动态资产定价理论中风险估计及其统计性质分析，本文主要内容关键词为：性质论文,资产论文,风险论文,理论论文,动态论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
古典资产定价理论，如Sharpe的资产定价模型（CAPM）和Ross的套利定价理论（APT），有助于大家对风险定价及其概念的理解。 这些理论解释了资产回报的横截面行为，允许根据不同的风险水平对资产进行评价和计算。这些理论的经验证明必须对风险进行估计。本文将对风险的经济学概念和它的统计含义作一比较，在使用不同的估计方法时就会发现这两者之间存在差异，为理解这两者之间的差异，首先需要区分风险的条件估计和无条件估计。
先来看风险的无条件估计。考察CAPM模型中的一个定价等式：
E（Ri）＝β[E（Rm）－r]（1.1）
这里E是数学期望，R[,i]是资产i的超额回报，R[,m] 是市场有价证券的回报，r是风险率，β[,i]是无条件风险，定义为：
β[,i]＝COV（R[,i],[,m]／Var(R[,m]） （1.2）
等式（1.1）和（1.2） 构成了由二次效用函数的最大化或风险和无风险资产有价证券方差最小化导出的结构模型。该理论认为：资产i的无条件预期回报是风险的线性函数。风险的经济概念由β[,i] 表示，它是两个无条件矩之比，β[,i] 的估计量则与风险的统计含义相对应。建立一计量模型对β[,i]进行估计，从等式（1.2）看到，用最小二乘法作R[,i]对R[,m]的回归就可以得到风险的一致估计量， 这时，计量模型为：
R[,it]＝a[,i]+β[,i]R[,mt]+ε[,it] （1.3）
这里：
即：风险估计量
渐近地收敛于经济风险β[,i]。较好的经济风险估计恰恰需要对无条件均值、方差、R[,it]与R[,mt]之间的协方差有充分的认识，它只与其二阶矩有关，而与无条件分布的其它任何特征无关。事实上，可以从（1.3）式求R[,it]的方差中可得：
如能得到经济风险的估计值，则其它变量也就可知了。
在无条件CAPM模型中，经济风险和它的估计量之间存在着一一对应关系。
对APT模型可以应用同样的推论。这个推论比CAPM 模型更具有一般性，它认为：多因素的存在， 市场有价证券会影响到预期回报的行为。在APT模型中，经济风险定义为资产i对一组经济因素f[,j]的表现， 超额回报则可以定义为两个变量之和：
预期变量μ[,i]是无条件期望回报；未预期变量ε[,i]是异质噪声之和，f[,j]是k个独立因子，这些因子可被看作是经济中的新变量，这种新变量能根据载荷因子β[,ij]以不同的形式影响资产回报。
其中：这里λ[,j]是因子f[,j]上的风险溢价。ATP理论对风险的函数表达还不够明确。经济风险用截荷因子β[,ij]表示，β[,ij]则被定义为资产i对因子f[,j]的灵敏度。经济风险β[,ij]需要经过检验。 最后，其于经济模型（1.7）上的计量模型则为：
该等式需要对λ[,jt]作一些假设，为便于讨论，不妨设λ[,jt]是已知且相互独立，这样β[,ij]的估计量为：
是经济风险β[,ij]的一个较好的渐近估计。 只有无条件矩与经济风险估计量才是相关的。进一步根据等式（1.6）可以得到：
这里，差得到了载荷因子的估计值，则其它变量就可知。 所有的信息包含在R[,i]和f[,j]的无条件二阶矩中。
从20世纪80年代起，时序计量经济学中引入了新的方法对古典定价理论进行了改进。尤其是Engle（1982 ）的ARCH 模型和Bollerslev （1986）的GARCH模型的引入对CAPM和APT模型的估计和检验产生了很大的影响。ARCH的应用特别在金融时序的应用越来越广，但在国内这方面的研究及应用尚处于起步阶段（参见王安兴等，中国外汇市场波动分析）。ARCH方法的核心着重于条件矩。投资者的决策以随时间变化的信息集为基础，这个信息集促使了资产回报条件均值和条件方差的形成。主要的变化就在于一定要认识到条件方差是随时间变化而变化的，而象等式（1.5）和（1.10）中的无条件方差则显然不具有这个性质。 从这个意义上来说，就可以区分资产定价模型的无条件估计和有条件估计，无条件风险和有条件风险。
在动态CAPM模型中，条件风险定义如下：
它的估计则不象等式（1.3）那样依赖于最小二乘法回归。因市场回报的方差随时间变化而变化，因此，有必要对个人回报构造一个随时间变化而变化的方差时序模型。 目前， 最为广泛采用的估计方法是（G ）ARCH模型。Boller Slev（1988），Ng（1991 ）等文中所介绍的都是一些条件CAPM估计的例子。
本文将着重讨论APT模型的条件估计。Engle（1990）和Net （1992）是两个动态APT模型应用的例子。在无条件背景下， 风险的经济概念与估计量之间存在着一一对应关系。而在条件背景下，同一个风险经济概念则有不同的估计量与之相对应，这里只研究基于资产条件发散性行为的条件风险线性估计。在无条件情况下，经济风险是作为带有水准标点有价证券资产回报的无条件协方差来估计的，而在条件情况下，条件风险的估计则被用作度量资产回报统计性质的强弱程度。下面就有关条件风险估计作一探讨。
二、动态理论和风险
1.经济学模型
首先，构造条件APT模型。由等式（1.6）加上时序概念得：
R[,it]是资产i的超额回报，μ[,it]是资产i的条件期望超额回报，f[,t]是均值为0的动态因子，β[,i]是资产i对因子的灵敏度，ε[,it]是均值为0，方差为一固定常数的白噪声。再假设一信息集为Ψ[,t-1]，它包含了t-1时刻之前所有可能的信息。与无条件情况相对应，资产回报的预期成份是条件均值，而不可预期成份是白噪声与随机因子之和，这个理论可以用来解释一组相互独立的因子。便于讨论这里仅考虑一个因子（这个假设对进一步讨论没有多大约束）。在信息集Ψ[,t-1]上，类似于Ross的观点（1976），可导出如下的资产定价公式：
λ[,t]是关于因子f[,t]的随时间变化的风险溢价。再由等式（ 2.1）可以得到资产i超额回报的条件方差：
参数β[,i]代表风险的经济概念，正如前面所定义的，它是资产 i对因子f的灵敏度， 这个灵敏度可从两个资产回报的一阶条件矩求得。在等式（2.2），当因子的风险溢价存在边际变换时，β[,i] 就是条件预期回报的变换。在等式（2.3）中， 当因子的条件方差存在边际变换时，则β[2][,i]就是条件方差的变换。等式（2.2）和（2.3 ）构成了一个经济学模型，其中条件风险定义为参数β[,i]。
2.计量模型
需要建立计量模型对条件风险进行估计。等式（2.3 ）体现了无条件情况的差异。因为条件方差需要检验，等式（2.3 ）是随机的且成了条件APT模型估计和检验的一个部分，为便于讨论，不妨设：
并设：
即：R[,it]条件服从分布D，其条件均值为β[,i]λ[,t]，条件方差h[,it]，D为一可知的概率分布函数。则对应于（2.2）和（2.3 ）的计量模型就变成：
这里
是条件分布D的误差，其均值为0，条件方差为h[,it]。自变量λ[,t]和h[,ft]视为先前已经产生的预定变量。风险溢价λ[,t]视为因子条件方差的函数，则是由单一的GARCH模型产生的。条件APT模型的经验有效性应对原假设
进行检验。可以用一些互补的方法对（2.4 ）和（2.5） 进行估计和检验。
用完全信息极大似然估计（FMLE）方法，对等式（2.4）和（2.5）在加上H。中的约束和不加约束两种情况进行联合估计。 首先需要选定分布D概率密度函数一个具体的函数形式， 显然最一般的假设就设它具有正态性，用极大似然函数可以得到β[,i]和a[,i]的FMLE估计量。 这个估计量是高度非线性的，它不具备闭函数形式，但它是渐近一致的。H。 中的约束可以用一些如似然比检验和拉格朗日乘数检验等方法进行检验，Engle（1990）和Ng（1992）等应用了这些方法， 还有一些经常采用的方法，这些方法可避免分布的假设而给出估计量的近似公式，如最小二乘法（LS）、工具变量（IV）等。Pagan （1984 ）， Pagan 和Ullah（1988），Schwert和Seguin（1990）等文中都有应用这些方法的例子。
从等式（2.4）可以看到，误差V[,it]具有条件异方差性， 这个异方差性决定于因子的条件方差。可以对异方差性进行修正，等式（2.4）两边同除以
，用广义最小二乘法（GLS）可获β[,i] 的一个一致估计量。也可以用普通最小二乘法（OLS）和工具变量法（IV）， OLS 和IV估计量虽然也具有一致性但没有GLS有效。
也可以把（2.4）和（2.5）作为联立方程模型进行估计，最简单的一致估计是OLS和IV方法，假设H。中所有对非线性限制的约束都贯彻在联立方程中。Gallant（1987）对这种检验方法作了研究。 结论是：若计量模型能作为经济模型较好的近似，则不能拒绝H。中所含的约束。
以上这些方法给出了参数β[,i]的一致估计量。下面将基于方差方程（2.5）中参数β[,i]的LS和IV估计，来探讨条件风险的统计性质。
3.条件风险估计
假定用上面的方法都不能拒绝原假设H。 则拟合的计量模型就变成：
基于等式（2.7），条件风险β[,i]的OLS估计量和IV估计量（如果有回归因子产生），分别为：
这里h[,zt]是h[,ft]的工具，它与h[,ft]高度相关，与等式（2.7）中的回归误差项无关。
研究（2.8 ）中两个估计量的统计含义：通过对条件风险进行估计，希望能得出随机过程｛R[,it]｝所具有的统计性质。
考察计量模型：
和信息集Ψ[,t-1]。则条件方差可定义如下：
p[,1]如果为OLS
这里：C｛p[,2]／p[,3] 如果为IV
p[,1]是h[,it]与h[,ft]的相关系数，p[,2]是h[,it]与h[,st]的相关系数，p[,3]是h[,ft]与h[,zt]的相关系数。
证明：
从等式（2.11）和（2.12）应用Engle等（1991）有关结论可得：
代入等式（2.14）就可得等式（2.13）。
等式（2.13）中的条件风险估计量可分解为三部分：（1 ）个体资产条件方差之间相关系数的函数、因子与因子工具；（2 ）相对于因子回报中替换变量无条件方差的资产回报和替换变量的无条件方差； （3）资产回报中替换变量四阶矩与因子回报中替换变量四阶矩的相对数。估计量
的值与比值K[u]／K[c]成正比。
比较无条件风险估计量（1.9）和条件风险估计量（2.13）， 两者在函数形式上就存在很大差异。主要差异于条件风险估计中存在相关的四阶矩，这也是资产回报和因子回报中存在随时间变化发散性的一个直接结论。若方差不随时间变化而变化，则计量模型变成（1.8）， 唯一相关的风险就成为无条件风险。
由于GARCH方法已成为最流行的条件发散性估计方法，那么， 关于GARCH估计的K[u]／K[c]有何性质？
K[u]／K[c]能度量GARCH对数据影响的强度。GARCH模型的重要特征在于这种模型可用尖峰态分布来描述随机变量。金融数据是具有无条件峰态特征的（一般情况下峰度大于3），一个良好的GARCH模型必须能模拟分离的群体，这样标准化随机变量
具有比无条件峰度更小的条件峰度，K[u]≥K[c]，K[u]／K[c]≥ 1。差比值等于，则数据中不存在GARCH模型，而较大的比值则说明GARCH能解释从数据中筛选出分离物， 比值越大，则GARCH的说服力越强。所以这个比值被称为GARCH解释问题的说服力。下面作一简单证明：
考察随机变量y[,t]，设它的均值为0， 条件方差h[ ,t] ， 根据GARCH模型有：
等式两边同加Y[2][,t]，变化后可得GARCH的一个ARMA表达式：
[BollersLev(1986)]
y[2][,t]＝w+（α+β）y[2][,t-1]－βε[,t-1]+ε[,t]
这里ε[,t]＝y[2][,t]－h[,t]。能作出成功解释的标准就是要在参数集上使ε[,t]的方差达到最小。ε[,t]的方差为：
Var（ε[,t]）与比值K[,u]／K[,c]成反比 ， 这恰好证明了最优GARCH模型应该具有最大化的K[u]／K[c]值。
随时间变化发散性的引入从均值和方差两方针对条件风险估计量作了定义。更一般地。风险依赖于资产回报对一组因子的表现。这个表现可以用矩来量化。条件风险能说明资产回根统计性质的强弱程度，它需要对个人资产和因子的相互变化进行估计。根据等式（2.13），应该能预计到：相对于条件发散性因子具有较高条件发散性的那些资产则具有更大的条件风险估计值。经验表明，在其它条件不变情况下，条件发散性越大，则资产风险也越大。
三、结论
本文对古典资产定价理论如GAPM和APT作了简单讨论， 分析了条件和无条件CAPM、条件和无条件APT的差异。 得到的结论是：条件和无条件模型的差异性依赖于对资产回报的条件和无条件均值、方差、协方差的不同解释。
对于条件或无条件模型，CAPM和APT 的经验有效性需要对风险进行估计。在CAPM中，可以用公式来较好地描述风险经济概念的定义，而且这个公式也能比较容易的构造出条件和无条件估计量。而在APT 模型中，风险的经济概念是用一参数来表示的，对于这个参数则没有公式可提供。在对无条件APT模型的估计中没有出现与无条件CAPM 估计中所遇到的不同问题，所以，在无条件集中，风险的经济概念和它的估计量之间存在着一一对应关系。
由于需要对条件均值和条件方差两个等式进行估计，且这两个等式由代表条件风险的公共参数相联立，所以条件APT 计量模型的公式则复杂得多。本文考察了条件APT不同的估计和检验方法。 与无条件集相比，条件风险的估计量不是唯一的。这里着重研究了基于资产条件发散性行为上条件风险的残性估计量和在该估计量中资产回报统计性质。证明了该条件风险估计量能用来解释资产回报条件与无条件矩之间的相互依赖关系。特别地四阶矩则具有高度相关性。条件风险的估计值与无条件峰度和条件峰度之比成正比。这两个峰度之比概括了资产回报中的条件发散性，说明了在其它条件不变的情况下，强条件发散性资产，具有经验风险。最后把这个比率定义为GARCH解释问题的说服力， 一个成功的GARCH模型必须最大化这个比率。
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