高中数学递推数列通项公式的求法浅析论文_周静

高中数学递推数列通项公式的求法浅析论文_周静

江西省吉安市白鹭洲中学 343000

数列是近几年高考中的重点、难点,也是热点。所占分值约为12%-16%,并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现,可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现,大部分试题都与通项公式有关,也进一步说明数列通项公式求法的重要性。

其实,各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提,也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。在平时教育教学中,很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难,尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。

类型1:f(Sn,an)=0型的

这种类型一般利用an=与an=Sn-Sn-1=f(an)-f(an-1)消去Sn(n≥2)或与Sn=f(Sn-Sn-1)(n≥2)消去an进行求解。

例题1:已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+(-1)n,n≥1。

(1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3。

(2)求数列{an}的通项公式。

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分析:Sn=2an+(-1)n,n≥1------------①

由a1=S1=2a1-1,得a1=1----------------②

由n=2得,a1+a2=2a2+1,得a2=0----------③

由n=3得,a1+a2+a3=2a3-1,得a3=2--------④

用n-1代n得Sn-1=2an-1+(-1)n-1---------⑤

①-⑤:an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2(-1)n

即an=2an-1-2(-1)n------------------⑥

an=2an-1-2(-1)n=2[2an-2-2(-1)n-1]-2(-1)n=22an-2-22(-1)n-1-2(-1)n

=…=2n-1a1-2n-1(-1)-2n-2(-1)2-…2(-1)n

= [2n-2+(-1)n-1]-------------------⑦

类型2:递推公式为an+1=an+f(n)

解法:把原递推公式转化为an+1-an=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。

例题2:已知数列{an}满足a1= ,an+1=an+ ,求an。

解:由条件知:an+1-an=   = = -,分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得(n-1)个等式累加之,即(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)

=(1- )+( - )+( - )+…+(- )

所以an-a1=1- ,∵a1= ,∴an= +1- = - 。

类型3:递推公式为an+1=f(n)an

解法:把原递推公式转化为=f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例题3:已知数列{an}满足a1= ,an+1=an,求an。

解:由条件知=,分别令n=1,2,3…,(n-1),代入上式得(n-1)个等式累乘之,即 · · ·…·  = × × ×…× = ,又∵a1= ,∴an=  。

类型4:递推公式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用换元法转化为等比数列求解。

例题4:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an。

解:设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t)即an+1=2an-tt=3。

故递推公式为an+1+3=2(an+3),令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且=  =2。所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列,则bn=4×2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3。

论文作者:周静

论文发表刊物:《素质教育》2018年11月总第290期

论文发表时间:2018/11/5

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