的数量不变问题（即定值问题），已成为当前中考考查新的热点问题。由于“定值”问题，侧重于考查学生透过运动表象把握问题内在的本质以及分析解决问题的能力，有一定的综合性、探索性和难度。如何解答，又有哪些常见的类型等问题为大家所关注。本文将就大家的“关注”做一“深度探究”，具体研究中考“定值”问题中的常见类型和解题规律。
一、长度定值
例1（2008年广州市） 如图1，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE。
评注：本题的第(2)、(3)问虽都是“定值”问题，但解法不尽相同。其中，第(2)问根据图形性质（矩形的对角线相等和半径不变）进行直接判断即可，可谓“几何”法；而第(3)问则是需根据图形性质，用“代数式”刻画解决问题，侧重于“代数”证明，体现了字母表示数和用“数”研究“形”的数形结合思想。
二、角度定值
例2（2008年湘潭市） 如图3，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC。
图3
(1)若∠CPA=30°，求PC的长；
(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M。你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小。
评注：在一个运动变化中，既有位置大小变化的量，也有不变的量，解题的关键是要善于转化，做整体研究。
三、周长定值
例3（2009年济宁市） 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点。现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图4）。
图4
(1)求OA在旋转过程中所扫过的面积；
(2)旋转过程中，当MN与AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
(3)设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。
简析：(1)π／2；(2)22.5°；(3)p值无变化。
图5
如图5，延长BC至点G，使CG=AM，连接OG。由四边形OABC为正方形，先证△OAM≌△OCG，得∠AOM=∠COG，OM=OG。再由∠NOG=45°和∠MON=45°，得∠NOG=∠MON，进一步证得△OMN≌△OGN，得出MN=CN+AM，进而证得周长p=AB+BC=4。所以在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化。
评注：本题解决的关键是要能发现不变关系MN=AM+CN，进而通过等量代换和割补化整进行转化。本题也可运用旋转法（如把AOAM绕点顺时针90°）。
四、面积定值
例4（2009年广东省） (1)如图6(1)，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1/3。
(2)如图6(2)，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1/3。
评注：本题是研究旋转变换中图形面积不变问题，解法主要是运用三角形全等进行图形的割补转化，把一般的不规则的图形面积问题转化为特殊的规则的图形面积来研究与解决。
五、线段的和差乘积定值
例5（2009年河北省） 如下页图8(1)，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（点C与C′重合）。
(1)操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图(2)。探究：在图(2)中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
(2)操作：将图(2)中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图(3)。探究：设△PQR置移动的时间为xs，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)操作：固定图(1)中△C′D′E′，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC与D′E′交于点M，边AC与D′E′交于点N，设∠ACC′=α（30°＜α＜90°），如图(4)。探究：在图(4)中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C′E·E′M的值；如果有变化，请说明理由。
评注：线段乘积定值问题，通常是通过相似成比例把乘积式转化为比例式进行研究。本题正是抓住了关键条件（等边△ABC和等边△C′D′E′），找出线段C′N与E′M所在的两相似三角形进行研究。
例6（2009年株洲市） 如图9，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的抛物线过点B、D。
图9
(1)求点A的坐标（用m表示）；
(2)求抛物线的解析式；
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC(AC+EC)为定值。
评注：由于问题“FC(AC+EC)为定值”中的线段EC、FC、AC的长度都随着动点Q的运动而变化，因此同例1(3)一样，借助于“字母表示数”对它们进行代数式表示，进而进行和积运算给予证明。其中，综合运用了二次函数图象、三角形相似等知识，体现了字母表示数、数形结合、坐标化方法等思想和方法。
从以上各种类型问题的解决中，我们不难得到一些常用解法：线段、角度定值，可通过三角形全等或相似等知识进行等线段、等角度代换转化；周长定值，通过等线代换，将三角形的三边进行转化，化部分为整体，做整体处理；面积定值，则可通过图形的割补转化；线段的乘积定值，大多采用相似法，通过相似成比例把乘积问题转化为比例问题。此外，结合“字母表示数”思想，灵活设变量x，并用x的代数式来表示其他相关变量，通过代数式变形解决问题。这种用“数”来研究“形”的方法，也是研究定值问题的常用方法。总之，转化思想、数形结合思想是解决定值问题常用的思想与方法，而透过运动表象，看到问题中的不变量及不变的关系则是解决此类的关键。